自動控制描述函數(shù)法

自動控制描述函數(shù)法第七章非線性系統(tǒng)內(nèi)容提要7.1典型非線性特性7.2描述函數(shù)法7.3相平面法 學習指導(dǎo)與小結(jié)

第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天7.1典型非線性特性

前面各章研究的都是線性系統(tǒng)，或者雖然是非線性系統(tǒng)，但可進行線性化處理，從而可視為線性系統(tǒng)。事實上，幾乎所有的實際控制系統(tǒng)，都不可避免地帶有某種程度的非線性。系統(tǒng)中只要具有一個非線性環(huán)節(jié)，就稱為非線性系統(tǒng)。因此實際的控制系統(tǒng)大都是非線性系統(tǒng)。本章將主要討論關(guān)于非線性系統(tǒng)的基本概念，以及兩種基本分析方法：描述函數(shù)法和相平面法。第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性特性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為本質(zhì)非線性。為簡化對問題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為典型非線性特性。第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天yxka-a0M-M飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，放大器及執(zhí)行機構(gòu)受電源電壓或功率的限制導(dǎo)致飽和。1．飽和特性7.1.1典型非線性特性的種類a為線性區(qū)寬度，k為線性區(qū)斜率。第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2．死區(qū)特性yxka-a0a為死區(qū)范圍，k為直線段的斜率。死區(qū)特性一般由測量元件、放大元件、執(zhí)行元件的不靈敏區(qū)所造成。死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號，但其輸出為零第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3.滯環(huán)特性

鐵磁元件的磁滯、齒輪傳動中的齒隙、液壓傳動中的油隙等均屬這類特性。滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入—輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。又稱為間隙特性。yx0b-ba-a第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天4繼電器特性 yx0maa-a-mab-b繼電器、接觸器、可控硅等電氣元件的特性通常表現(xiàn)為繼電特性。第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天實際系統(tǒng)中，各種開關(guān)元件都具有繼電器特性。

yxa-a0-bb

yx0b-b(1)若a＝0，稱這種特性為理想繼電器特性所示。(2)若m=1，稱為死區(qū)繼電器特性。(3)若m=-1，稱為滯環(huán)繼電器特性。

yxa-a0-bb特殊情況：第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天由于上述非線性特性的存在，與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有如下特點：（1）穩(wěn)定性的復(fù)雜性。（2）可能存在自激振蕩現(xiàn)象。（3）頻率響應(yīng)。7.1.2非線性系統(tǒng)的若干特征設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0

平衡狀態(tài)：

x1=0x2

=1第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天相應(yīng)的時間響應(yīng)隨初始條件而變。當x0>1，t<lnx0/(x0

1)時，隨t增大，x(t)遞增；t=lnx0/(x0

1)時，x(t)為無窮大。當x0<1時，x(t)遞減并趨于0。由上例可見，初始條件不同，自由運動的穩(wěn)定性亦不同。因此非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x0

1第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動，簡稱自振?？紤]著名的范德波爾方程

>0

該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。當擾動使x<1時，因為

(1

x2)<0，系統(tǒng)具有負阻尼，此時系統(tǒng)從外部獲得能量，x(t)的運動呈發(fā)散形式；當x>1時，因為

(1

x2)>0，系統(tǒng)具有正阻尼，此時系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運動呈收斂形式；而當x=1時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動對x的影響，保持幅值為1的等幅振蕩。第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動，簡稱自振?？紤]著名的范德波爾方程

>0

該方程描述具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)。當擾動使x<1時，因為

(1

x2)<0，系統(tǒng)具有負阻尼，此時系統(tǒng)從外部獲得能量，x(t)的運動呈發(fā)散形式；當x>1時，因為

(1

x2)>0，系統(tǒng)具有正阻尼，此時系統(tǒng)消耗能量，x(t)的運動呈收斂形式；而當x=1時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)運動呈等幅振蕩形式。上述分析表明，系統(tǒng)能克服擾動對x的影響，保持幅值為1的等幅振蕩。第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天非線性系統(tǒng)對于正弦輸入信號的響應(yīng)，除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有關(guān)于ω的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。考慮有名的杜芬方程x162345

第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還缺乏成熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進行分析。工程上常用的方法有以下幾種：（1）小偏差線性化（非本質(zhì)非線性）（2）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）這是一種頻域分析方法，其實質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性特性線性化，然后用頻率法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，這種方法不受系統(tǒng)階次的限制。（3）相平面法（本質(zhì)非線性）相平面法是求解一、二階常微分方程的圖解法。通過在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。這是一種時域分析法，但僅適用于一階和二階系統(tǒng)。

（4）計算機求解法

用模擬計算機或數(shù)字計算機直接求解非線性微分方程，對于分析和設(shè)計復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的方法。第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天7.2描述函數(shù)法基本思想：當系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時非線性系統(tǒng)就近似等效為一個線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對系統(tǒng)進行頻域分析。描述函數(shù)法主要用于分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題。第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

1.描述函數(shù)的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成一個非線性環(huán)節(jié)N

