2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第7章立體幾何第5講空間向量及其運(yùn)算考點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算

空間向量的線性運(yùn)算1.(2024·湖南永州模擬)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝c，P為DD1的中點(diǎn)，過PB的平面α分別與棱AA1，CC1交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE＝CF，則eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－2a＋eq\f(1,2)c(用a，b，c表示)．[解析]由題意知AE綉CF，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－(a＋b)＋(b－a)＝－2a＋eq\f(1,2)c.2．(多選題)在四面體P－ABC中，以下說法正確的有(ABC)A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若四面體的各棱長(zhǎng)都相等，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面體P－ABC各棱長(zhǎng)都為2，M，H分別為PA，BC的中點(diǎn)，則|eq\o(MH,\s\up6(→))|＝1[解析]由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，A正確；連接AQ并延長(zhǎng)交BC于H，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，B正確；因?yàn)樗拿骟wP－ABC各棱長(zhǎng)都相等，則|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∠PBA＝∠PBC＝eq\f(π,3)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|coseq\f(2π,3)＝0，C正確；若四面體P－ABC的棱長(zhǎng)都為2，則eq\o(PA,\s\up6(→))、eq\o(PB,\s\up6(→))、eq\o(PC,\s\up6(→))兩兩夾角都為eq\f(π,3)，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝2.又eq\o(MH,\s\up6(→))＝eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))∴|eq\o(MH,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))－2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(4＋4＋4＋4－4－4)＝2.∴|eq\o(MH,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，D錯(cuò)誤．故選ABC.名師點(diǎn)撥：用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來．【變式訓(xùn)練】如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別為OA、CB的中點(diǎn)，MG＝2GN，用向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))為(A)A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))，又M，N分別為OA、CB的中點(diǎn)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq