2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)56整式的乘法（提高）知識講解

2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)5整式的乘法（提高）【學(xué)習(xí)目標】1.會進行單項式的乘法,單項式與多項式的乘法,多項式的乘法計算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算.【要點梳理】要點一、單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.要點二、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.要點三、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【典型例題】類型一、單項式與單項式相乘 1、計算：（1）（2）．【答案與解析】解：（1）（2）．【總結(jié)升華】凡是在單項式里出現(xiàn)過的字母，在其結(jié)果也應(yīng)全都有，不能漏掉.注意運算順序，有同類項，必須合并.類型二、單項式與多項式相乘2、計算：（1）（2）【思路點撥】先單項式乘多項式去掉括號，然后移項、合并進行化簡．【答案與解析】解：（1）．（2）．【總結(jié)升華】（1）本題屬于混合運算題，計算順序仍然是先乘除、后加減，先去括號等．混合運算的結(jié)果有同類項的需合并，從而得到最簡結(jié)果．（2）單項式與多項式的每一項都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在確定積的每一項的符號時，一定要小心．舉一反三：【變式】化簡：x（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【答案】解：原式=x2﹣x+2x2+2x﹣6x2+15x=﹣3x2+16x．3、先化簡，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【思路點撥】首先根據(jù)單項式與多項式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項，最后代入已知的數(shù)值計算即可．【答案與解析】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，當a=﹣2時，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【總結(jié)升華】本題考查了單項式乘以多項式以及整式的化簡求值．整式的化簡求值實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的常考點．舉一反三：【變式】若，求的值．【答案】解：，當時，原式＝．類型三、多項式與多項式相乘4、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展開式中不含x2和x3項，求m，n的值．【思路點撥】缺項就是多項式中此項的系數(shù)為零，此題中不含x2和項，也就是x2和項的系數(shù)為0，由此得方程組求解．【答案與解析】解：原式的展開式中，含x2的項是：mx2+3x2﹣3nx2=（m+3﹣3n）x2，含x3的項是：﹣3x3+nx3=（n﹣3）x3，由題意得：，解得．【總結(jié)升華】解此類問題的常規(guī)思路是：將兩個多項式乘法依據(jù)乘法法則展開，合并同類項，再根據(jù)題意由某些項的系數(shù)為零，通過解方程（組）求解．舉一反三：【變式】在的積中，項的系數(shù)是－5，項的系數(shù)是－6，求、．【答案】解：因為項的系數(shù)是－5，項的系數(shù)是－6，所以，，解得.乘法公式（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1.掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會運用平方差公式、完全平方公式進行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.【要點梳理】要點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如要點二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：要點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.要點四、補充公式；；；.【典型例題】類型一、平方差公式的應(yīng)用 1、下列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計算的，寫出計算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【思路點撥】兩個多項式因式中，如果一項相同，另一項互為相反數(shù)就可以用平方差公式.【答案與解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計算，(1)、(6)不能用平方差公式計算．(2)＝－＝．(3)＝－＝．(4)＝－＝．(5)＝－＝．【總結(jié)升華】利用平方差公式進行乘法運算，一定要注意找準相同項和相反項（系數(shù)為相反數(shù)的同類項）．舉一反三：【變式】計算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．2、計算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案與解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【總結(jié)升華】用構(gòu)造平方差公式計算的方法是快速計算有些有理數(shù)乘法的好方法，構(gòu)造時可利用兩數(shù)的平均數(shù)，通過兩式(兩數(shù))的平均值，可以把原式寫成兩數(shù)和差之積的形式．這樣可順利地利用平方差公式來計算．舉一反三：【變式】（2015春?萊蕪校級期中）怎樣簡便就怎樣計算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）=（4a2﹣b2）（4a2+b2）=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4．類型二、完全平方公式的應(yīng)用3、計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路點撥】此題都可以用完全平方公式計算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案與解析】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【總結(jié)升華】(1)在運用完全平方公式時要注意運用以下規(guī)律：當所給的二項式符號相同時，結(jié)果中三項的符號都為正，當所給的二項式符號相反時，結(jié)果中兩平方項為正，乘積項的符號為負．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．4、圖a是由4個長為m，寬為n的長方形拼成的，圖b是由這四個長方形拼成的正方形，中間的空隙，恰好是一個小正方形．（1）用m、n表示圖b中小正方形的邊長為．（2）用兩種不同方法表示出圖b中陰影部分的面積；（3）觀察圖b，利用（2）中的結(jié)論，寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系，代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案與解析】解：（1）圖b中小正方形的邊長為m﹣n．故答案為m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因為圖中陰影部分的面積不變，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【總結(jié)升華】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，列代數(shù)式，可以根據(jù)題中的已知數(shù)量利用代數(shù)式表示其他相關(guān)的量．5、已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．【思路點撥】（1）先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，再把x+y=3代入，即可求出答案；（2）先根據(jù)完全平方公式變形，再代入求出即可．【答案與解析】解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，∴xy+3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．【總結(jié)升華】本題考查了多項式乘以多項式的應(yīng)用，能熟記多項式乘以多項式法則和乘法公式是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知，，求和的值．【答案】解：由，得；①由，得．②①＋②得，∴．①－②得，∴．乘法公式（提高）【學(xué)習(xí)目標】1.掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會運用平方差公式、完全平方公式進行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.【要點梳理】要點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如要點二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：要點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.要點四、補充公式；；；.【典型例題】類型一、平方差公式的應(yīng)用 1、計算(2＋1)()()()()()＋1．【思路點撥】本題直接計算比較復(fù)雜，但觀察可以發(fā)現(xiàn)2＋1與2－1，與，與等能夠構(gòu)成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步計算.【答案與解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)()()()()()＋1＝()()()()()()＋1＝－1＋1＝．【總結(jié)升華】對于式子較為復(fù)雜的數(shù)的計算求值問題，不妨先仔細觀察，看是否有規(guī)律，然后去解決，會事半功倍，提高解題能力．舉一反三：【變式1】計算：(1)(2)(＋)(－)()()【答案】解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝．(2)原式＝[(＋)(－)]()()＝[()()]()＝()()＝．【變式2】（1）填空：（a﹣b）（a+b）=；（a﹣b）（a2+ab+b2）=；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=（其中n為正整數(shù)，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的結(jié)論計算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案為：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的規(guī)律可得：原式=an﹣bn，故答案為：an﹣bn；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春?戶縣期末）先化簡，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路點撥】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，求出m，n的值，再根據(jù)平方差公式求代數(shù)式的和即可．【答案與解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【總結(jié)升華】本題考查了非負性的應(yīng)用，解決本題的