31990403第7章概率初步（續(xù)）（知識(shí)清單）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（滬教版2020選修第二冊(cè)）

第7章概率初步（續(xù)）知識(shí)清單一條件概率的理解條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率．注意點(diǎn)：A與B相互獨(dú)立時(shí)，可得P(AB)＝P(A)P(B)，則P(B|A)＝P(B)．判斷是不是條件概率主要看一個(gè)事件的發(fā)生是否是在另一個(gè)事件發(fā)生的條件下進(jìn)行的二利用定義求條件概率利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時(shí)發(fā)生．三縮小樣本空間求條件概率利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮：將原來(lái)樣本空間Ω縮小為事件A，原來(lái)的事件B縮小為事件AB.(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的樣本點(diǎn)．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)求得結(jié)果．四概率的乘法公式概率的乘法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．注意點(diǎn)：(1)P(AB)表示A，B都發(fā)生的概率，P(B|A)表示A先發(fā)生，然后B發(fā)生；(2)在P(B|A)中，事件A成為樣本空間，而在P(AB)中，樣本空間為所有事件的總和；(3)當(dāng)P(B|A)＝P(B)時(shí)，事件A與事件B是相互獨(dú)立事件．五互斥事件的條件概率條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．注意點(diǎn)：(1)A與B互斥，即A，B不同時(shí)發(fā)生，則P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的條件概率公式可以將復(fù)雜事件分解為簡(jiǎn)單事件的概率和．六全概率公式全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．七多個(gè)事件的全概率問(wèn)題“化整為零”求多事件的全概率問(wèn)題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．八貝葉斯公式*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.貝葉斯公式的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱(chēng)為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱(chēng)為后驗(yàn)概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．

九隨機(jī)變量的概念及分類(lèi)1．隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量.2．離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱(chēng)之為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量，例如X，Y，Z；用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如x，y，z.注意點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的特征：(1)可以用數(shù)值表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值；(3)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．十離散型隨機(jī)變量的分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱(chēng)X取每一個(gè)xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.2．對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，eq\x\to(A)表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\x\to(A)發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列如表所示．X01P1－pp我們稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．注意點(diǎn)：隨機(jī)變量X只取0和1，才是兩點(diǎn)分布，否則不是．十一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．十二n重伯努利試驗(yàn)1．n重伯努利試驗(yàn)：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)的共同特征：(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次．(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．注意點(diǎn)：在相同條件下，n重伯努利試驗(yàn)是有放回地抽樣試驗(yàn)．十三、二項(xiàng)分布的推導(dǎo)二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．注意點(diǎn)：(1)由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)分布的所有概率和為1.(2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：兩點(diǎn)分布是只進(jìn)行一次的二項(xiàng)分布．n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算．十四、二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用利用二項(xiàng)分布求解“至多”“至少”問(wèn)題的概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．十五、二項(xiàng)分布的均值與方差1．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解決此類(lèi)問(wèn)題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求十六、二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題的求解步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；(2)分析隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；(3)求出參數(shù)n和p的值；(4)根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差的計(jì)算公式求解．十七、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布概率最大問(wèn)題的求解思路十八、超幾何分布超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．注意點(diǎn)：(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”．(2)超幾何分布的特點(diǎn)：①不放回抽樣；②考察對(duì)象分兩類(lèi)；③實(shí)質(zhì)是古典概型．十九、超幾何分布的概率超幾何分布的概率計(jì)算公式給出了求解這類(lèi)問(wèn)題的方法，可以直接運(yùn)用公式求解，但是不能機(jī)械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進(jìn)行記憶．二十、超幾何分布的分布列求超幾何分布的分布列的步驟二十一、超幾何分布的均值求超幾何分布均值的步驟(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值．(2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．(3)利用均值公式求解．二十二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算．二十三、超幾何分布的綜合應(yīng)用超幾何分布常應(yīng)用在產(chǎn)品合格問(wèn)題、球盒取球(兩色)問(wèn)題、男女生選舉問(wèn)題等，這類(lèi)問(wèn)題有一個(gè)共同特征，就是對(duì)每一個(gè)個(gè)體而言，只研究其相對(duì)的兩種性質(zhì)而不涉及其他性質(zhì)，如產(chǎn)品的合格與不合格、球的紅色與非紅色、學(xué)生的性別等．二十四、正態(tài)曲線及其性質(zhì)1．我們稱(chēng)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線．2．若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正態(tài)曲線的特點(diǎn)：(1)非負(fù)性：對(duì)?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．(2)定值性：曲線與x軸之間的面積為1.(3)對(duì)稱(chēng)性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)．(4)最大值：曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．(6)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.(7)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.5．正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X