計(jì)算機(jī)組成原理數(shù)據(jù)的表示和運(yùn)算

計(jì)算機(jī)組成原理數(shù)據(jù)的表示和運(yùn)算第二部分?jǐn)?shù)據(jù)的表示和運(yùn)算

2.1數(shù)制與編碼

2.2定點(diǎn)數(shù)表示和運(yùn)算

2.3浮點(diǎn)數(shù)表示和運(yùn)算

2.4算術(shù)邏輯單元ALU第2頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2.2定點(diǎn)數(shù)表示和運(yùn)算

2.2.1

定點(diǎn)數(shù)的表示

1、無(wú)符號(hào)數(shù)的表示；

2、有符號(hào)數(shù)的表示。

2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

1、定點(diǎn)數(shù)的位移運(yùn)算；

2、原碼定點(diǎn)數(shù)的加/減運(yùn)算；

3、補(bǔ)碼定點(diǎn)數(shù)的加/減運(yùn)算；

4、定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算第3頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天回顧1、移位運(yùn)算對(duì)有符號(hào)數(shù)的移位運(yùn)算成為算術(shù)移位。對(duì)無(wú)符號(hào)數(shù)的移位運(yùn)算成為邏輯移位。算術(shù)移位的特點(diǎn)：對(duì)于正數(shù)，三種機(jī)器數(shù)算術(shù)移位后符號(hào)位均不變，左移最高位丟1，結(jié)果錯(cuò)誤；右移最低位丟1，影響精度。對(duì)于負(fù)數(shù)，三種機(jī)器數(shù)算術(shù)移位后符號(hào)位不變。原碼左移，高位丟1，結(jié)果出錯(cuò)；原碼右移低位丟1，影響精度。補(bǔ)碼左移，高位丟0，結(jié)果出錯(cuò)；補(bǔ)碼右移低位丟1，影響精度。反碼左移，高位丟0，結(jié)果出錯(cuò)；反碼右移低位丟0，影響精度。第4頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天回顧2、補(bǔ)碼定點(diǎn)數(shù)的加/減運(yùn)算補(bǔ)碼加法補(bǔ)碼加法的特點(diǎn)：符號(hào)位作為數(shù)的一部分參加運(yùn)算，符號(hào)位的進(jìn)位丟掉。運(yùn)算結(jié)果為補(bǔ)碼形式整數(shù)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)=[A+B]補(bǔ)（mod2n+1）小數(shù)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)=[A+B]補(bǔ)（mod2）補(bǔ)碼減法因?yàn)锳–B=A+(–B)，所以有補(bǔ)碼減法：整數(shù)[A–B]補(bǔ)=[A+(–B)]補(bǔ)=[A]補(bǔ)

+[–B]補(bǔ)(mod2n+1)小數(shù)[A–B]補(bǔ)=[A+(–B)]補(bǔ)=[A]補(bǔ)

+[–B]補(bǔ)(mod2)從[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的法則是：對(duì)[Y]補(bǔ)包括符號(hào)位“求反且最末位加1”第5頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天回顧3、溢出的檢測(cè)溢出：運(yùn)算結(jié)果超出機(jī)器的表數(shù)范圍定點(diǎn)加減法溢出條件：★同號(hào)數(shù)相加或異號(hào)數(shù)相減。★運(yùn)算結(jié)果超載。1）溢出的檢測(cè)可能產(chǎn)生溢出的情況兩正數(shù)加，變負(fù)數(shù)，上溢（大于機(jī)器所能表示的最大數(shù)）兩負(fù)數(shù)加，變正數(shù)，下溢（小于機(jī)器所能表示的最小數(shù)）2）溢出的檢測(cè)方法雙符號(hào)位法（參與加減運(yùn)算的數(shù)采用變形補(bǔ)碼表示）單符號(hào)位法第6頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天回顧4、反碼加減法運(yùn)算（1）反碼加法運(yùn)算反碼加法運(yùn)算遵循[X]反+[Y]反=[X+Y]反規(guī)則。符號(hào)位參加運(yùn)算。符號(hào)位相加后，如果有進(jìn)位，則把該進(jìn)位的數(shù)字加到數(shù)的最低位，即循環(huán)進(jìn)位。（2）反碼減法兩個(gè)反碼表示的數(shù)相減，類似于補(bǔ)碼減法，將減數(shù)變符號(hào)，并根據(jù)變號(hào)后的減數(shù)取反，按反碼加法進(jìn)行。第7頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算7、定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算分析筆算乘法

