2015-2016學年上海市浦東新區(qū)高一（下）學期期末數(shù)學試卷 （解析版）

2015-2016學年上海市浦東新區(qū)高一第二學期期末數(shù)學試卷

一、填空題：本大題共12小題，滿分36分.

1.函數(shù)y=l-cos2x的最小正周期是.

2.函數(shù)/(%)=白的反函數(shù)為尸1(x)=.

3.若siar=V，xE(一夕0),則％=.(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

2

4.方程2sin-x=1的解集是.

3

5.函數(shù)y=2sinx-cosx的最大值為.

2px_1Y

,則/(/(2))的值為_______.

(log3(、2—1),x>2.

7.△ABC中，若面積s=4±￡二依，則角C=

8.在△ABC中，若A8=3,ZABC=75°,ZACB=60°,則BC等于.

9.函數(shù)y=sin*+cos]的單調(diào)遞增區(qū)間為.

71

10.右/(x)=sin—x,則/(I)4/(2)+f(3)+---+f(2016)=.

TC4771—2d)

11.已知cos(一—.)=i1,一一。是第一象限角，則一次^^的值是：

4134sin(^+a)-------

12.若函數(shù)/(x)=cos訓sinxl(xe[0,2TT])的圖象與直線>=上有且僅有四個不同的交點,

則k的取值范圍是.

二、選擇題(本大題共12分，共4小題)

13.在△ABC中，sinA?sinB<cosA,cosB,則這個三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

14.已知函數(shù)y=loga(2-ax)在(-1,1)上是尤的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+8)

7T

15.將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平行移動五個單位長度，再把所得各點的橫坐標

伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是()

A.y=sin(2x-點)B.y=sin(2x一1)

C.y=sin(/一點)D.y=sin(/一

TT

16.下列四個函數(shù)中，以IT為最小正周期，且在區(qū)間(一，7T)上為減函數(shù)的是()

2

A.y=cos2xB.y=2\siwc\

C.y=(i)cosxD.y--cotx

三、解答題：本題共5小題，滿分52分.

17.一扇形的周長為20c徵，當扇形的圓心角a等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面

積是多少？

18.解下列方程：

(1)9%-4?3%+3=0；

(2)log3(X2-10)=l+log3X.

19.已知OVaV*sina=

(1)求sin2a+sin2a的值;

cos2a+cos2a

(2)求tan(a一肆)的值.

4

20.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

(I)求/的值；

(II)求/(X)的最大值和最小值.

21.設函數(shù)尸(x)=["")'‘⑺—其中/⑴=log2(x2+l),g(x)=k?g2(|x|+7).

lg(久)，/(X)vgO)

(1)在實數(shù)集R上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)尸(無)的解析式；

(2)求函數(shù)尸(無)的最小值.

2015-2016學年上海市浦東新區(qū)高一第二學期期末數(shù)學

試卷

參考答案

一、填空題：本大題共12小題，滿分36分.

1.函數(shù)y=l-cos2x的最小正周期是it.

【分析】利用y=Acos(3.計隼)的周期等于T=金，得出結(jié)論.

271

解：函數(shù)y=l-cos2x的最小正周期是一5,

2

故答案為：7T.

11-1-2Y

2.函數(shù)/(久)=當?shù)姆春瘮?shù)為「1(x)=:(xWO).

【分析】直接利用函數(shù)的表達式，解出用y表示尤的式子，即可得到答案.

解：設V=￡五，可得孫-2y=l,

：.xy=l+2y,可得％=等乜將尤、y互換得/-IQ)=1±女.

,原函數(shù)的值域為ye{y|yWO},

二廠(支)=1^,30)

1J-7v

故答案為：GW0)

X

3.若sinx=-1,xE(-5,0),貝！|x=-arcsin-.(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

32--------------3一

【分析】由條件利用反正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得尤的值.

17r11

解：Vsinx=-xG(—77,0),則％=arcsin(―-)=-arcsin-,

3233

1

故答案為：-arcsinI.

3

4.方程2sin-x=1的解集是1xlx=3加+]或x=3E+型,k￡Z\.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，解三角方程求得x的值.

解：由方程2sin4=l,可得方程sin4=.??4=2匕1+5或4=2而+理，依Z,

3323636

求得或％=3411+號，依Z,

44

故答案為：{4x=3E+1或％=3為+肆,kEZ].

4,4

5.函數(shù)y=2sinx-cosx的最大值為—V5_.

【分析】利用輔角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.

解：y=2sinx-cosx=V5sin(x+(p)<V5

故答案為：V5

(2PX-1x<2

6./(%)=:則—2))的值為2.

1/0^3(x2-1),X>2.

