初中數(shù)學(xué)知識(shí)歸納及典型例題講解（第二版）

初中數(shù)學(xué)

知識(shí)歸納及典型例題講解

想學(xué)好數(shù)學(xué)其實(shí)并不難的

你比你想象的要更有力量

前言

本人對(duì)初中數(shù)學(xué)有一點(diǎn)淺薄的認(rèn)識(shí)，想告訴同學(xué)們，數(shù)學(xué)其實(shí)是很美妙的一

門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，只要你掌握了學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)便不會(huì)成為你厭惡的學(xué)科，甚至你會(huì)

喜歡上它。那么，接下來(lái)我將試圖結(jié)合自己曾經(jīng)學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)總

結(jié)，將各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)起來(lái)，可能不會(huì)太全面，但起碼提供了一種學(xué)習(xí)方法。

對(duì)了，因?yàn)檫@是系統(tǒng)梳理，會(huì)將初中各年級(jí)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，并不是嚴(yán)格按學(xué)

科教學(xué)章節(jié)順序進(jìn)行編排，低年級(jí)的同學(xué)讀起來(lái)可能會(huì)有點(diǎn)吃力，但也可作為提

前學(xué)習(xí)的資料。最后，希望這篇總結(jié)對(duì)各位同學(xué)們有所啟發(fā)，開(kāi)啟輕松的數(shù)學(xué)之

旅。（待完善）

第一章數(shù)軸上的那些事

數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)（即數(shù)軸中心0）、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

-5-2025

1.1實(shí)數(shù)

1.1.1有理數(shù)

正數(shù)：在數(shù)軸中心點(diǎn)0正方向上（默認(rèn)是右邊）的數(shù)（即大于0的數(shù)）為正

數(shù)。

負(fù)數(shù)：在數(shù)軸中心點(diǎn)0負(fù)方向上（默認(rèn)是左邊）的數(shù)（即小于0的數(shù)）為負(fù)

數(shù)。

0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

相反數(shù)：

（1）如數(shù)軸上的一a和a,這兩個(gè)點(diǎn)到數(shù)軸中心0點(diǎn)距離相等，相加為零,

這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。特別的，0的相反數(shù)是0。

（2）注意:a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c；a-b的相反數(shù)是b-a；a+b的相反數(shù)

是一a-b；

（3）相反數(shù)的和為0<=>a+b=0<=>a、b互為相反數(shù).

絕對(duì)值：

（1）正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，0的絕對(duì)值是0,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);

注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離；

（2）絕對(duì)值可表示為：同=06=0）或|a|=匕鼠*;絕對(duì)值的問(wèn)題經(jīng)

-a（a<0）1a‘a(chǎn)）

常分類討論；

（3）—=l<=>a>0;—=-l<=>a<0;

aa

(4)|a|是重要的非負(fù)數(shù)，即|a|20；注意：|a|?|b|=|a?b|,H=|^|.

互為倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒(méi)有倒數(shù)；若aWO,那

么"的倒數(shù)是工；倒數(shù)是本身的數(shù)是±1；若ab=loa、b互為倒數(shù)；若ab=To

a

a、b互為負(fù)倒數(shù).

1.1.2數(shù)軸上數(shù)的大小比拼

(1)不含絕對(duì)值的情況(如數(shù)軸上的數(shù)b<c<d)

在數(shù)軸上沿著正方向的數(shù)依次變大,默認(rèn)正方向是向右，即越往右的數(shù)越大。

(2)含絕對(duì)值的情況(如數(shù)軸上的數(shù)c〈d〈|b|)

含負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的數(shù)比大小，在數(shù)軸上標(biāo)出所有參與比較的負(fù)數(shù)的絕對(duì)值

(關(guān)于0點(diǎn)對(duì)稱)再按(1)比較。

bcdIbl

-5-2025

1.1.3有理數(shù)的加減乘除

(1)有理數(shù)的加法

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

2.絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大

的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)加數(shù)相加得Oo

3.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

加法交換律:a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)有理數(shù)的減法

有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

a-b=a+(-b)

歸納

引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。

a+b-c=a+b+(-c)

(3)有理數(shù)的乘法

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

任何數(shù)與0相乘，都得0。

有理數(shù)中仍有：

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

歸納

幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)

是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。

乘法交換律:ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(be)

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

(4)有理數(shù)的除法

除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

a-rb=a?:(bWO)

b

兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等

于0的數(shù)，都得0。

(5)有理數(shù)的乘方

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做累，在a"中，a叫

做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

負(fù)數(shù)的奇次基是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。

正數(shù)的任何次辱都是正數(shù)，0的任何正數(shù)次事都是0。

(1)求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)

果叫做幕；

(3)￡是重要的非負(fù)數(shù)，即￡20；若a2+|b|=0oa=0,b=0；

0.12=0.01

2

(4)據(jù)規(guī)律n底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位，平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)

102=100

二位.