A=–0.1101B=0.1011A×B=–0.100011110.11010.101111011101000011010.10001111×乘積的符號(hào)心算求得符號(hào)位單獨(dú)處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù)4個(gè)位積一起相加乘積的位數(shù)擴(kuò)大一倍

？第8頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算筆算乘法改進(jìn)A

?B=A?0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0?A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0?A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{A

+2-1[0?A+2-1(A

+2-1(A+0))]}第一步被乘數(shù)A

+0第二步

1，得新的部分積第八步

1，得結(jié)果第三步部分積

+被乘數(shù)…右移一位第9頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算改進(jìn)后的筆算乘法過(guò)程第10頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算1）定點(diǎn)原碼乘法

(1)原碼一位乘運(yùn)算規(guī)則（以小數(shù)為例）設(shè)[x]原

=x0.x1x2

xn…[y]原

=y0.y1y2

yn…=(x0

y0).x*y*[x?y]原

=(x0y0).(0.x1x2

xn)(0.y1y2

yn)……式中x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對(duì)值…y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對(duì)值…乘積的符號(hào)位單獨(dú)處理x0

y0數(shù)值部分為絕對(duì)值相乘x*?y*第11頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算原碼一位乘遞推公式x*?y*=x*(0.y1y2

yn)…=x*(y12-1+y22-2++yn2-n)…=2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(ynx*+0)))……z1znz0=0z1=2-1(ynx*+z0)z2=2-1(yn-1x*+z1)zn=2-1(y1x*+zn-1)………z0第12頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

右圖是一個(gè)32位乘法器的結(jié)構(gòu)框圖，其中32位被乘數(shù)放在R2中，運(yùn)算開(kāi)始時(shí)32位乘數(shù)放在R1中，運(yùn)算結(jié)束時(shí)64位乘積的高位放在R0中，低位放在R1中，R0和R1串聯(lián)移位。在該乘法過(guò)程中，每次操作是根據(jù)乘數(shù)的一位進(jìn)行操作，對(duì)于32位數(shù)的乘法，需要循環(huán)32次完成一個(gè)乘法操作，因此稱為一位乘法。第13頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

完成這個(gè)定點(diǎn)原碼一位乘法的運(yùn)算規(guī)則可以用如下圖所示的邏輯流程圖表示。

第14頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

已知x=–0.1110y=0.1101求[x?y]原邏輯右移邏輯右移第15頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算①乘積的符號(hào)位x0

y0=10=1②數(shù)值部分按絕對(duì)值相乘

x*?y*=0.10110110

則[x?y]原

=1.10110110

特點(diǎn)絕對(duì)值運(yùn)算用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束邏輯移位第16頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算原碼一位乘的硬件配置0An

加法器控制門(mén)0Xn

移位和加控制計(jì)數(shù)器CSGM0Qn右移A、X、Q均n+1位移位和加受末位乘數(shù)控制第17頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算(2)原碼兩位乘原碼兩位乘與原碼一位乘一樣，符號(hào)位的運(yùn)算和數(shù)值部分是分開(kāi)進(jìn)行的，但原碼兩位乘是用兩位乘數(shù)的狀態(tài)來(lái)決定新的部分積如何形成，因此可提高運(yùn)算速度。一位乘符號(hào)位和數(shù)值位部分分開(kāi)運(yùn)算兩位乘每次用乘數(shù)的2位判斷原部分積是否加和如何加被乘數(shù)第18頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算兩位乘數(shù)共有4種狀態(tài)，對(duì)應(yīng)這4種狀態(tài)可得下表。11100100新的部分積乘數(shù)yn-1

