大學(xué)物理課后習(xí)題及答案剛體

題：一汽車發(fā)動機曲軸的轉(zhuǎn)速在內(nèi)由均勻的增加到。（1）求曲軸轉(zhuǎn)動的角加速度；（2）在此時間內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)題解：（1）由于角速度2n（n為單位時間內(nèi)的轉(zhuǎn)數(shù)），根據(jù)角加速度的定義，在勻變速轉(zhuǎn)動中角加速度為（2）發(fā)動機曲軸轉(zhuǎn)過的角度為在12s內(nèi)曲軸轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為題：某種電動機啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化的關(guān)系為，式中，。求：（1）時的轉(zhuǎn)速；（2）角加速度隨時間變化的規(guī)律；（3）啟動后內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。題解：（1）根據(jù)題意中轉(zhuǎn)速隨時間的變化關(guān)系，將ts代入，即得（2）角加速度隨時間變化的規(guī)律為（3）t=s時轉(zhuǎn)過的角度為則t=s時電動機轉(zhuǎn)過的圈數(shù)題：如圖所示，一通風(fēng)機的轉(zhuǎn)動部分以初角速度繞其軸轉(zhuǎn)動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)為一常量。若轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為，問：（1）經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動角速度減少為初角速度的一半（2）在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)題解：（1）通風(fēng)機葉片所受的阻力矩為，由轉(zhuǎn)動定律，可得葉片的角加速度為（1）根據(jù)初始條件對式（1）積分，有由于C和J均為常量，得當(dāng)角速度由時，轉(zhuǎn)動所需的時間為（2）根據(jù)初始條件對式（2）積分，有即在時間t內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為題：一燃氣輪機在試車時，燃氣作用在渦輪上的力矩為，渦輪的轉(zhuǎn)動慣量為。當(dāng)輪的轉(zhuǎn)速由增大到時，所經(jīng)歷的時間為多少題解1：在勻變速轉(zhuǎn)動中，角加速度，由轉(zhuǎn)動定律，可得飛輪所經(jīng)歷的時間解2：飛輪在恒外力矩作用下，根據(jù)角動量定理，有則題：用落體觀察法測定飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，是將半徑為的飛輪支承在點上，然后在繞過飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為的重物，令重物以初速度為零下落，帶動飛輪轉(zhuǎn)動，記下重物下落的距離和時間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。試寫出它的計算式。（假設(shè)軸承間無摩擦）題解1：設(shè)繩子的拉力為FT，對飛輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有而對重物而言，由牛頓定律，有（2）由于繩子不可伸長，因此，有（3）重物作勻加速下落，則有（4）由上述各式可解得飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為解2：根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒定律，有（1）而線速度和角速度的關(guān)系為（2）又根據(jù)重物作勻加速運動時，有（3）（4）由上述各式可得若軸承處存在摩擦，上述測量轉(zhuǎn)動慣量的方法仍可采用。這時，只需通過用兩個不同質(zhì)量的重物做兩次測量即可消除摩擦力矩帶來的影響。題：一飛輪由一直徑為，厚度為的圓盤和兩個直徑為，長為的共軸圓柱體組成，設(shè)飛輪的密度為，求飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量。題解：根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的疊加性，由勻質(zhì)圓盤、圓柱體對軸的轉(zhuǎn)動慣量公式可得題：如圖所示，圓盤的質(zhì)量為，半徑為。求它對軸（即通過圓盤邊緣且平行于盤中心軸）的轉(zhuǎn)動慣量。題解：根據(jù)平行軸定理和繞圓盤中心軸O的轉(zhuǎn)動慣量可得題：試證明質(zhì)量為，半徑為的均勻球體，以直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。如以和球體相切的線為軸，其轉(zhuǎn)動慣量又為多少題證：如圖所示，圖中陰影部分的小圓盤對OO軸的轉(zhuǎn)動慣量為式中為勻質(zhì)球體的密度。則球體以其直徑OO為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為又由平行軸定理可得球繞O1O1軸的轉(zhuǎn)動慣量為題：質(zhì)量面密度為的均勻矩形板，試證其對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為。其中為矩形板的長，為它的寬。