做有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序:

1.先乘方，再乘除，最后加減。

2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行。

3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按照小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

（6）科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成aX10。的形式（其中a大于或等于1且小于10,

n是正整數(shù)），使用的是科學(xué)記數(shù)法。

（7）近似數(shù)

“約有五百人參加了今天的會(huì)議。”五百這個(gè)數(shù)只是接近實(shí)際人數(shù)，但與實(shí)

際人數(shù)還有差別，它是一個(gè)近似數(shù)。

（精確到個(gè)位）

n^3.1（精確到0.1,或叫做精確到十分位）

口P3.14（精確到0.01,或叫做精確到百分位）

1.1.4典型例題解析

例1.（2021廣東）設(shè)6-布的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則（2“+加”

的值是（）

A.6B.2曬C.12D.9>/10

［答案］:A

【解析】易得9<10<16,所以百<歷<7^即（3<V10<4）,2<6->/10<3,

因此可得a=2,h=6-屈-2=4-屈,所以（2°+而a=（4+亞）（4-如）=6,考

查實(shí)數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的轉(zhuǎn)化，以及平方差公式的運(yùn)算。

例2.（2018北京）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確

的結(jié)論是

abc

-----1—?-i------------、——---?A―,------1~>

-47-2T01234

（A）同〉4（B）c-b>0（C）ac>0（D）a+c>0

［答案］:B

【解析】易得-41<-3,3<|a|<4：-Kb<0,2<c<3,2<c-b<4；ac<0；-2<a+c<0；

考查絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的乘積符號(hào)判斷、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、數(shù)軸的應(yīng)用。

例3.（2018江漢油田、潛江、天門(mén)、仙桃）計(jì)算:鬢+回2卜5

［答案］：0

【解析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小估值2=">有，去絕對(duì)值、倒數(shù)及負(fù)指數(shù)（1/2）

K），<n

=2'o因此，A+|^-2|-（l）-'=^+（2-73）-2-=0

例4.（2018廣東）13.一個(gè)正數(shù)的平方根是戶1和『5,則產(chǎn).

［答案］：2

【解析】本題考查的是正數(shù)的平方根的性質(zhì)：兩個(gè)根互為相反數(shù)，和為0。因此,

x+l+x-5=0,x%而這個(gè)正數(shù)是（矛+1）2=9。

例5.有理數(shù)a,b,c滿足|a+b+c|=a-b+c,且bWO,則|a-b+c+51Tb

-2|的值為

［答案］：3

【解析】本題考查的是絕對(duì)值的性質(zhì)：|a+b+c|=a-b+c,b符號(hào)改變了，說(shuō)明

a+b+c小于0并且a-b+c大于0,則（a+b+c）+（a-b+c）=0,a+c=0,|b|=-b,則b

小于0,|b-21=-（b-2），所以|a-b+c+51-：b-21=a-b+c+5+b-2=3。

例6.若a+h>0,且/?<O,則“，b,-0的大小關(guān)系為（）

A-a<-b<b<aB.-a<b<-b<aQ-a<-b<a<bD.a<b<-b<-a

［答案］:B

【解析】本題考查的是數(shù)的大小比拼?！驹斀狻???a+b>0,...a>-b,-aVb,由

b<0,.\b<-b,.,.-a<b<-b<a；故選B.

1.2不等式

不等式的性質(zhì)：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

用字母表示為：如果。>人，那么。土c>b±c：如果。<匕，那么a±cv/?±c：

如果〃之力，那么。土cN/?土c；如果那么々土cK〃土co

（2）不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。

用字母表示為：如果a>b,c>0,那么拉:（或@>2）；如果那么〃c<儀?（或

cc

ab.