yn加“0”2加1倍的被乘數(shù)2加2倍的被乘數(shù)2加3倍的被乘數(shù)2第19頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算原碼兩位乘運(yùn)算規(guī)則111110101100011010001000操作內(nèi)容標(biāo)志位Cj乘數(shù)判斷位yn-1yn

z2,y*2,Cj

保持“0”

z2,y*2,Cj

保持“1”z–x*2,y*2,Cj

保持“1”

z+2x*2,y*2,Cj

保持“0”z+x*2,y*2,Cj

保持“0”

z–x*2,y*2,置“1”Cjz+2x*2,y*2,置“0”Cj

z+x*2,y*2,置“0”Cj共有操作+x*+2x*–x*2實(shí)際操作+[x*]補(bǔ)

+[2x*]補(bǔ)

+[–x*]補(bǔ)

2補(bǔ)碼移第20頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算例：已知x=0.111111y=–0.111001求[x·y]原補(bǔ)碼右移第21頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

②數(shù)值部分的運(yùn)算①乘積的符號(hào)位x0

y0=01=1x*?y*=0.111000000111則[x?y]原

=1.111000000111特點(diǎn)絕對(duì)值的補(bǔ)碼運(yùn)算算術(shù)移位用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束第22頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算原碼兩位乘和原碼一位乘比較符號(hào)位操作數(shù)移位移位次數(shù)最多加法次數(shù)x0

y0x0

y0絕對(duì)值絕對(duì)值的補(bǔ)碼邏輯右移算術(shù)右移nnn2（n為偶數(shù)）n2+1（n為偶數(shù)）原碼一位乘原碼兩位乘n

為奇數(shù)時(shí)，原碼兩位乘移n/2+1次最多加n/2+1次第23頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算2）補(bǔ)碼乘法（1）補(bǔ)碼與真值的關(guān)系設(shè)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2…xn當(dāng)X≥0時(shí)，x0=0，[x]補(bǔ)

=0.x1x2…xn=∑xi2-i=x當(dāng)x<0時(shí)，x0=1，[x]補(bǔ)

=1.x1x2…xn=2+x所以x=1.x1x2…xn–2=-1+0.x1x2…xn=-1+∑xi2-i得出x=-x0+∑xi2-ini=1ni=1ni=1第24頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算（2）補(bǔ)碼的右移正數(shù)右移一位，相當(dāng)于乘1/2。負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示，右移一位，是否也相當(dāng)于乘1/2？設(shè)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2…xn因?yàn)?/p>

x=-x0+∑xi2-i

所以

x=-x0+∑xi2-i

=-x0+x0+∑xi2-i

=-x0+∑xi2-(i+1)

即[x]補(bǔ)=x0.x0x1x2…xn

ni=112ni=1121212ni=1ni=012第25頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算（3）補(bǔ)碼一位乘運(yùn)算規(guī)則設(shè)被乘數(shù)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2…xn

乘數(shù)[y]補(bǔ)

=y0.y1y2…yn均為任意符號(hào)，則有補(bǔ)碼乘法算式：[x.y]補(bǔ)=[x]補(bǔ).y證明：①被乘數(shù)任意，乘數(shù)為正

根據(jù)補(bǔ)碼定義，有[x]補(bǔ)=2+x=2n+1+x(mod2)[y]補(bǔ)=y所以，[x]補(bǔ).[y]補(bǔ)

=2n+1.y+x.y=2(y1y2…yn)+x.y由于(y1y2…yn)是大于0的正整數(shù)，所以，

2(y1y2…yn)=2（mod2）故[x]補(bǔ).[y]補(bǔ)