【分析】本題是一個分段函數(shù)，且是一個復合函數(shù)求值型的,故求解本題應先求內(nèi)層的火2),

再以之作為外層的函數(shù)值求復合函數(shù)的函數(shù)值，求解過程中應注意自變量的范圍選擇相

應的解析式求值.

解：由題意，自變量為2,

故內(nèi)層函數(shù)/(2)=log3(22-1)=1<2,

故有/(I)=2Xe「i=2,

即/(7(2))=f(1)=2Xe「i=2,

故答案為2

7.△ABC中，若面積S=*+b;c2,則角c=-.

4V3一6一

【分析】由余弦定理易得a2+b2-c2=2abcosC,結(jié)合三角形面積S=譏c及已知中5=

.毯三,我們可以求出tanC,進而得到角C的大小.

4/3

解：由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC

又???△ABC的面積s==嗎匹=labsinc，

4/34/32

cosC=V3sinC

tanC=—

3

又???。為三角形ABC的內(nèi)角

?,?rL-—I—L

o

71

故答案為：-

6

8.在△ABC中，若A8=3,NABC=75°,ZACB^60°,則8C等于—述

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求得/BAC,進而根據(jù)正弦定理求得BC.

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知

ZBAC=180°-75°-60°=45°.

BCAB

根據(jù)正弦定理得

sinZ.BACsin^,ACB1

BC3,n.3sin45°V萬

R即n------=-------：.BC=,“。=4-=V6.

sin45°sin60°sm6°孚

故答案為：V6

9.函數(shù)y=sin*+cos*的單調(diào)遞增區(qū)間為」4/OT—搟兀，4/CTT+^](fcGZ)

【分析詵利用輔助角公式對函數(shù)化簡y=sin^+cos5=&s出&+勺，由—5+2/OTW*+

4W2+2k兀，keZ可求

解：函數(shù)y=sin*+cos*=/sM6+今)

由-2+2/OTw[+.w2+2/OT,kez

可得4/c7f—WxW4/CTT+2，kwTj

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4Mr-竽，4Mr+3,依Z

故答案為：[軌兀―苧，軟兀+芻，在Z

TI

10.若/(無)=sin丁，則/(I)+f(2)+f(3)+-+f(2016)=0

77

【分析】易知/(無)=sin丁的周期為6,從而化簡求得.

TI

解：,.?/(x)=sinw尤的周期為6,

且/(I)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)

.兀.2兀.4兀.5兀.一八

=sin—+sin—+sinir+sin—+sin—+sin2Tt=。，

3333

又：2016+6=336,

：.f(1)+f(2)+f(3)+-??+/,(2016)=0,

故答案為：0.

一，冗1?7r—2d）io

11.已知cos(--?)=13丁。是第一象限角，則確而的值是：—石―

7T

【分析】先求出sin（--?）,再利用誘導公式和倍角公式進行化簡

7T

解：由于7―a是第一象限角,

7T、q

sin(z——a)=—,

4ID

sin(^-2a)sin2(^-a)711n

TT-TT=2sin(——a)=

sin(-+a)cos(--a)4ID

12.若函數(shù)/(x)=cosx+|sinr|(xe[O,2K])的圖象與直線>=左有且僅有四個不同的交點,

則k的取值范圍是10<立.

【分析】根據(jù)x的范圍分兩種情況，利用絕對值的代數(shù)意義化簡Isinxl，然后利用兩角和與差

的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的

范圍分別求出正弦對應角的范圍，畫出相應的圖象，根據(jù)題意并且結(jié)合正弦圖象可得出左

的范圍.

解：當疣[0,n]時,|sinx|=siiix,

7T

所以y=sinx+cosx=V^sin(x+4)，

當xE(IT,2II)時，|siar|=-sinx,

Tl

所以y=-sinx+cosx=V2sin(――x),

4

根據(jù)解析式畫出分段函數(shù)圖象，分析可得人的范圍為：

故答案為：1W左

13.在△ABC中，sinA,sinB<cosA,cosB,則這個三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

【分析】對不等式變形，利用兩角和的余弦函數(shù)，求出A+B的范圍，即可判斷三角形的形

狀.

解：因為在△ABC中，sinA,sinB<cosA,cosB,所以cos(A+B)>0,

TCTT

所以A+8C(0,-),C>3,

22

所以三角形是鈍角三角形.

故選：B.

14.已知函數(shù)y=loga(2-ax)在(-1,1)上是尤的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+8)

【分析】復合函數(shù)由r=2-辦，y=log〃r復合而成.再分別分析兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根

據(jù)復合函數(shù)法則判斷.

解：原函數(shù)是由簡單函數(shù)f=2-cn'和y=log/共同復合而成.

.,，=2-ov為定義域上減函數(shù)，

而由復合函數(shù)法則和題意得到，

y=log〃在定義域上為增函數(shù)，；.a>l

又函數(shù)f=2-ax>0在（-1,1）上恒成立，貝!|2-a20即可.