題證：取如圖所示坐標，在板上取一質(zhì)元，它對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為整個矩形板對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為題：如圖所示，質(zhì)量的實心圓柱體，其半徑為，可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計。一條輕的柔繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量的物體。求：（1）物體由靜止開始下降后的距離；（2）繩的張力。題解：（1）分別作兩物體的受力分析圖。對實心圓柱體而言，由轉(zhuǎn)動定律得（1）對懸掛物體而言，依據(jù)牛頓定律，有（2）且。又由角量與線量的關(guān)系，得 解上述方程組，可得物體下落的加速度在t=s時，B下落的距離為（2）由式（2）可得繩中的張力為題：質(zhì)量為和的兩物體、分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為和，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為和，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩的張力。題解：分別對兩物體及組合輪作受力分析，根據(jù)質(zhì)點的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動定律，有（1）（2）（3）（4）由角加速度和線加速度之間的關(guān)系，有（5）（6）解上述方程組，可得題：如圖所示裝置，定滑輪的半徑為，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為和的物體、。置于傾角為的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為。若向下作加速運動時，求：（1）其下落加速度的大?。唬?）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑）題解：作A、B和滑輪的受力分析圖。其中A是在張力FT1、重力P1，支持力FN和摩擦力Ff的作用下運動，根據(jù)牛頓定律，沿斜面方向有（1）而B則是在張力FT2和重力P2的作用下運動，有（2）由于繩子不能伸長、繩與輪之間無滑動，則有對滑輪而言，根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律有（4）且有（5）解上述各方程可得題：如圖所示，飛輪的質(zhì)量為，直徑為，轉(zhuǎn)速為?，F(xiàn)用閘瓦制動使其在內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，求制動力。設(shè)閘瓦與飛輪之間的摩擦因數(shù)，飛輪質(zhì)量全部分布在輪緣上。題解：飛輪和閘桿的受力分析如圖所示。根據(jù)閘桿的力矩平衡，有而，則閘瓦作用于輪的摩擦力矩為（1）摩擦力矩是恒力矩，飛輪作勻角加速轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律，有（2）因飛輪的質(zhì)量集中于輪緣，它繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，由式（1）、（2）可得制動力題：圖是測試汽車輪胎滑動阻力的裝置。輪胎最初為靜止，且被一輕質(zhì)框架支承者，輪軸可繞點自由轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量為、質(zhì)量為、半徑為。今將輪胎放在以速率移動的傳送帶上，并使框架保持水平。（1）如果輪胎與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為，則需要經(jīng)過多長時間車輪才能達到最終的角速度（2）在傳送帶上車胎滑動的痕跡長度是多少題解：車胎所受滑動摩擦力矩為（1）根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，車輪轉(zhuǎn)動的角加速度為（2）要使輪與帶之間無相對滑動，車輪轉(zhuǎn)動的角速度為（3）開始時車輪靜止，即，故由勻加速轉(zhuǎn)動規(guī)律，可得(4)由上述各式可解得（2）在t時間內(nèi)，輪緣上一點轉(zhuǎn)過的弧長而傳送帶移動的距離l=vt，因此，傳送帶上滑痕的長度題：一半徑為、質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤，以角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為。（1）求圓盤所受的摩擦力矩。（2）問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止題解：（1）圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán)所受的摩擦力大小，其方向與環(huán)的半徑垂直，它的摩擦力矩為式中k為軸向的單位矢量。圓盤所受的總摩擦力矩大小為（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J=mR2/2。由角動量定理，可得圓盤停止的時間為題：一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度轉(zhuǎn)動，若在某時刻，一質(zhì)量為的小碎塊從盤邊緣裂開，且恰好沿垂直方向上拋，問它可能達到的高度是多少破裂后圓盤的角動量為多大題解：（1）碎塊拋出時的初速度為由于碎塊豎直上拋運動，它所能到達的高度為（2）圓盤在裂開的過程中，其角動量守恒，故有式中為圓盤未碎時的角動量；為碎塊被視為質(zhì)點時，對軸的角動量；L為破裂后盤的角動量。