《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課后答案華中科技

第一章1.1計算下列各式.

(1)(1+i)-(3-2i)；

解(I+i)-(3—2i)—(1+i)—3+2i=-2+3i.

(2)(a-6i)3;

解(a-6尸=/-3/加+3a(歷/一(bi)3

=-3tz>+式方3—3a2力).

⑶(i-OG-2);

郵i___________________i______________i_

解(i-l)(i-2)-i2-2i-i+2一廠3i

=i(l+3i)_-3i

10-10w

(4)Z(z=h+i_y關(guān)-1);

毓zr1_z+i_y1_(x-1+i.y)(x+1-iy)

z+1%+0+1(jr+l)2+j/2

.42+y2]+2iy

(lZ+1)2+?2

1-2證明下列關(guān)于共朝復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：

(1)(ZL±Z2)=Z\±Z2；

證(Ni±Z2)=(Xi+Ri)±(X2+i》2)

=(11±央)+iGi±)2)=(工1±Z2)-i(Hi±y,2)

=工]一i'l±J：2+=芝1±Z2-

(2)?1?Z2=Zl*Z2；

證Z1?Z2=(X1+i>l)(x2+i>2)

=(#1尤2-yiy2)+i(上1N2+?]12)

=工逐2-N132-i(Nl、2+?1工2).

Z1?Z2=(71+W1)(12+02)=(N1-iyi)(^2-42)

=21工2一91工2--yiyi-

即左邊=右邊，得證.

⑶償）=人（"0）.

i-r（Zl\/尤I+M_/（工I+必）（力2—32）

證6尸1石不瓦）=（君+貨

+p

2+72+2/

X2^2y2\fX2

=4W=￡1

-i22為’

2叼-z=i,

13解方程組2

(1+(Z]+i?2=4-3i.

解所給方程組可寫為

J2x(+2必-x2-必=L

1(1+i)(Z1+Wi)+i(x2+%)=4-31.

即

12Hl-X2+i⑵1-32)=*.

[11->1-J2+i(5l+犯+力)=4-3i.

利用復(fù)數(shù)相等的概念可知

2xi-■22=0，

「"火=1,

叫一-?2=4，

、21+工2+V=-3.

解得

17636

?2=-1，”=一5，工1=一了，^2=-y.

故

36.617.

21=~7_5bZ2="J"71-

14將直線方程以十"+c=0(<?十八W0)寫成復(fù)數(shù)形式.

[提示:記T-V\y-z.]

解由彳=工/，？=工/代入直線方程，得

發(fā)(2+Z)+.(z-Z)+C=0,

az+az-bi(z-z)+2c=0,

(Q-ib)z+(a+ib)z+2c=0,

故Ax+Az+8=0，其中A=a+ib,Li=2c.

1.5將圓周方■程a(一+J)+bx-i-cy+d=0(arO)寫成復(fù)

數(shù)形式(即用二與k未示，其中N-上?iv).

JtlJ廠―癡+W_N->2

解“1一2，)—2iJC2+yx?W代人圓周方程.

得

az-W+與(z+分)+蕓z-d=。

2az?z+(b-")之十(b+\c)z+2cL

故

Az?s+H"+BE+0=0.

其中A=2a?B=〃+ic,C=2d.

求卜,列笈數(shù)的模與軸角主值.

(1)/3+i;

解|/3+i|=J(O+產(chǎn)=-『A—2,

arg(73+i)=arctan=*?

(2)-1—i;

解I1i\-%/(—1)?+(CP—*/2,

arg(-1-i)=arctailIjJ一六=五一n=一彳次.

(3)2-i;

解|2-iI=M2?+(-1>2=45.

arg(2—j)—arctnn-5'=—arctan.

(4)-1+3i.

解I-1+3ij=八-I)?+3?=,

3

arg(-1+3i)=arctan1]+?=穴arctan3.

1.7證明下列各式：

(D|馬-力/=|力『+|肛『—2Re(zi,z2)i

證I句一句/二(句一3)(z「z2)

-(與-與)(為一幼)

=Zf?Z[+Z2'Z2~_zi^2

=I勺『+IZ2『一(力為+Z逐2)

2

=Izi1+|z2\-2Re(z/2).