—<—）；

cc

如果aNA,c>0,那么〃c之〃c（或“22）；如果那么acKhc（或@?勺；

cccc

（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。

用字母表示為：如果那么ac<Z?c（或@<2）；如果。<反。<0,那么。（或

cc

ab、

—>—）；

cc

如果。2Z?,cvO,那么（或@42）；如果aWb,cvO,那么acNbc（或處之2）；

cccc

解不等式的步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)

化為1。這與解一元一次方程類似，在解時(shí)耍根據(jù)一元一次不等式的具體情況

靈活選擇步驟。

1.2.1數(shù)軸上的一元一次不等式

x￡5l+x>?1

-aa

---------------1--------4-----1------1---------1------------>

-5-2025

一元一次不等式x<-5、l+x>T如數(shù)軸所示，實(shí)心圓表示可取等號(hào)，空心圓

表示不可取等號(hào)。

1.2.2數(shù)軸上的一元一次不等式組

不等式組中含有一個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的不

等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個(gè)不等式都成立的未知數(shù)的值叫

不等式組的解，一個(gè)不等式組的所有的解組成的集合,叫這個(gè)不等式組的解集解

（簡(jiǎn)稱不等式組的解）。不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。求不等式組的解

集的過(guò)程叫解不等式組。

解一元一次不等式組的一般步驟:①求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集;

②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個(gè)不等式組的解集。如果

這些不等式的解集的沒(méi)有公共部分，則這個(gè)不等式組無(wú)解（此時(shí)也稱這個(gè)不等

式組的解集為空集）o

—CLQ

_______a_______I_________I______I---------1---L^_J--------1----->

-5-2012345

一元一次不等式組｛2x-320、3xT3W0｝的解如數(shù)軸所示，則整數(shù)解為

x=2\3\4o

接下來(lái)看下兩個(gè)試題：

①一元一次不等式組｛2x-a20、3x-bW0｝的解如數(shù)軸所示，問(wèn)整數(shù)（a、b）

的組合有哪些？

一,II一一一一9T

-5-2012345

第一步，將不等式組求解出來(lái)，a/2WxWb/3,注意到x最小值在廣2之間，

x的最大值在4~5之間，則：Ka/2<2,4<b/3<5,得2<a<4,12<b<15,因?yàn)閍、

b是整數(shù)，所以a=3,b=13、14,即（a、b）=（3、13）或（3、14）共2種情況。

②一元一次不等式組｛2x-a，0、3x-b^0｝的整數(shù)解僅為2、3、4,問(wèn)整數(shù)（a、

b）的組合有哪些？

與上題的區(qū)別是告訴你整數(shù)解而不是在數(shù)軸上表示，其實(shí)這題中，x的最小

值可以是2,x的最大值可以是4,所以有：l〈a/2W2,4<b/3<5,得2<aW4,

12^b<15,因?yàn)閍、b是整數(shù)，所以a=3、4,b=12、13、14,即（a、b）=（3、

12）或（3、13）或（3、14）或（4、12）或（4、13）或（4、14）共6種情況。

1.2.3典型例題解析

例L下列不等式變形中，一定正確的是（）

A.若ac>bc,則a>b

B.若a>b,則am2>bm2

C.若ac2>bc2,則a>b

D.若a>0,b>0,且!>1,則a>b

aD

［答案］:c

【解析】本題考查的是不等式的3個(gè)性質(zhì)。A選項(xiàng)中，如果c小于0,則錯(cuò)；

B選項(xiàng)若果m等于0,則錯(cuò)；C選項(xiàng)，條件知c不為0,因此正確；D選項(xiàng)，正數(shù)

的倒數(shù)越大，那這個(gè)正數(shù)就越小，D錯(cuò)。

x+2y=4k

例2.已知5l.-l<x-y<0,則k的取值范圍為

2x+y=2k+l

0<k<--<k<l

A.2B.2C.0<k<lD.2

［答案］:D

x+2y=4k①

【解析】本題考查含參數(shù)的不等式組的解法。詳解】

2x+y=2k+l②

???②一①，得x-y=-2k+1

將x-y=-2k+l代入一Ivx-y<0,得:

-l<-2k+l<0^-2<-2k<-l^-<k<l

2

故選D

例3..若不等式組，恰有兩個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（）

x>m-\

A.—l<m<0B.—l<m<0C.-\<m<QD.

