專(zhuān)題12 橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)輔導(dǎo)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專(zhuān)題12橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比【方法點(diǎn)撥】1.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，且，則間滿(mǎn)足.2.長(zhǎng)短弦公式:如下圖,長(zhǎng)弦,短弦（其中是焦參數(shù)，即焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，是直線與軸的夾角，而非傾斜角）.說(shuō)明：（1）公式1的推導(dǎo)使用橢圓的第二定義，不必記憶，要有“遇過(guò)將焦半徑轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離”的意識(shí)即可.（2）雙曲線也有類(lèi)似結(jié)論.FFxABO【典型題示例】例1已知橢圓方程為，AB為橢圓過(guò)右焦點(diǎn)F的弦，則的最小值為．【答案】【解析】由，得，，則橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線方程為如圖，過(guò)作于，則，①設(shè)的傾斜角為，則，②聯(lián)立①②，可得，同理可得，．令，，，．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)．的最小值為．故答案為：．例2已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2作傾斜角為θ的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且eqcosθ＝\f(1,4).若|AB|＝|AF1|，則雙曲線C的離心率為A．4B．eq\r(,15)C．eq\f(3,2)D．2【答案】D【解析】，，．例3已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，與過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線相交于A，B兩點(diǎn)．若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則k＝________.【答案】eq\r(2)【解析】如右圖，設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，過(guò)A、BxxDFBBBAyOB/A/分別向l作垂線AA/、BB/，A/、B/分別是垂足，過(guò)B作AA/垂線BD，D是垂足設(shè)BF=t，AF=3t則，中，故又k>0，所以.【鞏固訓(xùn)練】1.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的離心率為_(kāi)_______．2.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且＝2，則C的離心率為_(kāi)_______．3.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則與的比值等于．4.已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，若上存在不同兩點(diǎn)，，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍為A．， B． C．， D．5.設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.【答案與提示】1.【答案】【解析】如右圖，設(shè)直線AB的傾斜角為則，所以由|AF1|＝3|F1B|、長(zhǎng)短弦公式得：，化簡(jiǎn)得：代入得：，即解之得：（負(fù)值已舍），所以.2.【答案】eq\f(\r(3),3)3.【答案】4.【答案】C【解析】延長(zhǎng)交橢圓于，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，則，，由，且，，由，所以，整理得，其中，，由，不重合，所以，，解得，所以，橢圓的離心率的取值范圍，．