⑵|到+Z2I2+IZLZ2I2=2(國I2+|Z2I2)，并說明此式的

幾何意義；

證I向+之29+|之1一町「

=(Zi+?2)(町十町)+(Z1-Z2)(Z]-Z2)

=(21+22)(幻+乏2)+(21-之2)(處--2)

=2|zi|2+2|?212=2(||2+|?212)-

此式的幾何意義是:平行四邊形對角線平方和等于各邊平方和.

(3)i(lx|++1yl(其中z=x+iy).

421

證顯然有|z|=|工+舊|=，工2+—4I]]+IyI,而

(\x\~1^1)2>0,則2|利|(/+J.又

(1^1+IyI)2=Ix12+I12+21xyI

<2(/+)2)=2|z|2,

故

Iz12I+I>1)-

V2

即

-H(|x|+|>|XI|z|+\y\.

V2

l.?將下列各復(fù)數(shù)寫成二角表示式.

(1)-3+2i；

解I一3+2i|=,arg(-3+2i)=arctan+n,

—J

故

-3+2i=A/T3[cos(汽-arctang)+isinK-arctan-y

(2)sina+icosa;

解Isina+icosa!=1,

/?、?、cosa

arg(sma+】cosa)=arctan------

sina

=arctan(cota)=會-a,

sina+icosa—cosf-a)+isin(y-G).

兀Tt

⑶—sin6icos-6,

7T,

解arg-sm=arctancot

7—18s石計

_n7t2

=2_石一n二一1又，

.7t.7t/2\/2\

-sm7一]cos不=cosl--ynI+ism(一百7rl

22

:coswn-isin百元.

1.9利用復(fù)數(shù)的三角表示計算下列各式：

(1)(l+i)(l-i);

解1+i=&(cosg+isin今)，

1-i=6(cos+isin,

(1+i)(l-i)=2(cos住-f)+isin(j-g))=2.

<2)(-2+3i)/(3+2i);

解因

___r一3-3?

-2+3i=5/13^cos(arctan+TT)risin(arctan+n),

r22

3+2i=^^13]cos(arctany)+isin(arctany),

故(-2+3i)/(3+2i)=i.

注：arg(—2+3i)/(3+2i)=arctan.+正一arctan日

-3/2-2/3兀買

二—1不3々）?網(wǎng)+…2+'

⑶（T）［

解由乘幫公式知

(與州=[cos3?若+isin3.*]=i.

(4)，-2+2i.

解因|-2+2i|=8,arg(-2+2i)=1■次,所以由開方公式知

f—3+8^ir..3+8-丁\

4-20+21=V8Icos—痛~"+1sin丫%一J，

k=0,1,2,3.

1.10解方程：/+i=o.

解方程/+1=0,即/=一1,它的解是

2=(-1)3,

由開方公式計算得

z=[1,(cosTV+isiiwt)]s

(2k+1)7T,..(2k+1)7TJnio

=cos---3+ism§/,k=0,1,2.

即

K,..n:1.V3.

ZQ=cosy-Fisiny=2+爹i,

zt-cosit+isimr=-1,

5K,..5n1V3.

Z2=cos]+ismg=~2~亍.

1.11指出下列不等式所確定的區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界

的還是無界的?是單連通域還是多連通域？

(1)2<|zl<3;

解圓環(huán)，有界多連通域.

⑵臼<3；

解以原點為中心為半徑的圓的外部，無界多連通域.

(3)號"<argz<亨且1<|z|<3;

解圓環(huán)的一部分，有界、單連域.

(4)Imz>1且|n|<2;

解圓環(huán)的一部分，有界、單連域.

(5)Rez2<1;

解12一？2<[,無界、單連域

(6)|z-11+|z+l|44;

解橢圓的內(nèi)部及橢圓的邊界，有界、閉區(qū)域.

(7)[argz|<y;

解從原點出發(fā)的兩條半射線所成的區(qū)域、無界、單連域.

(8)五言>a(a>0).

解分三種情況：0<?<1,區(qū)域為圓的外部；

a=1為左半平面;a>1為圓內(nèi).