—l<m<0

［答案］:A

【解析】本題考查的是不等式組的整數(shù)解的性質(zhì)，注意取等號(hào)的條件。

x<1…

?..不等式組I有解，

x>m-\

，不等式組的解集為

x<1

?..不等式組I恰有兩個(gè)整數(shù)解，

x>m—\

??-2Sm-1<-1,

解得一IV一<0。

例4.已知x=2是不等式(％-5)(以—3a+2)W0的解，且X=1不是這個(gè)不等式

的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a>lB.a<2C.l<a<2D,l<a<2

［答案］:C

【解析】本題考查的是對(duì)不等式的解得理解。.."=2是不等式

(x-5)(ax-3a+2)<0，(2—5)(2a—3a+2)40,解得：a42,

???x=l不是這個(gè)不等式的解，，(1-5)(a-3a+2)>0,解得：a>l,

，l<a42,

故選C

'2x-b>0

<

例5.若不等式組+的解集為3g,則不等式以+力V0的解集為

3

X>一

［答案］:2

【解析】本題考查的解含參數(shù)的不等式的應(yīng)用。

b

2x-b>0,^x>-

2

解不等式x+aWO得

(2x-b>0b

.,.不等式組,八的解集為a

龍+a?02

［2x-b>0

?.?不等式組的解集為3士“,

x+a<0

一。二4

1Q=-4

b=6

：.不等式ax+b<0為-4x+6<0,

解得x>'.

故答案為：x>|.

例6..對(duì)羽>定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定外加霽(其中“，8均為非

零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算,例：「。』)=嘿筌

已知T(L—1)=-2,T(4,2)=l,

(1)求a,b的值;

T(2zn,5-4m)<4,

(2)若關(guān)于〃2的不等式組二；o/恰好有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)P的

l(m,3-27n)>p

取值范圍.

-2<〃<—

［答案］：(1)。的值分別為1，3；(2)3.

【解析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用及不等式組的應(yīng)用，理解題目

中新定義的運(yùn)算是解題關(guān)鍵。

【詳解】(1)由T(l,—1)=-2,T(4,2)=l,

4口4ZX1+/?X(-1)ax4+hx2

得--------^=-2,

2x1-12x4+2

a-b=-2

整理得:

4。+乃=10

解得

b=3

即a,8的值分別為1,3；

x+3y

(2)由(1)得T(x,y)

2x+y

T(2zn,5-4nz)<4,

則不等式組<

T(/n,3-2m)>p

-10/n<5,

化為《

-5m>3p-9,

解得-gw

???不等式組二/Q。；恰好有3個(gè)整數(shù)解,

.?.2<d3,

5

解得-2Wp<--.

1.3數(shù)軸的妙用

當(dāng)遇到函未知數(shù)X的絕對(duì)值的整式求最小值的問(wèn)題時(shí)，可以利用數(shù)軸進(jìn)行求

解。例如下面這個(gè)題。

已知X是實(shí)數(shù)，求IX-2I+Ix+3|的最小值？

利用數(shù)軸，在數(shù)軸上取一點(diǎn)x,由絕對(duì)值的含義，|x-2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到

數(shù)軸上點(diǎn)2的距離s2,|x+3|可以寫(xiě)成Ix-(-3)|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到數(shù)軸上

點(diǎn)-3的距離si,也就是求數(shù)軸上的點(diǎn)x到數(shù)軸上點(diǎn)2和-3的距離最小值。如數(shù)

軸所示，sl+s22s,當(dāng)實(shí)數(shù)x在-3和2之間時(shí)，等號(hào)成立，因此|x-2|+|x+3

I的最小值為s,s=5o

S

K----s-i--------->?s2

-aa

■ii___?X.i____■1.___

-5-3-20245

第二章關(guān)于實(shí)數(shù)的那些式子

2.1整式

2.1.1整式的概念

一、代數(shù)式

代數(shù)式的定義：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式

注意點(diǎn)：

①單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式；

②n是一個(gè)數(shù)，也是一個(gè)代數(shù)式；

③可以含有絕對(duì)值符號(hào)

④代數(shù)式中不能出現(xiàn),w,N,4等關(guān)系符號(hào)

代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式：

①數(shù)字在前字母在后

②帶分?jǐn)?shù)系數(shù)化假分?jǐn)?shù)

③數(shù)字乘以字母，字母乘以字母時(shí)乘號(hào)省略：

④除號(hào)變分?jǐn)?shù)線

⑤單位帶括號(hào)

⑥系數(shù)1和-1省略

⑦相同字母寫(xiě)成幕的形式

二、單項(xiàng)式

單項(xiàng)式的定義：數(shù)和字母的積

注意點(diǎn)：

①單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式；

②分母中不含字母；

③不存在數(shù)與字母、字母與字母的加減.

