曲率及其曲率半徑的計(jì)算

曲率及其曲率半徑的計(jì)算一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的計(jì)算公式曲率圓曲率半徑2023/5/241一、弧微分s的絕對(duì)值等于這弧段的長度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0，相反時(shí)s<0．有向弧段的值s(簡稱為弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0顯然，弧s是x的函數(shù)：s

s(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)．2023/5/242設(shè)x，x+

Dx為(a，b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們?cè)谇€y

f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，M

，并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx，弧s的增量為Ds，于是下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分．M0MM

x0xx+DxDxDyxyODs2023/5/243

1，因?yàn)橐虼擞捎趕

s(x)是單調(diào)增加函數(shù)，從而于是ds

這就是弧微分公式．2023/5/244)jM1M2N1N2觀察曲線的彎曲線程度與切線的關(guān)系：二、曲率及其計(jì)算公式可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段的平均彎曲程度，2023/5/245M0MM

DsDaxyOa+Da)a)sC設(shè)曲線C是光滑的，曲線線C上從點(diǎn)M到點(diǎn)M

的弧為Ds，切線的轉(zhuǎn)角為Da．平均曲率：曲率：2023/5/246曲率的計(jì)算公式：設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y

f(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)．于是從而，有因?yàn)閠ana

y

，所以2023/5/247例1計(jì)算等雙曲線x

y

1在點(diǎn)(1，1)處的曲率．解因此，y

|x

1

1，y

|x

1

2．曲線x

y

1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為2023/5/248例2拋物線y

ax2

bx

c上哪一點(diǎn)處的曲率最大？解由y

ax2

bx

c，得y

2ax

b，y

2a，代入曲率公式，得要使K最大，只須2ax

b

0，拋物線的頂點(diǎn)．因此，拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大，最大曲率為K

|2a|．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2023/5/2492．若曲線由參數(shù)方程給出，那么曲率如何計(jì)算？1．直線上任一點(diǎn)的曲率等于什么？討論：提示：設(shè)直線方程為y=ax+b，則y

=a，y

=0．于是提示：．2023/5/2410曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K

0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑r

有如下關(guān)系：曲線在M點(diǎn)的曲率中心三、曲率圓與曲率半徑My=f(x)xyODr曲線在M點(diǎn)的曲率半徑曲線在M點(diǎn)的曲率圓2023/5/2411例3設(shè)工件表面的截線為拋物線y