2013年河南專升本高數(shù)真題+答案解析

河南省2013年普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀本科畢業(yè)生本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共60分)1．函數(shù)的定義域是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】為使函數(shù)有意義，須有，即，故函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)選C．2．設(shè)，那么（） A． B． C． D．x【答案】D【解析】由得，，故選D．3．函數(shù)是（） A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】B【解析】，即為奇函數(shù)，故選B．4．設(shè)，則是的（） A．連續(xù)點(diǎn) B．可去間斷點(diǎn) C．跳躍間斷點(diǎn) D．無(wú)窮間斷點(diǎn)【答案】B【解析】，故是的可去間斷點(diǎn)，選B．5．當(dāng)時(shí)，下列無(wú)窮小量中與等價(jià)的是（） A．x B． C． D．【答案】A【解析】由選項(xiàng)可設(shè)與等價(jià)的無(wú)窮小量為，則，則，，故選A．6．已知，，且，則（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選C．7．曲線，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為，應(yīng)選B．8．設(shè)，則（） A． B． C． D．【答案】D【解析】，又，故，應(yīng)選D．9．設(shè)函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則（） A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，故選A．10．由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（） A． B． C． D．【答案】A【解析】方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)，其中x看作y的函數(shù)，，所以，故選A．11．若，且，則下面成立的是（） A． B．在上單調(diào)增加 C． D．在上單調(diào)增加【答案】B【解析】只能說(shuō)明是上的增函數(shù)，而A、C、D中的結(jié)論無(wú)法得到．12．點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則（） A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】，，當(dāng)時(shí)，，則，又曲線過點(diǎn)，即，故選A．13．曲線的垂直漸近線共有（） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】，顯然為可去間斷點(diǎn)，，故為曲線的垂直漸近線，故應(yīng)選A．14．函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確．15．若連續(xù)，則下列等式正確的是（） A． B． C． D．【答案】D【解析】，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，C錯(cuò)；，D正確．16．（） A． B． C．1 D．0【答案】D【解析】為上的奇函數(shù)，故，應(yīng)選D．17．設(shè)，則（） A． B． C． D．【答案】A【解析】方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，所以，，故選A．18．下列廣義積分收斂的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，發(fā)散；，發(fā)散；，收斂；，發(fā)散，故選C．19．微分方程的階數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】微分方程的階數(shù)為方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，故選B．20．微分方程滿足條件的特解是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)微分方程分類變量，得，兩邊積分，得，代入，得，故方程的特解為，應(yīng)選B．21．下列各組角中，可以作為向量的方向角的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】向量的方向角須滿足，計(jì)算可知只有C滿足．22．直線與平面的位置關(guān)系是（） A．L在上 B．L與垂直相交 C．L與平行 D．L與相交，但不垂直【答案】B【解析】由于直線的方向向量與平面的法向量平行，故L與垂直相交，應(yīng)選B．23．下列方程在空間直角坐標(biāo)系中所表示的圖形為柱面的是（） A． B． C． D．【答案】D【解析】D中，曲面在xOy平面上的投影為圓，故D為柱面，其他均不是，應(yīng)選D．24．（） A．0 B．1 C． D．不存在【答案】C【解析】．25．設(shè)，則（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選B．26．設(shè)，則交換積分次序后，I可以化為（） A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出積分區(qū)域如圖，交換積分次序得，故選A．27．積分（） A．2 B． C． D．0【答案】C【解析】．28．設(shè)是拋物線上從到的一段弧，則曲線積分（） A．0 B．2 C．4 D．1【答案】D【解析】．29．冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，故收斂半徑，收斂區(qū)間為．30．下列級(jí)數(shù)收斂的是（） A． B． C． D．【答案】A【解析】A為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且，單調(diào)遞減，故收斂；，，而發(fā)散，故B、C均發(fā)散；，，發(fā)散，故選A．二、填空題(每小題2分，共20分)31．函數(shù)在點(diǎn)有定義是極限存在的________條件．【答案】既不充分也不必要【解析】在點(diǎn)有定義表明定義域中包含，存在等價(jià)于，二者沒有什么本質(zhì)的聯(lián)系．32．已知，則________．【答案】【解析】，故．33．函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，則________．【答案】【解析】，，由的連續(xù)性，知，即．34．設(shè)函數(shù)，則________．【答案】【解析】，，．35．不定積分________．【答案】【解析】．36．向量與向量的夾角是________．【答案】【解析】，故．37．微分方程的通解是________．【答案】【解析】由一階線性微分方程的通解公式得微分方程的通解為，其中C為任意常數(shù)．38．設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為，則________．【答案】【解析】方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得，，代入得．39．曲面在點(diǎn)處的切平面方程是________．【答案】【解析】令，，，，故點(diǎn)處的切平面法向量為，所以切平面的方程為，即．40．將展開成的冪級(jí)數(shù)是________．【答案】，【解析】，，．三、計(jì)算題(每小題5分，共50分)41．．【答案】【解析】．42．已知函數(shù)由方程所確定，求．【答案】【解析】方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得，化簡(jiǎn)得，即．43．求不定積分．【答案】【解析】令，則，，．44．設(shè)，求．【答案】【解析】．45．求微分方程的通解．【答案】，其中為任意常數(shù)【解析】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，，所以原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，為任意常數(shù)，設(shè)為方程的特解，代入方程解得，故原方程的通解為，其中為任意常數(shù)．46．設(shè)，求全微分．【答案】【解析】，，故．47．一平面過點(diǎn)且平行于向量和，求此平面的方程．【答案】【解析】所求平面的一個(gè)法向量為，又平面過點(diǎn)，所以所求平面的方程為，即．48．計(jì)算，其中D是由，，，所圍成的閉區(qū)域．【答案】【解析】積分區(qū)域，故．49．計(jì)算積分，其中L為曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧．【答案】【解析】，，，所以所求積分與路徑無(wú)關(guān)，可以沿直線積分，故．50．求冪級(jí)數(shù)的收斂域．【答案】【解析】，所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，從而，即收斂區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?、?yīng)用題(每小題6分，共12分)51．某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月租金每增加100元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修費(fèi)，試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入為多少？【答案】當(dāng)租金定為3600元時(shí)，可獲得最大收入，最大收入為115600元．【解析】設(shè)租金定為x元時(shí)對(duì)應(yīng)的收入為y元，則，即，，令，得唯一駐點(diǎn)，且，結(jié)合實(shí)際問題，知當(dāng)租金定為3600元時(shí)，可獲得最大收入，最大收入為115600元．52．曲線，直線以及y軸圍成一