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).

如單項(xiàng)式100m的系數(shù)是100,a3的系數(shù)是1,2.5vt的系數(shù)是2.5

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

如單項(xiàng)式100m中，m的指數(shù)是1,100m是一次單項(xiàng)式；單項(xiàng)式2.5vt中，v和t的

指數(shù)和是2,2.5vt是二次單項(xiàng)式

易錯(cuò)點(diǎn)：①單項(xiàng)式的系數(shù)包括單項(xiàng)式前面的符號(hào)；

②F1是一個(gè)數(shù)，不要將它當(dāng)作字母.

三、多項(xiàng)式

多項(xiàng)式的定義：

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的項(xiàng)：

每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).多項(xiàng)式中的各項(xiàng)包括它前面的符號(hào).

常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式里含有幾項(xiàng)，就把這個(gè)多項(xiàng)式叫做幾項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

多項(xiàng)式的命名：幾次幾項(xiàng)式.（漢字）

整式的定義：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

把多項(xiàng)式按某個(gè)字母升暮、降幕排列

四、同類項(xiàng)

同類項(xiàng)定義:如果兩個(gè)單項(xiàng)式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，

那么就稱這兩個(gè)單項(xiàng)式為同類項(xiàng)

【注意】所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)

同類項(xiàng)的特征：“兩相同，兩無(wú)關(guān)”

"相同"：①所含實(shí)母②相同字母的指數(shù)

"無(wú)關(guān)"：①系數(shù)②字母排列順序

2.1.2整式的加減

(1)同類項(xiàng)

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也

是同類項(xiàng)。例如2a與5a是同類項(xiàng)，與-5m?是同類項(xiàng)，5與8是同類項(xiàng)。

(2)合并同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。

在書(shū)寫(xiě)時(shí)，通常我們把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小(降

辱)或從小到大(升募)的順序排列。

合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它

的指數(shù)不變

(3)去括號(hào)

如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同。

如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。

+120(u-0.5)=+120u-60-120(u-0.5)=-120u+60

(4)整式加減的運(yùn)算法則

一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。

2.1.3整式的乘除

(1)同底數(shù)塞的乘法

同底數(shù)辱相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

a”?a"=a"n(m、n都是正整數(shù))

(2)幕的乘方

寤的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

(a)n=am(m,n都是正整數(shù))

(3)積的乘方

積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

(ab)"=a"b"(n是正整數(shù))

(4)整式的乘法

一般地，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，對(duì)于只

在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

ac"?bcJ=(a,b)(c3,c2)=abc'

一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所

有的積相加。p(a+b+c)=pa+pb+pc

一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式

的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq

(5)同底數(shù)塞相除

同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

a^a^a^Ca^O,m、n都是正整數(shù)，并且m>n)x7-rx2=x5

a"4-ara=lam4-a'"=a"m=a0于是規(guī)定a°=l(aWO)

任何不等于0的數(shù)的0次暴都等于lo

一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)累分別相除作為商的因式，對(duì)于只在

被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

28x'y'-r7x3y

=(28+7)?x*3?產(chǎn)

=4xy

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再

把所得的商相加。

(12ai_6a2+3a)4-3a

=12a"4-3a—6a'4-3a+3a+3a

=4a-2a+l

2.1.4乘法公式

(1)平方差公式

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b"

(2)完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積

的2倍。

(a+b)'=a2+2ab+b；:(a-b)2=a2-2ab+b'

2.1.5因式分解

X2+x=x(x+1)x2-l=(x+l)(x-1)

上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這

個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2_因式分解

X'整式乘法(jr+D(jc—1).

(1)提公因式法

pa+pb+pc

它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式P,我們把因式P叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因

式。

pa+pb+pc=p(a+b+c)

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)

式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。

(2)公式法

(利用平方差公式完全平方公式)

a2-b2=(a+b)(a-b)

a~+2ab+b::=(a+b)'a2-2ab+b=(a-b)2

我們把a(bǔ)、2ab+b2和￡-2ab+b?這樣的式子叫做完全平方式。

分解因式a3b~ab-x2+4xy-4y2

=ab(a2-l)=-(x2-4xy+4y2)

=ab(a+l)(a-l)=-(x-2y)2

2.1.6典型例題解析

例L已知單項(xiàng)式2笳加用與是同類項(xiàng)，則2根+3"=.

