期中復(fù)習(xí)模擬卷（8）-【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊

期中考試模擬卷（8）一．單選題1．若，則A． B．18 C． D．202．，，則最大值為A．8 B．9 C． D．3．如圖，正方形的邊長為1，它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，原圖形的面積為A． B． C． D．4．下列選項(xiàng)中，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，剛這四個(gè)點(diǎn)不共面的是A． B． C． D．5．直角中，，，為的外心，A．1 B． C． D．6．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，．若點(diǎn)在邊上，且，則A． B． C． D．7．已知，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，則A． B． C． D．8．已知三棱錐中，是等腰直角三角形，，，，，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．10．已知的三邊長分別是，，．則下列說法正確的是A．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為 B．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 C．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的全面積為 D．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為11．已知正四面體的棱長為，則A． B．四面體的表面積為 C．四面體的體積為 D．四面體的外接球半徑為12．在中，，，是角，，的對(duì)邊，已知，，則以下判斷正確的是A．的外接圓面積是 B． C．可能等于16 D．作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則的最大值是三．填空題13．已知單位向量，滿足，則與的夾角為．14．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積，且，則．15．一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面面積分別是和，一個(gè)平行底面的截面面積為，則這個(gè)截面與上、下底面的距離之比是．16．設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式，則．四．解答題17．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，且，．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．18．如圖，某甜品創(chuàng)作一種冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形，現(xiàn)把半徑為的圓形蛋皮等分成5個(gè)扇形，用一個(gè)扇形蛋皮固成圓錐的側(cè)面（蛋皮厚度忽略不計(jì)）．（1）這種蛋筒的表面積；（2）若要制作500個(gè)這樣的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精確到19．如圖，點(diǎn)是的重心，若過點(diǎn)，且，，，．（1）用與表示向量；（2）試問，的倒數(shù)和是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．20．如圖，正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）若，，與平面交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線．21．已知，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足，若為邊上靠近的三等分點(diǎn)，，求：（1）求的值；（2）求的最大值．22．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在，上的值域?yàn)?，？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由．期中考試模擬卷（8）答案1．解：因?yàn)?，所以，故．故選：．2．，解：根據(jù)題意，設(shè)，，若，則的坐標(biāo)為，，即，的軌跡為以為圓心，半徑的圓，，則，即的最大值為，故選：．3．解：畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，在軸上取，作軸，并且等于，然后連接，，則平行四邊形為原圖形，，原圖形的面積為：．故選：．4．解：如圖：連接，交的延長線于，交的延長線于，連接，交的延長線于，連接，分別交，于，由圖可知為的中點(diǎn)，所以選項(xiàng)，中的四點(diǎn)共面；對(duì)于，如圖：連接，，因?yàn)?，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于，如圖：連接，，因?yàn)槠矫?，平面，但面，所以與異面，所以，，，四點(diǎn)不共面．故選：．5．解：直角中，，，為的外心，且，，故選：．6．解：因?yàn)?，所以為等腰三角形，因?yàn)?，，．由條件可得，所以，解得，所以，可得．故選：．7．解：因?yàn)椋?，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，則．故選：．8．解：設(shè)在底面上的投影為，過作，垂足為，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，，所以，因?yàn)槿忮F的體積，所以，因?yàn)?，所以在上，且，因?yàn)?，，所以，解得，則三棱錐外接球的表面積．故選：．9．解：，，故正確，錯(cuò)誤；，，故正確，錯(cuò)誤；故選：．10．解：對(duì)于，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為3，高為4的圓錐，它的側(cè)面積為，所以正確；對(duì)于，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，高的和為5的兩個(gè)圓錐組合體，如圖所示；它的體積為，所以正確；對(duì)于，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為4，高為3的圓錐，它的全面積為，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為4，高為3的圓錐，它的體積為，所以正確．故選：．11．解：，如圖，取中點(diǎn)，連接，，可得，，即可得面，即有，故正確；、正四面體的各棱長為，正四面體的表面積．故正確；、如圖，設(shè)在底面的投影為，則，，四面體的體積為，故錯(cuò)；、將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，正四面體的棱長為，正方體的棱長為，正四面體的外接球，就是以正四面體的棱為面對(duì)角線的正方體的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長，所以正方體的對(duì)角線為，，．故正確．故選：．12．解：對(duì)于，在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知，，由，可得，可得的外接圓的面積是，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，，可得，，不可能等于16，故錯(cuò)誤；對(duì)于，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)到的距離為，可得，即有，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，可得，則的最大值是．故錯(cuò)誤．故選：．13．解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，單位向量，滿足，則有，變形可得：，又由，則，故答案為：．14．解：因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，故．故答案為：?5．解：圓臺(tái)上下兩底面圓的半徑比為，截面與兩底面圓的半徑比為，圓臺(tái)擴(kuò)展為圓錐后，軸截面如圖所示：所以，；所以，所以這個(gè)截面與上、下底面的距離之比．故答案為：．16解：由題可得，則，即，設(shè)，分別為、的中點(diǎn)，，則，設(shè)，為的中位線，，是的中點(diǎn)，，又，，是的中點(diǎn)，，又，，故．17．解：（1）因?yàn)?，可得，由正弦定理可得，即，可得，可得，可得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，可得，可得．（2）由，可得，又，，由余弦定理可得，解得，，所以．18．解：（1）設(shè)圓錐的底面半徑為高為，由題意，圓錐的側(cè)面扇形的周長為，圓錐底面周長為，則，，圓錐的高為，圓錐的側(cè)面面積為，（2）半球的面積為，該蛋筒冰激凌的表面積為；圓錐的體積為；半球的體積為．該蛋筒冰激凌的體積為，要制作500個(gè)這樣的蛋筒，需要冰淇淋升．19．解（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，，，所以，所以，（2）解法一：由于、、三點(diǎn)共線，則為正實(shí)數(shù)），因?yàn)椋?，所以，可得，由于，不共線，則必有，消去，整理得，所以為定值解法二：由于、、三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，又，，不共線，則必有，所以為定值20．證明：（1）連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是△的中位線，，又因?yàn)?，四邊形為梯形，即，，，四點(diǎn)共面．（2）在正方體中，，，是平面與平面的交線，又因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)．因?yàn)閮善矫嫦嘟坏乃泄颤c(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上，，，三點(diǎn)共線．21．解：（1）由題意及正弦定理得到，即，由余弦定理可得．（2）作角延長線于，所以，相似比，則，，因?yàn)?，可得，所以，所以，可得，所以，可得，?dāng)