51向量的內(nèi)積、長度及正交性

第一節(jié)向量的內(nèi)積、長度及正交性相似矩陣及二次型一、向量的內(nèi)積及其性質(zhì)二、正交向量組、規(guī)范正交基三、正交矩陣、正交變換四、小結(jié)思考題返回上頁下頁一、向量的內(nèi)積1.向量的內(nèi)積規(guī)定

和

的內(nèi)積為定義

1

設(shè)兩個

n

維向量，n

維向量的內(nèi)積是

幾何向量內(nèi)積(也稱為點積、點乘、數(shù)量積、標(biāo)量積)的推廣.(即，對應(yīng)分量的乘積之和)返回上頁下頁說明則，內(nèi)積可用矩陣記號表示為(1)當(dāng)

和

都為列向量時(一般做法)，返回上頁下頁，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).④①(交換律)②(結(jié)合律)③(分配律)根據(jù)定義，容易證明內(nèi)積具有如下運算性質(zhì)：(設(shè)

,

,

為

n

維實向量，k

為實數(shù))(2)若已知

是行向量，

為列向量，則內(nèi)積應(yīng)為上頁下頁2.向量的長度(2)任意非零向量

，可通過長度進(jìn)行單位化，是單位向量.即，定義

2

設(shè)

n

維向量規(guī)定

的長度(或范數(shù))為(1)若，則稱向量

為單位向量.說明返回返回上頁下頁例

1

已知解計算兩個向量單位化后的內(nèi)積.返回上頁下頁證

參見

.定理

1

向量的內(nèi)積滿足即(稱為Cauchy-Schwarz不等式)向量長度的性質(zhì)：②(齊次性)③(三角不等式)性質(zhì)①②顯然成立，性質(zhì)③的證明參見

.附錄

1附錄

2①等號成立當(dāng)且僅當(dāng)；(非負(fù)性)根據(jù)定義，如果非零向量

,

的內(nèi)積，則夾角

=

90o；反之亦然.返回上頁下頁3.向量的夾角定義

3

規(guī)定

n

維向量

和

的夾角為定理

2非零向量

,

正交(或垂直)的充要條件是說明由于零向量與任何向量的內(nèi)積為零，因此，也可以說零向量與任何向量正交.因此返回上頁下頁對于齊次線性方程組Am

n

x=O，即Ax=O

的每個解向量都和矩陣

A

的每個行向量正交.因此，Ax=O

的解集(即解空間)就是與

A

的行向量都正交的全部向量的集合.這是Ax=O

的解空間的一個基本性質(zhì).返回上頁下頁例

2

已知

R3

中的兩個向量正交，求一個非零向量

3，使得

1,

2,

3兩兩正交.分析已知

1,

2

相互正交，故只需求出與

1,

2都正交的一個向量.以

作為行向量構(gòu)成矩陣

，則

Ax=O

的解和

正交(亦和

1,

2正交).返回上頁下頁令建立齊次線性方程組Ax=O，解方程組(過程略)，可得基礎(chǔ)解系解于是，和

1,

2

都正交的非零向量

3可表示為(

k

為非零實數(shù))即返回上頁下頁二、正交向量組、規(guī)范正交基設(shè)是非零正交向量組，1.正交向量組即(非零)(正交)一組兩兩正交且不含零向量的向量組，稱為非零正交向量組.定理

3非零正交向量組是線性無關(guān)的.證返回上頁下頁設(shè)(*)對(*)

式兩端同時左乘，得由于各向量兩兩正交，故其中，因此，必有.同理，對(*)

式兩端同時左乘，可得.證畢證明線性無關(guān)，就是要證明上式中的組合系數(shù)必須全為零.返回上頁下頁2.規(guī)范正交基例如，是

R2

的一個規(guī)范正交基.是正交單位向量組，則稱定義

4

設(shè)是

r

維向量空間

V

的一組基.如果是

V

的一個規(guī)范正交基.一組兩兩正交的單位向量，稱為正交單位向量組，即設(shè)是向量空間

V

的一組規(guī)范正交基，返回上頁下頁設(shè)

