創(chuàng)新設(shè)計直線-平面-簡單幾何體952市公開課特等獎市賽課微課一等獎?wù)n件

掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成角概念/了解直線方向向量、平面法向量、向量在平面內(nèi)射影等概念

第52課時空間角第1頁1．直線與平面所成角(1)一個平面斜線和它在這個平面內(nèi)射影夾角，叫做斜線和平面所成角(或斜線和平面夾角)．假如直線和平面垂直，那么就說直線和平面所成角是直角；假如直線和平面平行或在平面內(nèi)，那么說直線和平面所成角是0°角． (2)已知AO是平面α斜線，A是斜足，OB垂直于α，B為垂足，則直線AB是斜線在平面α內(nèi)射影．設(shè)AC是α內(nèi)任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成角為θ1，AB與AC所成角為θ2，AO與AC所成角為θ，則cosθ＝cosθ1cosθ2.第2頁2．三種空間角向量法計算公式(1)異面直線a，b所成角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分別為直線a，b

．(2)直線a與平面α(法向量n)所成角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a為直線a

．方向向量方向向量法向量(3)銳二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n為兩個

．第3頁1．如右圖所表示，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°二面角，則異面直線AD與BF所成角余弦值是()

答案：Ｂ第4頁2．已知AB⊥平面α，垂足為B，BC為AC在α內(nèi)射影，CD?α，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，則AC與平面α所成角為()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C3．如右圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，則PA與底面ABC所成角為________．答案：第5頁4．已知點O在二面角α－AB－β棱上，點P在α內(nèi)，且∠POB＝45°.若對于β內(nèi)異于O任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β

大小是________．答案：90°第6頁1. 幾何法：處理直線與平面所成角問題，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)射影，將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化成線線所成角．2． 向量法：可利用直線方向向量和平面法向量，求直線與平面所成角．第7頁【例1】如右圖所表示，ABCD是正四面體，E、F分別是BC和AD中點．求：(1)AE與CF所成角；(2)CF與平面BCD所成角．第8頁解答：(1)如右圖，連結(jié)DE，取ED中點K，連結(jié)FK、CK，∵F是AD中點，∴AE∥FK，則∠CFK為異面直線AE與CF所成角(或其補角)，設(shè)正四面體棱長為a，則可得

在Rt△KEC中，CK＝∴在△CFK中，cos∠CFK＝，∴∠CFK＝arccos， 即異面直線AE和CF所成角為arccos.第9頁(2)在正四面體ABCD中，因為各棱長都相等，E是BC中點，所以BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥面AED(如上圖所表示)，∴面ADE⊥面BCD，交線為DE，過A作AO⊥DE于O，則AO⊥面BCD，過F作FH⊥DE于H，則FH⊥面BCD，連結(jié)CH，∴∠FCH為CF與面BCD所成角，∵FH＝AO，∴FH＝a，sin∠FCH＝，∴CF與平面BCD所成角為arcsin.第10頁變式1.如右圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分別為CD、PB中點．(1)求證：EF⊥平面PAB；(2)設(shè)AB＝BC，求AC與平面AEF所成角大小.第11頁解答：解法一：如圖，(1)證實：連結(jié)EP.∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)，∴PD⊥DE.又CE＝ED，PD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F為PB中點，∴EF⊥PB.由三垂線定理得PA⊥AB.∴在Rt△PAB中PF＝AF，又PE＝BE＝EA.∴△EFP≌△EFA.∴EF⊥FA.∵PB、FA為平面PAB內(nèi)相交直線．∴EF⊥平面PAB.(2)不妨設(shè)BC＝1，則AD＝PD＝1.AB＝，PA＝，AC＝.∴△PAB為等腰直角三角形，且PB＝2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF＝1，且AF⊥PB.∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF.第12頁連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF.∠GAH為AC與平面AEF所成角．由△EGC∽△BGA可知

由△EGH∽△EBF可知GH＝BF＝.∴sin∠GAH＝.∴AC與平面AEF所成角為arcsin.第13頁解法二：以D為坐標(biāo)原點，DA長為單位1，建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系．(1)證實：設(shè)E(a,0,0)，其中a>0，則C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(xiàn)(a，，)．

＝(2a,1，－1)，

＝(2a,0,0)，∴EF⊥PB，

，∴EF⊥AB，又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB＝B.∴EF⊥平面PAB.第14頁(2)由AB＝BC，得a＝，可得,異面直線AC、PB所成角為arccos，

．∴

.PB⊥AF，又PB⊥EF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線，∴PB⊥平面AEF.∴AC與平面AEF所成角為.第15頁求二面角關(guān)鍵是找到二面角平面角，找二面角方法主要有以下幾個：方法一(棱上一點——定義法)；

在二面角棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱射線．如圖①所表示，在二面角α—a—β棱a上任取一點O，在平面α內(nèi)過點O作OA⊥a，在平面β內(nèi)過點O作BO⊥a，則∠AOB為二面角α—a—β平面角．第16頁方法二(空間一點——垂面法)；過棱上一點作棱垂直平面，該平面與二面角兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條射線所成角，即為二面角平面角．如圖②所表示，已知二面角α—l—β，過空間一點P作PA⊥α于點A，PB⊥β于點B，設(shè)PA、PB確定平面為γ，設(shè)γ∩l于一點O，連結(jié)OA、OB.因為PA⊥α，l?α，所以PA⊥l，同理PB⊥l，所以l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB，所以∠AOB為二面角α—l—β平面角． 方法三(面上一點——垂線法)如圖③所表示，過二面角α—l—β中α內(nèi)一點P作PA⊥β，A為垂足，作AO⊥l，垂足為O，連接PO，則由三垂線定理PO⊥l，∠AOP為二面角α—l—β平面角．方法四：射影法：利用面積射影公式S射＝S原cosθ，其中S原為原斜面面積，S射為射影面積，θ為平面角大小，此方法無須在圖中畫出平面角來．第17頁【例2】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M為B1C1上一點，且B1M＝2，點N在線段A1D上，A1D⊥AN. 求(1)cos〈