［答案］：13

【解析】本題考查的是同類項(xiàng)的定義。由于是同類項(xiàng)，3=m-2,n+l=2o所以

m=5,n=l,貝（J2m+3〃=13

例2.把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖①）不重疊地放在一

個(gè)底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為m,寬為n）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡

片覆蓋的部分用陰影表示.則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是（）

A.4nB.4mC.2（m+n）D.4（m-n）

［答案］:A

【解析】本題考查的是整式結(jié)合圖形關(guān)系的應(yīng)用?？梢栽O(shè)小長(zhǎng)方形的短邊為

x,長(zhǎng)邊為y。陰影部分的周長(zhǎng)=2（n-2x+y）+2（2x+n-y）=4n。

238

例3.如圖，兩個(gè)大小正方形的邊長(zhǎng)分別是4cm和xcm(0VxV4).用含x

的式子表示圖中陰影部分的面積為()cm、

A.B.C.；(4+x)-D.；(4+4

［答案］:B

【解析】本題考查的整式結(jié)合圖形關(guān)系的應(yīng)用。陰影部分的面積=兩個(gè)正方

形的面積之和-空白三角形的面積=4%x2-4(4+x)/2-［4(4-x)/2+x?/2］=x2/2

例4.按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式:a2,-4a3,9a-16a5,25a6,...,第

〃個(gè)單項(xiàng)式是()

A.(-l)n+，n2a"+,B.(-l)Bn2an+,C.(-l)，，+，n2a-D.(—1)“〃”

［答案］:A

【解析】本題考查的單項(xiàng)式的性質(zhì)及規(guī)律觀察。單項(xiàng)式包含系數(shù)、字母、字

母的指數(shù)。系數(shù)位上發(fā)現(xiàn)奇數(shù)位為正，偶數(shù)位為負(fù)，都是n的完全平方數(shù)，所以

系數(shù)上為(-1)"中，再看字母只有a,字母上的指數(shù)都是n遞增1,因此單項(xiàng)式為

(-1)-

例5.多項(xiàng)式4/y3-5x4y3_3x2->2+5》+2的次數(shù)是次.

［答案］：7

【解析】本題考查的是多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的次數(shù)的判斷。多項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式

里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。次數(shù)最高項(xiàng)是-5x4y3單項(xiàng)式，一個(gè)單項(xiàng)式中，

所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，所以次數(shù)為70

2.2分式

2.2.1分式的概念

一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子金A叫做

D

分式，分式A;中，A叫做分子，B叫做分母。

D

2.2.2分式的基本性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變。

(2)分式的約分

把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

(3)最簡(jiǎn)分式

分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。

(4)分式的通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同

分母的分式，叫做分式的通分。

(5)最簡(jiǎn)公分母

為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幕的積

作公分母，它叫做最簡(jiǎn)公分母。

2.2.3分式的乘除

類似于分?jǐn)?shù)，分式有：

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

-ax-c=—ac

bdbd

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

_a_c—_a_d_——ad

bdbc__be

乘方:分式乘方要把分子、分母分別乘方。Q"=蓋

2.2.4分式的加減

類似分?jǐn)?shù)的加減法，分式的加減法法則是：

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。

上述法則用式子表示為：

aba+b

一±一=^^

ccc

a.c_ad,bcad±bc

b-dbd-bdbd

2.2.5整數(shù)指數(shù)幕

把塞的指數(shù)推廣到了負(fù)指數(shù)

a二成冬民毛a34-a5=a3-5=a2所以a2=4

aba5azazaz

a"=4a#0這就是說(shuō)，a"是a"的倒數(shù)。

an

歸納

a-a-=a"F這條性質(zhì)對(duì)于m,n時(shí)任意整數(shù)的情形仍然適用。

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可以歸結(jié)為：

(1)a"?a"=a"n(m、n都是整數(shù));

(2)(a")nuaRm、n都是整數(shù))；

(3)(ab)"=a"b"(n是正整數(shù))。

2.2.6分式方程

9060小

---------二-------(D

30+v30-V

方程①的分母中含未知數(shù)V,像這樣分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

我們以前學(xué)的都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中。

在方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母得到整式方程。

歸納

解分式方程①的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”,

即方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母。這也是解方程的一般方法。

解分式方程要檢驗(yàn)

一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分

母為0,因此應(yīng)做如下檢驗(yàn)：(30+v)?(30-v)#0。將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公

分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則這

個(gè)解不是原分式方程的解。

2.2.7典型例題解析

例L下列分式中，最簡(jiǎn)分式是()