綜上，1caW2,

故選：C.

77

15.將函數(shù)y=siwv的圖象上所有的點向右平行移動一個單位長度，再把所得各點的橫坐標

10

伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

A.尸sin（2x—點）B.y=sin（2x—

C.y=sin（/一點）D.y=sin（|-x-1^）

【分析】先根據(jù)左加右減進行左右平移，然后根據(jù)橫坐標伸長到原來的2倍時w變?yōu)樵瓉?/p>

的士1倍進行橫向變換.

2

JT

解：將函數(shù)y=siwv的圖象上所有的點向右平行移動一個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式

10

為產(chǎn)sin（龍-需）

再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是y=sin

故選：C.

77

16.下列四個函數(shù)中，以TT為最小正周期，且在區(qū)間（一，TT）上為減函數(shù)的是（）

2

A.j=cos2xB.y=2卜inx|

C.y=（i）cosxD.y=-cotx

【分析】分別求出四個選項中函數(shù)的周期，排除選項后，再通過函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間找出正確

選項即可.

解：由題意考察選項，C的周期不是m所以C不正確;

77

由于Ay=cos2尤在區(qū)間it)上為增函數(shù)，選項A不正確；

77

y=2kinx|以IT為最小正周期，且在區(qū)間(3,n)上為減函數(shù)，正確；

77

y=-cotr且在區(qū)間(一，TT)上為增函數(shù)，。錯誤；

2

故選：B.

三、解答題：本題共5小題，滿分52分.

17.一扇形的周長為20°冽，當扇形的圓心角a等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面

積是多少？

【分析】設扇形的半徑為廣，弧長為I,利用周長關系，表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)

求出面積的最大值，以及圓心角的大小.

解：設扇形的半徑為r,弧長為/,則

Z+2r=20,即/=20-2r(0<r<10).

扇形的面積S=，r,將上式代入，

得5另(20-27)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

所以當且僅當r=5時，S有最大值25,

此時1=20-2X5=10,

可得：a=-=2rad.

r

所以當a=2rad時，扇形的面積取最大值，最大值為25。"2.

18.解下列方程:

(1)9工-4?3*+3=0；

(2)log3(X2-10)=l+log3X.

【分析】(1)由4?3工+3=0,得到(3工-1)(3X-3)=0,解得即可，

rx2-10=3x

(2)由已知得至“"-io>。，解得即可.

、％〉0

解：(1)?.?*-4?3%+3=0,

???(3%-1)(3%-3)=0,

?,.3%=1或3—3,

.*.x=0或x=l,

(2)log3(X2-10)=l+log3X=log33x,

rx2*4-10=3%

：.}x2-10＞0,

、％》0

解得x=5.

19.已知OVaV*sina=

（1）求siMa+sin2a的值;

cos2a+cos2a

（2）求tan（a—苧）的值.

【分析】（1）利用平方關系和倍角公式即可得出；

（2）利用商數(shù)關系和兩角差的正切公式即可得出.

解：（1）???（）＜〃＜去sina=［，??cosa—V1—sin2a=

4243

.sin2a+sin2asin2a+2sinacosa（g）+2x-x-

cos2a+cos2acos2a+2cos2a-l3x（-）2-l

（2）由（1）可知：tana=S^*na=

cosa3

■江、jrtana—tan-r亍—1i

tan（a——）=tcvn^oc-彳）=-------jf=-7—=虧.

4'4，1+tanaa-tan^1+917

20.已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.

（I）求&）的值；

（II）求/（X）的最大值和最小值.

【分析】（I）把x=5代入到了（X）中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可；

（II）利用同角三角函數(shù)間的基本關系把sin2x變?yōu)?-COS2尤，然后利用二倍角的余弦函數(shù)

公式把cos2x變?yōu)?cos2%-1,得到f（X）是關于COSX的二次函數(shù)，利用配方法把f（X）

變成二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)COSX的值域，利用二次函數(shù)求最值的方法求出了（X）的最

大值和最小值即可.

解：（I）/（可）=2.cos—Fsin?1可一4cos可=-1+《-2=一不

（II）/（尤）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx

=3cos2x-4cosx-1

27

=3（cosx—2）2—可，x￡R,

因為cosxC[T,1],

所以當cosx=-l時，f（x）取最大值6；當cos比=|時，取最小值

21.設函數(shù)尸（X）=/（無）—9（%）,其中/（x）=log2（x2+l）,g（x）=log2（|x|+7）.

lg（久），/（X）vgO）

（1）在實數(shù)集R上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)尸（無）的解析式；

（2）求函數(shù)尸（尤）的最小值.

【分析】（1）令log2（N+l）210g2（kl+7）,解得：尤的取值范圍，再