和一個線性部分G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對稱的，即y(x)=-y(-x)。（3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。7.2.1描述函數(shù)的定義第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.描述函數(shù)的定義設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號是正弦信號x(t)=Asin

t則其輸出一般為周期性的非正弦信號，可以展成傅氏級數(shù)非線性環(huán)節(jié)奇對稱，則有A0=0其中，A0是直流分量；

Ancosnωt+Bnsinnωt為n次諧波分量；An、Bn為傅里葉系數(shù)。第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天由于在傅氏級數(shù)中n越大，諧波分量的頻率越高，An,Bn越小。此時若系統(tǒng)又滿足第三個條件，則高次諧波分量又進一步被充分衰減，故可認為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即 第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來表示。由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：(1)描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個非線性元件近似地看作一個線性元件，因此又叫做諧波線性化。 (2)描述函數(shù)表達了非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。對于常見非線性特性，描述函數(shù)僅是A的函數(shù)，記為N(A)。 第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天7.2.2描述函數(shù)的求法（1）首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學表達式。（2）利用傅氏級數(shù)求出y(t)

的基波分量。（3）將求得的基波分量代入定義式，即得N(A)

。下面計算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。1.理想繼電器特性

yx0M-M第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0x

t2

特點：1）方波信號2）與x(t)同周期3）奇函數(shù) yx0M-M

y0

tM

2

-M第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天直流分量為：基波余弦分量的系數(shù)A1為：第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天所以基波分量為故理想繼電器特性的描述函數(shù)為即N(A)的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號A的函數(shù).基波正弦分量的系數(shù)B1為： 第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

2.飽和特性直流分量與基波余弦分量的系數(shù)為零A0=A1=0，而基波正弦分量的系數(shù)B1為 y0x

t2

1A>aπ-

1x0Mka-M-M

y0

tM

2

1π-

1特點：1）與x(t)同周期2）奇函數(shù) 第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

式中ψ1=arctan(a/A)。可得飽和特性的描述函數(shù)為由上式可見，飽和特性的N(A)也是輸入正弦信號幅值A(chǔ)的函數(shù)。這說明飽和特性等效于一個變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當A>a時，比例系數(shù)總小于k。

第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，但計算也復(fù)雜得多。此時也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個簡單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。 7.2.3組合非線性特性的描述 1．非線性特性的并聯(lián)計算設(shè)有兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實數(shù)。第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=y11(t)+y12(t)=N1Asin

t+N2Asin

t=(N1+N2)Asin

t

N=(N1+N2)

總的描述函數(shù)若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當N1和N2是復(fù)數(shù)時，該結(jié)論仍成立。 第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天△0M△0kxy++xk0M△y例7-1

一個具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A)。第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個死區(qū)繼電器特性和一個典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為2．非線性特性的串聯(lián)計算必須首先求出這兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。x(t)N1y(t)N2z(t)第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天120x

y例7-2

求圖所示兩個非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=2第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天120x

yk=2第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天等效為一個死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個具有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度

1=1及

2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述函數(shù)，一個非線性環(huán)節(jié)就可看作一個線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進行分析. 7.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)這種利用描述函數(shù)對非線性系統(tǒng)進行分析的方法稱為描述函數(shù)法，這種方法只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足上節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性G(jω)表示。第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為或式中

1/N(A)叫做非線性特性的負倒描述函數(shù)(負倒特性曲線)。由結(jié)構(gòu)圖可以得到線性化后的閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天對比在線性系統(tǒng)分析中應(yīng)用奈氏判據(jù)，當滿足G(j

)=

1時，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。顯然，

1/N(A)相當于線性系統(tǒng)中的(

1,j0)點。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是(

1,j0)。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是

1/N(A)曲線。綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法：首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極坐標圖上分別畫出線性部分的G(j

)曲線和非線性部分的

1/N(A)曲線，并假設(shè)G(s)的極點均在s左半平面，則第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

(1)若G(s)曲線不包圍

1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)若G(s)曲線包圍

1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。G(j

)0Im-1/N(A)ReG(j

)0ImRe-1/N(A)第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天G(j

)0ImRe-1/N(A)M2M1(3)若G(s)曲線與

1/N(A)曲線相交，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為自振蕩。第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

例7-補具有死區(qū)繼電器特性非線性系統(tǒng)如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍。013r(t)=0c(t)第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天-1/N(A)解：死區(qū)繼電器特性的負倒描述函數(shù)為當A=1時，

1/N(A)=

∞當A=∞時，

1/N(A)=

∞。其極值發(fā)生在A=1.414處，此時，

1/N(A)=

/6。0ImReG(j

)M2M1第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天Im[G(j

)]=0，得G(j)曲線與負實軸交點處的頻率

=1.414。將

=1.414代入實部，得該交點為負實軸上-K/3這點。令解得第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.自振蕩的分析與計算下面從信號的角度分析自振蕩產(chǎn)生的條件。在圖示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為x(t)=Asin

t則非線性環(huán)節(jié)輸出信號基波分量為y1(t)=

N(A)

Asin[

t+

N(A)]而線性部分的輸出信號為c(t)=

G(j

)N(A)

Asin[

t+

G(j

)+

N(A)]根據(jù)系統(tǒng)中存在自振蕩的假設(shè)，r(t)=0，故x(t)=

c(t)即Asin

t=

G(j

)N(A)

Asin[

t+

G(j

)