證

則則向量

在這組基下的坐標(biāo)向量的第

j

個分量為基坐標(biāo)向量返回上頁下頁3.施密特(Schimidt)正交化方法施密特正交化方法：一組線性無關(guān)的非零向量與等價的正交單位向量組作特定的線性運算返回上頁下頁施密特正交化方法的基本步驟和思路：設(shè)是一組線性無關(guān)的非零向量.②

取求，使得，即

2和

1正交.①取得返回上頁下頁③

取令，，可得于是，于是返回上頁下頁④

不斷重復(fù)以上步驟，直到最后有通過①②③④的正交化步驟，得到正交向量組：即(作為練習(xí)，證明都是非零向量)最后，再將單位化為，返回上頁下頁施密特正交化步驟小結(jié)

：首先將線性無關(guān)的非零向量組正交化：令返回上頁下頁再將得到的正交向量組單位化：這是因為：對一組線性無關(guān)的單位向量正交化后,可能不再是單位向量.說明(1)正確的順序是先正交化，再單位化.(2)向量空間的基一般不是規(guī)范正交基，但是可以通過施密特正交化步驟，構(gòu)造出一組規(guī)范正交基，這稱為：對基進(jìn)行規(guī)范正交化.返回上頁下頁例

3解用施密特正交化方法將這組基規(guī)范正交化.設(shè)

R3

的一組基為取首先將正交化：返回上頁下頁再把單位化，返回上頁下頁例

4已知解令矩陣，(的解與A的行向量正交，亦即與正交)求兩個向量，與共同構(gòu)成非零正交向量組.即建立方程組，返回上頁下頁

1,

2線性無關(guān)，且都與

正交.再將

1,

2正交化：取于是，

是一個非零正交向量組.解

Ax=O，得基礎(chǔ)解系三、正交矩陣、正交變換返回上頁下頁1.正交矩陣定義

5若

n

階方陣

A

滿足

ATA=E，則

A

為正交矩陣.根據(jù)定義，容易證明如下正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)

A,B

皆為

n

階正交矩陣，則①②(即)也是正交矩陣；③AB

也是正交矩陣；④返回上頁下頁按列分塊為設(shè)，證定理

4A為

n

階正交矩陣的充要條件是：A

的列向量組是正交單位向量組.返回上頁下頁說明Rn

的規(guī)范正交基是“(含

n

個

n

維向量的)正交單位向量組”.因此，定理4亦可表述為A為n

階正交矩陣的充要條件是：A

的列向量組是

Rn

的一組規(guī)范正交基”.因此，的充要條件是：證畢返回上頁下頁A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交，例

4驗證是正交矩陣.解故

A

是正交矩陣.返回上頁下頁2.正交變換【回顧】從變量x1,x2,…,xn

到變量y1,y2,…,ym的“線性變換”可表示為即,記作y=Ax.返回上頁下頁定義

6若

A

為正交矩陣，則線性變換

y=Ax

稱為正交變換.即正交變換的性質(zhì)設(shè)：

n

維列向量

,

A,A(A為正交矩陣)，則向量的內(nèi)積與長度以及向量間的夾角都保持不變.正交變換返回上頁下頁證設(shè)A為正交矩陣，由前兩式，立即有(向量間的夾角不變)(向量的內(nèi)積不變)(向量的長度不變)返回上頁下頁2.下列條件等價:(1)

A

為

n

階正交矩陣；四、小結(jié)1.施密特正交化方法：由一組線性無關(guān)的非零向量組，通過特定的線性運算，構(gòu)造出一組正交單位向量組.利用施密特正交化方法，可將向量空間的基規(guī)范正交化.A

的列向量組(或行向量組)是正交單位向量組；A

的列向量組(或行向量組)是

Rn

的規(guī)范正交基.(注意正確順序是先正交化、再單位化)返回上頁下頁已知行向量思考題求：與正交的一個單位行向量.返回上頁下頁思考題解答用行向量構(gòu)成矩陣由于Ax=O的解向量

x

(列向量)與正交.故，x

的轉(zhuǎn)置xT

亦與正交.解齊次線性方程組Ax=O，得基礎(chǔ)解系于是，與正交.再將單位化，返回上頁下頁為方便計算，令則，就是與正交的單位行向量.返回上