2222

.x-lRx+1x-2xy+yx-36

x+\x-1x-砂2x+l2

［答案］:A

【解析】本題考查的分式的化簡(jiǎn)。A選項(xiàng)，x2-l=(x+l)(x-l),與分母無(wú)公因

式，所以是最簡(jiǎn)分式；B選項(xiàng)，分子與分母有公因式x+1,所以不是最簡(jiǎn)分式；C

選項(xiàng)，分子=(x-y)2,分母=x(x-y),有公因式x-y,排除；D選項(xiàng)中，分子=(x+6)

(x-6),分母=2(x+6)，有公因式x+6,也不符合，排除。

例2..若關(guān)于x的分式方程二二二%-二-的解為正數(shù)，則滿足條件的正整

據(jù)一3，一相

數(shù)m的值為()

A1,2,3B,1,2C.1,3D.2,3

［答案］:C

【解析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，注意分母不能為0o小-~L&三

解為x=4-m2l,m為正整數(shù)，所以lWmW3,因x-2不能為0,xW2,mW

2,所以m=l或3。

m-l1

例3.關(guān)于x的方程(x+l)(x—D-x—l=O無(wú)解，則m的值是.

［答案］：3或1

【解析】本題考查的分式方程無(wú)解的性質(zhì)。方程解為x=m-2,要使分式方程

無(wú)解，則讓x的值使得分母為0。所以m-2=l或者T,則m=3或1.

2.3二次根式

2.3.1概念

1.二次根式：式子孔(。20)叫做二次根式。

2.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：

⑴被開(kāi)方數(shù)中丕含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因武；⑵被開(kāi)方數(shù)中丕食分母；⑶

分母中不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類

二次根式。

2.3.2二次根式的性質(zhì)

irJa>0(a>0).J.)“92。)；3."，葉卜

4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：g=6瘋。20,C0)；

、口=4(a20,b>0)

5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：力正

6.若a>2>>0,則石>

2.3.3二次根式的運(yùn)算

(1)因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么,

就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么

先解因式，回變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的

正因式平方后移到根號(hào)里面.

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次

根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所

得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

\ub=\［（i,\h（a>0,b>0）；（———（b>0?a>0）.

（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，回乘法對(duì)加法的

分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

2.3.4典型例題解析

例1.若|2004-4+Ja-2005=a,貝!Ja-ZOCM、；

若y=Jx-3+j3-x+4,則X+y=

［答案］：2005,7

【解析】本題考查二次根式的非負(fù)性質(zhì)。a-200520,則原式轉(zhuǎn)化為

a-2004+Ja—2005=a,則Ja-2005=2004,所以0-2004?=2005；x-320,

3-x20,所以x=3,y=4,所以x+y=7。

例2.已知：a+^\-2a+a~=1>則a的取值范圍是（）。

A、a=0；B、a=\?,C、a=0或1；D、a<\

［答案］:D

【解析】本題考查的是二次根式的值是式子絕對(duì)值的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)。

a+4］-2a+cr=a+|a-l|=l,所以|a-l|=l-a,則a-lW0,aWl。

例3.已知9+V13-^9-V13的小數(shù)部分分別是a和b,求ab—3a+4b+8的值

［答案］：8

【解析】本題考查的是二次根式的整數(shù)與小數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)。

3=V9<V13<V16=4,所以：9+而=12+a,9-V13=5+b,則a=VU-3,b=4-而

帶入式子ab—3a+4b+8=8o

例4.已知:x=2^二①V3+V2,求3x2-5xy+3y2的值

V3+V2，J-V3-V2

［答案］：289

【解析】本題考查的二次根式的化簡(jiǎn)和計(jì)算，變換已知條件和所求式子進(jìn)行

簡(jiǎn)化計(jì)算。由已知條件得，xy=l,x-y=-4V6

所求式子=3(x-y)2+xy=288+l=289

傷!］5.已矢口J15+x—J19+x=—2，J19+x+J15+x

［答案］：2

【解析?】本題考查的二次根式的化簡(jiǎn)和計(jì)算，變換已知條件.

J15+x-J19+x=-2兩邊都乘以J19+x+V15+x,

(15+X)-(19+X)=-2(J19+X+J15+X),所以J19+X+J15+X=2

2.4第二章加固例題解析

例L(2018臨沂)已知〃2+〃=/加2,貝I」("2—1)(〃—1)=.

