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文檔簡介
輾轉相除法與第1頁知識探究(一):輾轉相除法思索1:18與30最大條約數(shù)是多少?你是怎樣得到?先用兩個數(shù)公有質因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得商是互質數(shù)為止,然后把全部除數(shù)連乘起來即為最大條約數(shù).第2頁思索2:對于8251與6105這兩個數(shù),因為其公有質因數(shù)較大,利用上述方法求最大條約數(shù)就比較困難.注意到8251=6105×1+2146,那么8251與6105這兩個數(shù)條約數(shù)和6105與2146條約數(shù)有什么關系?第3頁思索3:又6105=2146×2+1813,同理,6105與2146條約數(shù)和2146與1813條約數(shù)相等.重復上述操作,你能得到8251與6105這兩個數(shù)最大條約數(shù)嗎?2146=1813×1+333,148=37×4+0.333=148×2+37,1813=333×5+148,8251=6105×1+2146,6105=2146×2+1813,第4頁
輾轉相除法是一個重復執(zhí)行直到余數(shù)等于0停頓步驟,這實際上是一個循環(huán)結構。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q+r用程序框圖表示出右邊過程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考4:輾轉相除法中的關鍵步驟是哪種邏輯結構?第5頁思索5:上述求兩個正整數(shù)最大條約數(shù)方法稱為輾轉相除法或歐幾里得算法.普通地,用輾轉相除法求兩個正整數(shù)m,n最大條約數(shù),能夠用什么邏輯結構來結構算法?其算法步驟怎樣設計?第一步,給定兩個正整數(shù)m,n(m>n).第二步,計算m除以n所得余數(shù)r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,則m,n最大條約數(shù)等 于m;不然,返回第二步.
第6頁思索6:該算法程序框圖怎樣表示?開始輸入m,n求m除以n余數(shù)rm=nn=rr=0?是輸出m結束否第7頁思索7:該程序框圖對應程序怎樣表述?INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND開始輸入m,n求m除以n余數(shù)rm=nn=rr=0?是輸出m結束否第8頁思索8:假如用當型循環(huán)結構結構算法,則用輾轉相除法求兩個正整數(shù)m,n最大條約數(shù)程序框圖和程序分別怎樣表示?第9頁開始輸入m,n求m除以n余數(shù)rm=nr>0?否輸出m結束是n=rINPUTm,nWHILEr>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND第10頁練習1:利用輾轉相除法求兩數(shù)4081與20723最大條約數(shù).(53)20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.第11頁更相減損術“更相減損術”(也是求兩個正整數(shù)最大條約數(shù)算法)步驟:第一步:任意給定兩個正整數(shù);判斷他們是否都是偶數(shù)。若是,則用2約簡;若不是則執(zhí)行第二步。第二步:以較大數(shù)減較小數(shù),接著把所得差與較小數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作,直到所得減數(shù)和差相等為止,則這個等數(shù)或這個數(shù)與約簡數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù)。第12頁例、用更相減損術求98與63最大條約數(shù)(自己按照步驟求解)解:因為63不是偶數(shù),把98和63以大數(shù)減小數(shù),并輾轉相減。所以,98和63最大條約數(shù)等于7。98-63=35
63-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7第13頁更相減損是一個重復執(zhí)行直到減數(shù)等于差時停頓步驟,這實際也是一個循環(huán)結構
思索:更相減損直到何時結束?利用是哪種算法結構?第14頁程序:INPUT“a,b”;a,bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFb>aTHENt=aa=bb=tENDIFa=a-bLOOPUNTILa=bPRINTa*2^iEND開始輸入:a,b輸出:a×2i結束a=b?a=a/2,b=b/2Ya=a-bt=a,a=b,b=tb>a?aMOD2=0且bMOD2=0?YNNNYi=0i=i+1第15頁
例2分別用輾轉相除法和更相減損術求168與93最大條約數(shù).輾轉相除法:168=93×1+75, 93=75×1+18, 75=18×4+3, 18=3×6.第16頁更相減損術:168-93=75,93-75=18,75-18=57,57-18=39,39-18=21,21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.第17頁例3:用輾轉相除法和更相減損術求210與714最大條約數(shù).第18頁比較輾轉相除法與更相減損術區(qū)分(1)都是求最大條約數(shù)方
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