=2+x.y=[x.y]補(bǔ)即[x.y]補(bǔ)

=[x]補(bǔ).[y]補(bǔ)

=[x]補(bǔ).y

第26頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

同原碼乘但加和移位按補(bǔ)碼規(guī)則運(yùn)算乘積的符號(hào)自然形成運(yùn)算規(guī)律：第27頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算②被乘數(shù)任意，乘數(shù)為負(fù)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2…xn[y]補(bǔ)

=1.y1y2…yn=2+y(mod2)因?yàn)閥=[y]補(bǔ)

–2=0.y1y2…yn-1所以x.y=x(0.y1y2…yn)–x

[x.y]補(bǔ)=[x(0.y1y2…yn)]補(bǔ)+[–x]補(bǔ)因?yàn)?.y1y2…yn>0

[x(0.y1y2…yn)]補(bǔ)=

[x]補(bǔ)(0.y1y2…yn)所以[x.y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)(0.y1y2…yn)+[–x]補(bǔ)第28頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

乘數(shù)[y]補(bǔ)，去掉符號(hào)位，操作同①最后加[–x]補(bǔ)，校正運(yùn)算規(guī)律：第29頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算③被乘數(shù)、乘數(shù)符號(hào)任意設(shè)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2…xn[y]補(bǔ)

=y0.y1y2…yn綜合①②，得到補(bǔ)碼乘法統(tǒng)一算式

[x·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)(0.y1…yn)+[–x]補(bǔ)

·y0當(dāng)y>0時(shí)，y0=0[x.y]補(bǔ)

=[x]補(bǔ).y

當(dāng)y<0時(shí)，y0=1[x.y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)

(0.y1y2…yn)+[–x]補(bǔ)

第30頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天補(bǔ)碼比較法（Booth算法）設(shè)[x]補(bǔ)

=x0.x1x2

xn[y]補(bǔ)

=y0.y1y2

yn……[x·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)(0.y1

yn)–[x]補(bǔ)

·y0…=[x]補(bǔ)(y12-1+y22-2++yn2-n)–[x]補(bǔ)

·y0…=[x]補(bǔ)(–y0+y1

2-1+y22-2++yn2-n)…=[x]補(bǔ)[–y0+(y1–

y12-1)+(y22-1–y22-2)++(yn2-(n-1)–yn2-n)]…=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn–yn-1)2-(n-1)+(0

–yn)2-n)]…y12-1++…yn

2-n–[x]補(bǔ)=+[–x]補(bǔ)

2-1=20–2-12-2=2-1–2-2=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn+1–yn)2-n]…附加位

yn+1第31頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天Booth算法遞推公式[z0]補(bǔ)=0[z1]補(bǔ)=2-1{(yn+1–yn)[x]補(bǔ)+[z0]補(bǔ)}yn+1=0[zn]補(bǔ)=2-1{(y2–y1)[x]補(bǔ)+[zn-1]補(bǔ)}…[x

·

y]補(bǔ)=[zn]補(bǔ)+(y1–y0)[x]補(bǔ)最后一步不移位如何實(shí)現(xiàn)

yi+1–yi

?000110111+[x]補(bǔ)

1+[–x]補(bǔ)

11yi

yi+1操作yi+1–yi01-10第32頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例已知x=+0.0011y=–0.1011求[x·y]補(bǔ)解：00.000011.110111.110100.001111.110100.001111.11011.0101000.0001111.11011100.000111111.11011111[x]補(bǔ)

=0.0011[y]補(bǔ)

=1.0101[–x]補(bǔ)

=1.1101+[–x]補(bǔ)11.11101101011+[x]補(bǔ)00.00001110101+[–x]補(bǔ)11.1110111101100.00001111101+[–x]補(bǔ)+[x]補(bǔ)∴

[x·y]補(bǔ)

=1.11011111

最后一步不移位第33頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算Booth算法的硬件配置A、X、Q均n+2位移位和加受末兩位乘數(shù)控制0An