［答案］:1

【解析】由得mn-(m+J2)=O(m-l)(n-l)=mn-(m+n)+l=l.本題

考查的是因式分解的應(yīng)用。

例2.已知x+1~=6,貝!］12+4_=.

XX

［答案］：34

【解析】由》+工=6兩邊平方，得-+±+2=36。因此，一+二=34。本題考

XXX

查的是完全平方式的應(yīng)用。

例3.(2018荷澤)10.若a+)=2,ah=-?>,則代數(shù)式/"z//+/的

值為.

［答案］：T2

【解析】++"3提取公因式ab,等于ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=-2x

22=-12O本題考查的是公因式的提取，完全平方式。

例4.（2018淄博）4.若單項(xiàng)式式斤與獷的和仍是單項(xiàng)式，則獻(xiàn)，的值

2

是（）

A.3B.6C.8D.9

［答案］:C

【解析】由于單項(xiàng)式y(tǒng)與工后夕的和仍是單項(xiàng)式，單項(xiàng)式是都數(shù)或字母的乘

2

積，不存在加減運(yùn)算符號(hào)。因此，與1/加,的為同類項(xiàng)，字母相同其指數(shù)

2

也相同。得:m-l=2,m=3,2=n；所以同=23=8.

例5.（2018株洲）11、單項(xiàng)式5利〃2的次數(shù).

［答案］：3

【解析】所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，那多項(xiàng)式5〃〃?2+山〃+1的次數(shù)

又是多少呢？多項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式里的最高次數(shù)，也就是單項(xiàng)式5加〃2的次數(shù)

3。本題考查的是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的次數(shù)的定義。

例6.（2018寧波）在矩形A8CO內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為。和伏?！捣莸恼?/p>

形紙片按圖1,圖2兩種方式放置（圖1,圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），

矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分為5,

圖2中陰影部分的面積為邑.當(dāng)-AB=2時(shí)，S2-E的值為（）

□a□b

A.2aB.2bC.2a-2hD.-2h

［答案］：B

【解析】如下圖所示，在CD邊上取b長(zhǎng)度做虛線連接到小正方形邊；在BC邊上

取b的長(zhǎng)度做虛線，圖1和圖2得到右下角的陰影圖像面積記為S,則S2=(AD-a)

b+S,Si=(AB-a)b+S,因此，S2-S尸(AD-a)b+S-［(AB-a)b+S］—(AD-AB)b=2b<>

本題考查的是因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是需要拆分S1和S2的面積。

例7.(2018威海)5.已知5、=3,5-'=2,則52"力=()

329

C

4-B.3-D.8-

［答案］:D

1Q

【解析】5f=5筋.5%=(力2?(5,『=32.27=9.m=耳。本題考查的是同底指

數(shù)基的運(yùn)算。

例&(2018南充)9.已知工-1=3,則代數(shù)式2"3孫-2y的值是()

xyx_xy_y

71193

A.--B.--C.-D.-

2224

［答案］:D

【解析】由于工―工=3,而工—工=匕，因此y—x=3盯，

xyxy盯

2x+3盯-2)=3町-2(y-x)=3咫-2x3孫=*=3。本題考查的是分式的運(yùn)

x—xy-y_('_1)一盯-3xy—xy—4xy4

算，分式的通分與約分。

例9.(2018自貢)14.化簡(jiǎn)」上+-_的結(jié)果是

X+1X2-］

［答案］:—L

x-\

12111、1*日百壬詼

【解析】士+島----1----------=-----F()=---?本就主要

x+1(x+l)(x-l)x+1x-\x+1--x—\

考查平方差公式，關(guān)于1的平方是1本身，以及分式的拆分的應(yīng)用；對(duì)任意a、

b有---------=―------—o對(duì)于上題b=-l,a=l

(x+b)(x+a)x+bx+a0

----<x+3

例10.（2020?重慶）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)2~的解集為

x<a

X<a；且關(guān)于y的分式方程W+”=l有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)

y-Ly一，

a的值之積是（）

A.7B.-14C.28D.-56

［答案］:A

3x-l,卜《7

【解析】解不等式2，解得xW7,...不等式組整理的I%"。，

由解集為x〈a,得到aW7,分式方程去分母得：y~a+3yY=y母，即3y吆=a,

。+2

解得：y=3,由y為正整數(shù)解且yW2,得到a=l,7,1X7=7,故選：A.此

題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題

的關(guān)鍵。