1.12指出滿足下列各式的點z的軌跡是什么曲線？

(1)|+i)=1；

解以(0,-i)為圓心,1為半徑的圓周.

(2)\z-a\+\z+a\-6,其中為正實常數(shù)；

解以土a為焦點，立為長半軸的橢圓.

a

(3)Iz-a|=Re(z-匕),其中a,6為實常數(shù)；

解設(shè)z二H+iy,則I(1--a)+=Re(x-b+iy).即

(x-a)2+y2-(x-6產(chǎn)，

b-6~0.

解橢圓周的參數(shù)方程為①":煙"'。＜力＜2兀，寫成復(fù)數(shù)形

y=6sint,

式為z=acest+i6sint(04￡42K).

1.14試將函數(shù)--丁一-Z)寫成2的函數(shù)(2=Z+iy).

解將工=z；4,y-.J代人上式，得

(z+z)2.(z-—)2.(z+z)(z-z)..Z+Z

4-4i+l-v

z2+2z?z+z2z2-2z-z+z2z2-z2..z+z

=4+r—~r"+i~

1.15試證limRe’不存在.

EZ

證lim^^=lim9令y=丘,則上述極限為,隨力

zTZrH)T+ly1+々i

y-H)

變化而變化，因而極限不存在.

1.16設(shè)/(幻二]一+丁'",°'試證/(4在2=0處不連續(xù).

[0,z=0,

證因

、?

物1,￡,廣⑴?"如1y工㈣1?/:下kjc？=茂k彥，

即阿f(z)不存在，故/(Z)在Z=。處不連續(xù).

第二章(1)f(N)=.

解因

1_X

lim令二a)=lim

2*0△之心—€AZ

=lim三八△:-=-^2(z關(guān)0),

Ax(X+L^z)Zz2

故

f(z)=(!丫--\(zwo).

Zz

(2)f{z}=zRez.

解AR因tn

hm&

8TdN

(N+△N)RC(N+白之)一之Rg之

=lim

Az-*O△N

△N

—limzRe+zRe_z+azReA

Asr-H)△之

ReAg

=limRez+Re△2+2

Aa-*0\Fz-

nRedz\

“△NJ

Ax

ZAx+iA?

當(dāng)zK0時.上述極限不存在，故導(dǎo)致不存在；當(dāng)=0時,上述極

限為0,故導(dǎo)數(shù)為0.

2.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)?何處解析?何處不解析?

(1)/(2)-Z*Z2.

解/(N)NW?％2=W?宏?之=|N|2?N

=(x2+y2)(x+i“

=十y1)+iy(j：2+y2),

這里u(x,y)=x(x2+y2),v(x,y)=y(x2+y2).

21

ux=x+y+212,%=f+J+2y2,

uy-2xy,與-2zy.

要%=%,%=-%,當(dāng)且僅當(dāng)x-y=0,而ux,uy,vxfvy均連續(xù),

故f(z)=2/僅在z=0處可導(dǎo),處處不解析.

(2)/(z)=x2+iy2.

22

解這里口—xtv-y.ua=2工，%=0,%=0,%=2y,四

個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，但u,r=僅在1=y處成立，故/(z)僅

在工=y上可導(dǎo)，處處不解析.

(3)f(z)=J-3-31y2+j(3z2y-》3)

解這里-Xs-3工)2,上(1,))=3/y-？3.%=3x2

2

-3y,uy=-6g,%=6zy,%=3]-39，四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且

以=%,%=-%處處成立.故/(之)在整個復(fù)平面上處處可導(dǎo)，也

處處解析.

(4)f(z)=sinnchy+icoszshy.

解這里N(a,))=sin彳chy,,y)=coszshy.

u2—oosxchy,uy=sinzshjr,

vt=-sinxshyf%=cos?rchy.

四個偏導(dǎo)均連續(xù)且ux=vytuy=-vx處處成立，

故/(z)處處可導(dǎo),也處處解析.

3.確定下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點,并求出導(dǎo)數(shù).

解f（z）=是有理函數(shù)，除去分母為0的點外處處解析,

故全平面除去點2=1及Z=-1的區(qū)域為八之）的解析區(qū)域,奇點為

2=±1J（Z）的導(dǎo)數(shù)為：

/（2）=（P1）=（Z汽產(chǎn)

則可推出含=,=0,即〃=C(常數(shù)),故f(z)必為。中常數(shù).