則題：在光滑的水平面上有一木桿，其質(zhì)量為，長為，可繞通過其中點并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為的子彈，以的速度射入桿端，其方向與桿及軸正交。若子彈陷入桿中，試求所得到的角速度。題解：根據(jù)角動量守恒定理式中為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，為子彈在陷入桿前的角動量，為子彈在此刻繞軸的角速度。為桿繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，是子彈陷入桿后它們一起繞軸的角速度?？傻脳U的角速度為題：半徑分別為、的兩個薄傘形輪，它們各自對通過盤心且垂直盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為和。開始時輪Ⅰ以角速度轉(zhuǎn)動，問與輪Ⅱ成正交嚙合后，兩輪的角速度分別為多大題解：設(shè)相互作用力為F，在嚙合的短時間內(nèi)，根據(jù)角動量定理，對輪=1\*ROMANI、輪=2\*ROMANII分別有（1）（2）兩輪嚙合后應(yīng)有相同的線速度，故有（3）由上述各式可解得嚙合后兩輪的角速度分別為題：一質(zhì)量為的小孩，站在一半徑為、轉(zhuǎn)動慣量為的靜止水平轉(zhuǎn)臺的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺可繞通過轉(zhuǎn)臺中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺與軸間的摩擦不計。如果此小孩相對轉(zhuǎn)臺以的速率沿轉(zhuǎn)臺邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺的角速率有多大題解：設(shè)轉(zhuǎn)臺相對地的角速度為，人相對轉(zhuǎn)臺的角速度為。由相對角速度的關(guān)系，人相對地面的角速度為（1）由于系統(tǒng)初始是靜止的，根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有（2）式中J0、J1=mR2分別為轉(zhuǎn)臺、人對轉(zhuǎn)臺中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。由式（1）、（2）可得轉(zhuǎn)臺的角速度為式中負號表示轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動地方向與人對地面的轉(zhuǎn)動方向相反。題：一轉(zhuǎn)臺繞其中心的豎直軸以角速度轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。今有砂粒以的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為，求砂粒下落時，轉(zhuǎn)臺的角速度。題解：在時間010s內(nèi)落至臺面的砂粒的質(zhì)量為根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有則t=10s時，轉(zhuǎn)臺的角速度題：為使運行中的飛船停止繞其中心軸的轉(zhuǎn)動，可在飛船的側(cè)面對稱地安裝兩個切向控制噴管，利用噴管高速噴射氣體來制止旋轉(zhuǎn)。若飛船繞其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，旋轉(zhuǎn)的角速度，噴口與軸線之間的距離；噴氣以恒定的流量和速率從噴口噴出，問為使該飛船停止旋轉(zhuǎn)，噴氣應(yīng)噴射多長時間題分析：將飛船與噴出的氣體作為研究系統(tǒng)，在噴氣過程中，系統(tǒng)不受外力矩作用，其角動量守恒。在列出方程時應(yīng)注意：（1）由于噴氣質(zhì)量遠小于飛船質(zhì)量，噴氣前、后系統(tǒng)的角動量近似為飛船的角動量J；（2）噴氣過程中氣流速率u遠大于飛船側(cè)面的線速度r，因此，整個噴氣過程中，氣流相對于空間的速率仍可近似看作是u，這樣，排出氣體的總角動量。經(jīng)上述處理后，可使問題大大簡化。解：取飛船和噴出的氣體為系統(tǒng)，根據(jù)角動量守恒定律，有因噴氣的流量恒定，故有由式（1）、（2）可得噴氣的噴射時間為題：一質(zhì)量為、半徑為的轉(zhuǎn)臺，以角速度轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸的摩擦略去不計。（1）有一質(zhì)量為的蜘蛛垂直地落在轉(zhuǎn)臺邊緣上。此時，轉(zhuǎn)臺的角速度為多少（2）若蜘蛛隨后慢慢地爬向轉(zhuǎn)臺中心，當(dāng)它離轉(zhuǎn)臺中心的距離為時，轉(zhuǎn)臺的角速度為多少設(shè)蜘蛛下落前距離轉(zhuǎn)臺很近。題解：（1）蜘蛛垂直下落至轉(zhuǎn)臺邊緣時，由系統(tǒng)的角動量守恒定律，有式中為轉(zhuǎn)臺對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，為蜘蛛剛落至臺面邊緣時，它對軸的轉(zhuǎn)動慣量。于是可得（2）在蜘蛛向中心軸處慢慢爬行的過程中，其轉(zhuǎn)動慣量將隨半徑r而改變，即。在此過程中，由系統(tǒng)角動量守恒，有則題：一質(zhì)量為，長為的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒自由懸掛。以的力打擊它的下端點，打擊時間為。