〉； (2)直線AD與平面ANM所成角正切； (3)平面ANM與平面ABCD所成角(銳角)余弦值．解答：(1)以A為原點，AB、AD、AA1所在直線為x軸，y軸，z軸．則D(0,8,0)，A1(0,0,4)，M(5,2,4)，∴

＝(0,8，－4)，

＝(5,2,4)．∵

·

＝0，cos〈

，

〉＝0.第18頁(2)由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，∴A1D⊥平面AMN，垂足為N.所以AD與平面ANM所成角即是∠DAN.∴tan∠DAN＝tan∠AA1D＝2.(3)∵AA1⊥平面ABCD，A1N⊥平面AMN，∴

和

分別成為平面ABCD和平面AMN法向量．設(shè)平面AMN與平面ABCD所成角(銳角)為θ，則cosθ＝cos〈

，

〉＝cos∠AA1N＝cos∠AA1D＝.第19頁變式2.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿對角線AC折起，使D在平面ABC上射影E恰好落在AB上，求這時二面角B－AC－D大?。獯穑喝鐖D，過E點作EF⊥AC，垂足為F，連結(jié)DF，由三垂線定理知DF⊥AC，則∠DFE為二面角D－AC－B平面角．在Rt△ADC中，DF＝，在Rt△AFD中，AF＝，由△ADF∽△AEF，∴EF＝，在Rt△DEF中，cos∠DFE＝，∴∠DFE＝arccos.第20頁1.利用平面法向量可證實直線與平面平行，平面與平面平行等問題；2．利用平面法向量，可計算直線與平面所成角，如例1變式．3．求二面角大小(1)若AB、CD分別是二面角α—l—β兩個面內(nèi)與棱l垂直異面直線，則二面角大小就是向量

夾角(如圖①)．(2)設(shè)n1，n2分別是二面角α—l—β兩個面α，β法向量，則在圖②中二面角大小為π－<n1，n2>，在圖③中二面角大小為<n1，n2>.第21頁【例3】如右圖，ABC－A1B1C1是正棱柱，D是AC中點． (1)求證：AB1∥平面DBC1； (2)若AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面二面角α度數(shù)．解答：(1)證實：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四邊形B1BCC1是矩形．連結(jié)B1C交BC1于E，則B1E＝EC，連結(jié)DE.在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1，又∵AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.(2)如右圖，在面ABC內(nèi)，過D作DF⊥BC于F，則DF⊥平面B1BCC1，連結(jié)EF，則EF是ED在平面B1BCC1內(nèi)射影．第22頁解法一：∵AB1⊥BC1，∴由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，由三垂線定理逆定理可知BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α平面角，設(shè)為θ，設(shè)AC＝a，則CD＝a，∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，DF＝DC·sin∠DCF＝a，CF＝DC·cos∠DCF＝a.取BC中點G，∵EB＝EC，∴GE⊥BC.在Rt△BEF中，EF2＝BF·GF，又BF＝BC－FC＝a，GF＝a，∴

∴tan∠DEF＝＝1，∴∠DEF＝45°，故二面角α為45°.第23頁解法二：∵BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，則BD⊥DC1，又DE⊥BC1，BE＝EC1，∴△BDC1為等腰直角三角形．設(shè)BC＝a，則BD＝BC·sin∠ACB＝a，在等腰Rt△BDC1中，DE＝BD·sin∠DBE＝a，又DF＝a，∴在Rt△DFE中，sin∠DEF＝，∴∠DEF＝45°，故所求二面角為45°.第24頁解法三：取B1C1中點O，如右圖，建立直角坐標(biāo)系O－xyz，設(shè)正三棱錐底面邊長AB＝a，高AA1＝h，則A(0，h，a)，B1(，0,0)，C1(－，0,0)，B(，h,0)，C(－，h,0，)，D(－，h，a)，

，由AB1⊥BC1得，－h(huán)2＝0，即h＝，設(shè)平面BDC1法向量為n1＝(1，y，z)，由n1·

＝0，n1·

＝0，得解得∴n1＝(1，－，)，又平面BCC1法向量為n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝，則〈n1，n2〉＝45°，所以所求二面角為45°.第25頁1．求直線和平面所成角與利用三垂線定理或三垂線定理逆定理，都要經(jīng)過選點，過該點作出一個平面垂線，如例3.2．經(jīng)過上述例題解法可看出求二面角：(1)可利用二面角定義作二面角平面角；(2)可利用垂直于棱平面去截二面角，得到二面角平面角；(3)可利用三垂線定理作出二面角平面角； (4)可利用面積射影公式；(5)還可利用空間向量進(jìn)行計算等等．3．在處理折疊相關(guān)問題時：(1)要明確在折痕同側(cè)半平面內(nèi)點，直線和平面位置關(guān)系是不變；(2)折前與折痕垂直直線而折后恰是所折二面角平面角．4．在處理直線與平面所成角或二面角時要重視平面法向量應(yīng)用.

【方法規(guī)律】

第26頁(·全國Ⅰ)(本題滿分12分)如圖，四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°.(1)證實：M是側(cè)棱SC中點；(2)求二面角S－AM－B大小.第27頁【考卷實錄】

第28頁解答：(1)證實：由SD⊥底面ABCD知：平面SDC⊥底面ABCD，過M作MH⊥CD，垂足為H，則MH⊥底面ABCD，故SD∥MH.設(shè)MH＝x，則HC＝x，HD＝2－x