(3)設(shè)f(z)="+M由條件知arg-=C,從而

1+(v/?)2

求導(dǎo)得

U+VU+V

化簡，利用CR條件得

0.

\o落x-o衿y=

所以患二,=°，同理需「*=0,即在D中建，9為常數(shù)，故f(z)

在。中為常數(shù).

(4)設(shè)ar0,則u-(c-6r>)/a,求導(dǎo)得

du_b9v

—dub3v,

dra3x,dya3y

由C-R條件

dubdua2bap

9工a辦djcady

故a必為常數(shù)，即f{z}在D中為常數(shù).

設(shè)a=0,6#0,c?0,則4=c,知，為常數(shù)，又由CR條件知

?也必為常數(shù)，所以fM在D中為常數(shù).

5,設(shè)f(幻在區(qū)域。內(nèi)解析，試證

品=4|/(z)I2.

證設(shè)

f(z)=u+iv|f(N)任=—+

人)得-噗，匹心像)

而

層+給"(z)|2=條("2+/)+聶(“2+/)

//加\2d2upvv2正

=2[㈤+穌+㈤

又fG）解析,則實部?及虛部，均為調(diào)和函數(shù).故

昨（轂+含）=6+4）=&

則

（梟崎）爾川J”像丫+（新）=4ir（川2.

6.試證CR方程的極坐標(biāo)形式為需T需，需=一十需，并且

有

fix)

證一設(shè)*=rcos仇y=rsinaGR條件:牛=?，察=一孕.

dxdyaydx

因

dudu3j：du0a“i.adu

=cos”丁+sm口丁,①

Sr二石?方+而,OXdy

du3udxIdu￡>a”，n3u

麗=友?劉+熱=-rsin8孩+rcosu,②

dy_djc—fy-jcA久i4.SnR

~~COo。f?Sin(7o*③

dr。工dr3voxoy

3Pdydx3vAa?A.qa5

----V------k---=-rsm。丁十廠cosuk,()

30dx30dyOJCdy4

利用？=巴2=-黑，比較①、④和②、③即得

d父dyojc

Ou?一1a?V1d.u

Or~r36'dr~r30'

r(z)=翁+喳

二償8s”+豢山6)+i像cos"十1|加6)

cfdu、、dp\sin6i^u,

=COS外赤+l而廠:一(赤+l而)

nl3u,.dv\sin6/dv,.du\

得

人）”（票+卷）吒僵+臣卜

，試證〃=/一片一用都是調(diào)和函數(shù)，但…。不是

解析函數(shù).

證因器=2孫毅=2號-2,0=-2,則

故“二/一/是調(diào)和函數(shù)又

_12n32.——2y3+6彳2丫

石(x2+y2)2'dx2(x2+y2)2'

dy_#2+y2_2y2_工2_y2/一_2y3—6-"

(x2+y2)2(x2+y2)2"Oy2(x2+y2)2*

則駒+會=o,故笠=是調(diào)和函數(shù).

但?W野翁工-翁澈u+訕不是解析函數(shù).

8.如果/(z)=u+\v為解析函數(shù)，試證-u是的共輾調(diào)和函

數(shù).

證只需證9-i”為解析函數(shù).因i,“+R均為解析函數(shù)，故

—i(w十沁)也是解析函數(shù)，亦即—u是曾的共匏調(diào)和.

9.由下列條件求解析函數(shù)f[z}=u+tv.

(l)w-(1一*)(*+4xy+>2);

解因器=邸=31+6工1y—3》2,所以

v=f(3j?2+-3丁)dy

=3l2y+3卬2_J+g(z),

又需=6xy+3y2+d(?r),而票=3①2-64ry-3y所以“(工)=

-312,貝Ij<p(1)=一+C.故

/(Z)=U+IV

—(x-yMf+4xy+y?)

223

+i(3j~y+3xy-y—JCI+C)

=(1-I)JC2(X+iy)-9(1-i)(x+

—2X2J/(1+i)-2xy2(l-i)+Ci

=z(l—J)—2xyi,iz(l—i)+Ci

=(1—i)z(j：2—y2—2jryi)+Ci

二(1-i)d+Ci.