（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時其角動量的變化；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。題解：（1）在瞬間打擊過程中，由剛體的角動量定理得（1）（2）在棒的轉(zhuǎn)動過程中，取棒和地球為一系統(tǒng)，并選O處為重力勢能零點。在轉(zhuǎn)動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，即（2）由式（1）、（2）可得棒的偏轉(zhuǎn)角度為題：（1）設(shè)氫原子中電子在圓形軌道中以速率繞質(zhì)子運動。作用在電子上的向心力為電作用力，其大小為，其中為電子、質(zhì)子的電量，為軌道半徑，為恒量。試證軌道半徑為（2）假設(shè)電子繞核的角動量只能為的整數(shù)倍，其中為普朗克常量。試證電子的可能軌道半徑由下式確定：（3）試由以上兩式消去，從而證明符合這兩個要求的軌道半徑必須滿足以下關(guān)系式：式中可取正整數(shù)。題證：（1）電子繞質(zhì)子作圓周運動的向心力是它們之間的電作用力（可略去萬有引力），根據(jù)徑向動力學(xué)方程F=man，有則電子的軌道半徑為（2）根據(jù)題中電子角動量的量子化條件，即，有則電子可能的軌道半徑為（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果消去v，電子可能的軌道半徑也可表示為題：我國1970年4月24日發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星，其近地點為、遠地點為。試計算衛(wèi)星在近地點和遠地點的速率。（設(shè)地球半徑為）題解：由于衛(wèi)星在近地點和遠地點處的速度方向與橢圓徑矢垂直，因此，由角動量守恒定律有（1）又因衛(wèi)星與地球系統(tǒng)的機械能守恒，故有（2）式中G為引力常量，mE和m分別為地球和衛(wèi)星質(zhì)量，r1和r2是衛(wèi)星在近地點和遠地點時離地球中心的距離。由式（1）、（2）可解得衛(wèi)星在近地點和遠地點的速率分別為題：地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中為地球的質(zhì)量，為地球的半徑。（1）求地球自轉(zhuǎn)時的動能；（2）由于潮汐的作用，地球自轉(zhuǎn)的速度逐漸減小，一年內(nèi)自轉(zhuǎn)周期增加，求潮汐對地球的平均力矩。題分析：由于地球自轉(zhuǎn)一周的時間為24小時，由可確定地球的自轉(zhuǎn)角速度和地球自轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動動能。隨著自轉(zhuǎn)周期的增加，相應(yīng)自轉(zhuǎn)的角速度將減小，因而轉(zhuǎn)動動能也將減少。通過對上述兩式微分的方法，可得到動能的減少量與周期的變化的關(guān)系。根據(jù)動能定理可知，地球轉(zhuǎn)動動能的減少是潮汐力矩作功的結(jié)果，因此，由，即可求出潮汐的平均力矩。解：（1）地球的質(zhì)量，半徑，所以，地球自轉(zhuǎn)的動能（2）對式兩邊微分，可得當(dāng)周期變化一定時，有（1）由于地球自轉(zhuǎn)減慢而引起動能的減少量為（2）又根據(jù)動能定理（3）由式（2）、（3）可得潮汐的摩擦力矩式中n為一年中的天數(shù)（n=365），為一天中周期的增加量。題：如圖所示，與兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，輪的轉(zhuǎn)動慣量，開始時輪靜止，輪以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使與連接，因而輪得到加速而輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求：（1）輪的轉(zhuǎn)動慣量；（2）在嚙合過程中損失的機械能。題解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒，有則B輪的轉(zhuǎn)動慣量為（2）系統(tǒng)在嚙合過程中機械能的變化為式中負號表示嚙合過程機械能減少。題：一質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)圓柱體，從傾角為的斜面上無滑動地滾下，求其質(zhì)心的加速度。題解1：按題意作圖并作圓柱體的受力分析（如圖所示）。由牛頓第二定律可得圓柱體的質(zhì)心C在x方向上的動力學(xué)方程為（1）在斜面對圓柱體的摩擦力矩作用下，圓柱體繞其中心軸轉(zhuǎn)動，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有（2）在無滑動滾動時，質(zhì)心的加速度aC與轉(zhuǎn)動的角速度之間的關(guān)系為（）聯(lián)立解上述三個方程式，可得解2：若以圓柱體與斜面的接觸線為瞬時轉(zhuǎn)動軸，則摩擦力Ff和支持力FN都不產(chǎn)生力矩，使圓柱體繞瞬時軸轉(zhuǎn)動時的是重力矩mgsin，故有其中是圓柱體繞瞬時軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量，由平行軸定理有故有則解3：以地球和圓柱體組成的系統(tǒng)滿足機械能守恒定律，有將上式對t求導(dǎo)，可得式中，且有和，則可得到顯然上述三種方法均能得到同樣的結(jié)果。題：一長為、質(zhì)量為的均勻細棒，在光滑的平面上繞質(zhì)心作無滑動的轉(zhuǎn)動，其角速度為。若棒突然改繞其一端轉(zhuǎn)動，求：（1）以端點為轉(zhuǎn)軸的角速度；（2）在此過程中轉(zhuǎn)