(2)v=2xy+3x;

解因騾=2y+3,患=2z,由f(z)解析，有

U=I21Ztlz二工2+0(y).

又留=一含--^y-3,而言=所以=-2y-3,則

36)=一/_3、+C故

f(z)=x2—y2-3y+C+i(2工y+3x).

(3)u=2(JC-l)j?,/(2)=-i;

解因愛=2y,急=2(N-1),由f(z)的解析性，有

于=*=-2(…)，

djcdy

V=J-2(一l)dz=-(z—1)2+“(丁)，

又用=斐=2),而3="G),所以

3'(y)=2y,4)(y)-y2+C,

則

v=-(JC-I)2+y2+C,

故

f(z)=2(x-1)丁十i(一(i-+J+o,

由/(2)--i1#/(2)=i(-1+C)=一i,推出C=0.即

f(z)=2(a-X)y+KJ-j；2+2x-1)

—i(--1)=-i(z—1)2.

(4)u—eT(xcosy-了sin?),f(0)=0.

解因

xT

萼=e(jrcosy-1ysiny)+ecosy,

3u

=(產(chǎn)(一xsin3?-siny-ycosy),

由/'(之)的解析性，有

dy__d_u

=-ex(—a?siny—siny—ycosy),

<?X3y

dv_3_u_

ex(xcosy—>siny)+e^cosy.

djc

則

v(x,y)=J-票d*+整dy+C

J(o,o)3ya#，

=Odz+[ex(a：cosv-vsiny)+excos>]dv+C

JoJo

=exJTJcos

ydy-ysinydy+cosydy|+C

J。-Jo■/

=xsiny-ycotsy-0cosydy+10cosydjy)+C

:e'jrsiny-exjcosy+C,

故

f(z)=eJ(xcosy-ysiny)+iex(xsiny-ycosy)+iC.

由/(O)=0知C=0,即

f(z)=e，(icosy-ysiny)+ie*(zsiny-ycosy)=zez,

10.設(shè)v=e煦sin力求p的值使d為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)

f(z)—u+\v.

解要使&(1,＞〉為調(diào)和函數(shù)，則有=%r十七=0.即

92cAisiny-e^sin)=0,

所以p=±1時,v為調(diào)和函數(shù)，要使/(z)解析，則有ux-vy,Uy=-vx.

u(x,y)=Juxdj：=Je^cosydz=-^e^oosy+1(y),

uy=--e^siny+3'(y)—-p*siny.

所以

3'(y)=(3一pje^siny,5(y)=(P一~je^cosy+C.

即u(x,y)-peacesy+C,故

Je，(cos3/+isin3,)+C=ez+C,p=l,

f(z)=5、八_

l-ez(cos3/+isin^)+C=-eZ+C,/)=-1.

11.證明:一對共施調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù).

證明設(shè)9是〃的共鈍調(diào)和函數(shù)，令/(z)=〃+2，則/(z)是

解析函數(shù),產(chǎn)(2)=f(z),/(Z)=(u+iv)2=(M2-”2)+i2UV也

是解析函數(shù)，故其虛部2刈是調(diào)和函數(shù)，從而取是調(diào)和函數(shù).

12.如果f{z}=u+2是一解析函數(shù)，試證:i"也是解析函

數(shù).

證因/(z)解析，則強=票，票=-孕，且〃，豆均可微，從而

djrdyoydj：

-u也可微，而

if(z)=v—iu—v+i(—?)

又

3y3u3(—u)dy_djt__a(一〃)

9Tdy'3y3工3JC'

即-〃與曾滿足CR條件，故i兩也是解析函數(shù).

13.試解方程：

(l)e*=1+/3i;

解ez=1+/3i=2(cos號+isiny)=28,尹2癡)

=*2+i⑵”+多,笈=0,土1,±2,

故

z=In2+\{2kn+y),k=0,±1,±2.

(2)Inz=￡；

解z=e.21=cosy+isiny=L

(3)sinz—ish1;

解sinz=ish1=i(-i)sini=sini,所以z=2kn+i或z=

(2&-l)n—id為整數(shù).

另解.見本節(jié)例24.

(4)sinz+cosz-0.

解由題設(shè)知tanz=-1,z=^7t-,k為整數(shù).

14.求下列各式的值.

(1)cosi;

(2)Ln.(—3+4i);

解Ln(-3+4i)=In5+iArg(-3+4i)

=In5+i+K—arctan/.

⑶(—

解(1-=e(l+i)Ln(l-i)

=(-￡+22兀)]

_^ln/2+^-2^jr-*-i[ln/2+2Air-^]

=e1^+4-2t,rcos(In*/2—^-)+isin(ln/2-

(4)33T.

&3-i_J3-i)Ij?3_Q(3r)(ln3⑵石)

解J—c—c

:C(3—i)ln3./￡1r—31n3+2比方.g-iln3

=27e24ff(cosIn3-isinIn3).

15.證明

⑴sinz=sinarchy+icosNshj>;

證sinz=sin(x+i>)=sin①cosiy+coszsini_y

.+e-WeS-e-ii>

=sinx-------------+oosJC------云，-

.e-y+.e-y—9

=sinx-icosx2~~

=sinxchy+icosishy.

(2)cos(名i+Z2)=cosz^cosZ2-sinzjsinZ2i

證

coszicosZ2-sinzjsinn

_(e&i+-%)，%+e-%)_(金―二e-%)(e%—

—4—4-

=l[e'(Z]+丁2)+e-*zi+w/+￥(_勺+￡2)+g<(?j-^2)]

Kt

+/e*，+*2)+e-i(2j+^2)-e〈一，F(xiàn))-e

=+eT(，+"2)]=cos(zi+z：2),

（3）sin2z+cos25：=I;

證利用復(fù)數(shù)變量正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義直接計算得

sin2x+cos2^—［去（el*—e-lx）+（e1K+e~lz）］

=—］（/訪+e~2ix-2）+-y（e2**+e~2ts+2）

*T*T

=1.

（4）sin2N=2sinzcosz;

濟o，o（聲-e"）（一十

璉2smzcosz=2'---------------1--------------匚

4t

=yr（e2is:+1-1-e~2iz）

=2i（，"-e-2,z）=sin2z.

（5）Isinzl2=sin2x+sh2>;

證Isinz\2-sinz?sinz=sinz?sinz

_Jz?運—eT蘇

一'"2i'2T

［9（才+60ei（N+iy）］—（工-iy）］

-4

=-卷［e2漢+e-2ix-2+2-e2^-e~2y］

=sin2.r+sh2”

（6）cosz.

證

sin（zl-之2）=sinNicosZ2-cos乞isinZ2>

元、，n7T.

（~2~zj=sm爹cosz—cos爹s】nz=cosz.

16.證明：

（1）ch2^rsh22二1；

故

2

++?2+2e"+-21

ch%-sh2?4=L

⑵ch2z—sh2r+ch2?;

證系+屆=/+”2+0*e-2z+2

44

2+e'2z

=---------=ch2z,

(3)th(z+7ti)=th之；

ez+石一e-i

證th(z+石)=

ez+石+e-z-ni

e"2疝一e-工二?-e-a

e=thz.

eZ+2布+e—―ee+e-e

(4)sh(zi+Z2)=shN[dhZ2+chzish

證設(shè)之二chw,且加=Arcchz,由

z=chw=；(e"'+e-tt，)知2z=e07+e'

即e2"-2zew+1=0.解方程得=z±，”-1，故

u;=ln(z+Vz2-1).

注:二]含有“土”兩根.

18.由于In2為多值函數(shù)，指出下列錯誤.

(1)Lnz2=2Lnz.

解因

Lnz2=In|z|2+i(2^+2^?r),k=0,±1,±2「-

而

2Lnz=2〔ln|z|+i(8+2入n)]

=ln[x|2+\{26+4天K),k—0,±1?±2,-**

兩者的實部相同，而虛部的可取值不完全相同.

(2)Ln1-Ln--Ln?-Ln?=0.

z

解Ln1=In1+i(0+2￡K)

=2笈式i,k=0,±1,±2,…，

即Ln1=0僅當(dāng)4=0時成立.

注：Ln(zi?匕)=Ln町+Ln叼及Ln/=Ln之1-Lnz2兩個

等式的理解應(yīng)是:對于它們左邊的多值函數(shù)的任一值，一定有右邊兩多

值函數(shù)的各一值與它對應(yīng),使得有關(guān)等式成立;反過來也一樣.

19.試問:在復(fù)數(shù)域中(d)。與一定相等嗎？

解不一定，如：

a=l+i,6=2,c=y,a*=l+i,(a'尸二注\.

20.工列命題是否成立？

(1)ez-e蘇.

解成立，因______

ez=e"ty=6^(cosy+isin>)=6^(cosy-isiny)

(2)p(z)=似/(力(z)為多項式).

解不一定，如

p(z)=(a+法)z,p(z)=(a-\b)z

而

p(z)=(a+\h)z.

(3)sinz=sinz.

解成立，因

⑷Lnz=Lnz.

解成立,因

Lnz=[In]z|+[(^+2kizj}

=ln|zI-i(^+2kn)t笈=0,±1,±2,….

Lnz=ln|2|+i(-0+2kn)

二ln|z|-i(6+2AK),及=0,±l,±2,….

第三組1.計算機分-,）+Lr2]dz,積分路徑（1）自原點至I十i的

直線段；（2）自原點沿實軸至1,再由1偌直向上至I十i;（3）自原點沿

虛軸至i.再由i沿水平方向向右至1十i.

解(1)I[(N-+i.r2_dc

」0

=[32(]-i-i)dr—i(1i)-------+W

注：直線段的參數(shù)方程為之二(1+：)E,0WZ<1.

(2)City—0?dy-0,dz=di,

C2：2—1,=0,dz=idjy-

j([(n->)+21dx=?仁十

'

=f(JT+izr2)dz+|(I—v-t-i)idv=—+-T1.

JoJo"Nb

(3)Zi:JC=0,dz=idy1/3:v=1,dz=djr.

J。[(1_*)+\jr2}dz=j+I,

二f(一、)id_y+「(工—1+ijr2)dx

J0Ju

__---—1_____—__i

26,

2.計算積分巾cltydz的值，其中C為(1)Izl=2;(2)|zf=4.

解令之一.耳，則

f,T^rdy=f——rie2dd=2nri.

ir=2時,為4?n:當(dāng)r=4時，為8rn.

3.求證：[與，其中。是從1i到1的直線段.

JCZ4

故

dz2

C^WIdzI_0cos0d”去

cIz2Jqcos%

4.試用觀察法確定卜列積分的值，并說明理由，C為Izl=1.

⑴

。+47+4

解積分值為0,因被積函數(shù)在lz|<l內(nèi)解析.

)---dz.

⑵Ccosz

解積分值為0,理由同上.

⑶片.

解)—-2疝

Cz~2

5.求積分1—dz的值，其中C為由正向圓周|z|二2與負(fù)向圓周

JcN

Izl=1所組成.

解f—dz=1~dz-j-dz

JCZJ|z|=2ZJ1zl=1z

第5題第6題

6.計算，》上dz,其中。為圓周|z|=2.

解fM=~rz~=z(±°在=2內(nèi)有兩個奇點z=o,

1,分別作以o,i為中心的圓周G，C2，G與C?不相交，則

=2m-2iri=0.

7?計算于Izl=3(N-i)Z+2產(chǎn)

解解法同上題，

中I—=3(之一i)(z+2)dz

8.計算下列積分值.

fui

(1)sinzdz.

Jo

解sinzdz=-cosz=1—cosiri.

Jo0

(2)]ze^dz.

fUil+i,.

解J]zezdz=(zez-ez)1=ie1+1.

⑶[(3e*+2z)dz.

Jo

解[(3ez+2z)dz=(3ex+z2)

Joo

=3el—1—3=3d—4.

9計算[5也，其中C為圓周|z+i|=2的右半周，走向為從

-3i到i.

解函數(shù)4在全平面除去z=0的區(qū)域內(nèi)為解析,考慮一個單連

Z

通域，例如D：Rez>-4;Jz：I>-y，則與在D內(nèi)解析,于是取2的

4zZ之

一個