八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊16.2二次根式的乘除(解析版)

16.2二次根式的乘除二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.注意：

(1).在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2).該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.題型1：二次根式的乘法1．（1）0.4×（2）1【答案】（1）解：0.4×（2）解：14【變式1-1】(1)5×7；(2)13×9；（3）【答案】(1)×=；(2)×==；

（3）5×920=5×【變式1-2】計(jì)算:（1）15（2）2（3）63（4）2a【答案】（1）解：原式=15×（2）解：原式=2×-3（3）解：原式=63×14×2（4）解：∵a≥0

∴原式=2a×8a=【變式1-3】計(jì)算：4ab【答案】2a2b2【解析】【解答】解：4ab3×12a【變式1-4】設(shè)2=a，10=b，用含a、b的式子表示20A．2a B．2b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)b【答案】D【解析】【解答】解：∵2=a∴20=故答案為：D．

【分析】根據(jù)20=2×積的算術(shù)平方根

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.注意：

(1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面.題型2：積的算術(shù)平方根2.化簡：（1）49×121；（2）25×169；（3）49×0.16；（4）24；（5）12a（6）0.04×9×0.64×324.【答案】（1）解：原式=49×（2）解：原式=25×（3）解：原式=49×（4）解：原式=4×6（5）解：原式=3×4a（6）解：原式=0.2×3×0.8×2×9=8.64【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可，因式積的算術(shù)平方根等于各因式算術(shù)平方根的積?！咀兪?-1】計(jì)算與化簡：（1）36×256（2）12【答案】（1）解：36×256=36×256=6×16=96（2）解：12x3二次根式的除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.。注意：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).題型3：二次根式的除法3.（1）31【答案】解：（1）解：原式=10（2）112÷【答案】解：原式＝32÷＝18＝32【解析】【分析】用二次根式的乘除法法則計(jì)算即可求解。即原式=32【變式3-1】計(jì)算（1）2÷4；（2）4÷2．【答案】（1）2÷4＝＝×2＝1；（2）4÷2＝＝2＝．【變式3-2】72÷2的結(jié)果是【答案】6【解析】【解答】解：72÷故答案是6．計(jì)算40÷5的結(jié)果是．【答案】2【解析】【解答】解：40÷故答案為22．計(jì)算：6a÷2a=．【答案】3【解析】【解答】解：原式=6a2a=故答案為：3【分析】根據(jù)二次根式的乘除法則計(jì)算，原式=6a÷2a=3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.注意：運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問題.題型4：商的算術(shù)平方根4.（2022八下·興仁月考）已知ab=ab，則實(shí)數(shù)aA．a(chǎn)≥0，b>0 B．a(chǎn)≥0，b≥0 C．a(chǎn)>0，b≥0 D．a(chǎn)>0，b>0【答案】A【解析】【解答】解：∵ab∴a≥0，故答案為：A.【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件結(jié)合分式有意義的條件進(jìn)行解答.【變式4-1】（2022八下·黃岡月考）如果ab>0，a+b<0，那么下面各式：①ab=ab，②aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】【解答】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0，a∴①ab=a②ab×b③ab÷ab故答案為：B.【分析】由ab＞0，a＋b＜0，可得a＜0，b＜0，再分別將①、②、③的二次根式進(jìn)行化簡，即可得到正確選項(xiàng).【變式4-2】（2021八下·召陵期末）使x-2x-3A．x≠3 B．x>3C．x≥2且x≠3 D．x≥3【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：x-2≥0x-3>0解得：x>3.故答案為：B.【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0列出不等式組，解不等式組即可.最簡二次根式與分母有理化

（1）被開方數(shù)不含有分母，分母里不含根式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡二次根式.注意：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.題型5:最簡二次根式5.（2022八下·潛山期末）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A．24 B．13 C．27 D．4【答案】B【解析】【解答】解：A、24=2B、13是最簡二次根式，故符合題意；C、27=3D、43故答案為：B．

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可。【變式5-1】下列根式中，不能再化簡的二次根式是（）A．12 B．x2y C．8x【答案】D【解析】【解答】解：A、被開方數(shù)含分母，故A錯(cuò)誤；B、含開的盡的因數(shù)或因式，故B錯(cuò)誤；C、含開的盡的因數(shù)或因式，故C錯(cuò)誤；D、被開方數(shù)不含分母，不含開的盡的因數(shù)或因式，故D正確；故選：D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母，不含開的盡的因數(shù)或因式，可得答案．【變式5-2】在，，，中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A.＝2，故A不符合題意；B.是最簡二次根式，故B符合題意；C．＝，故C不符合題意；D.＝，故D不符合題意；故選：B．【變式5-3】若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根據(jù)題意得到兩個(gè)二次根式是同類二次根式，列出方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．【解答】解：∵最簡二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a(bǔ)＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故選：D．題型6：二次根式的化簡6.化簡的結(jié)果是（）A．- B．- C．- D．-【答案】C【解析】解答：原式=－=－=－=－，故選C分析：利用有效的方法正確將二次根式化簡成最簡二次根式，方法基本有?、完全平方數(shù)或完全平方式的正確開方；?、分母有理化【變式6-1】（2022八下·虎林期末）化簡二次根式b3A．baba B．-baba 【答案】A【解析】【解答】解：解：由題意得：b3∵a＜0，∴b3＜0，∴b＜0，∴b===b故答案為：A．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件證得b的取值范圍，再分母有理化即可解得。【變式6-2】分母有理化：＝．【分析】利用平方差公式將原式進(jìn)行分母有理化，從而進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：原式＝＝＝＝，故答案為：．【變式6-3】化簡：45【答案】45=3=4【解析】【分析】將題目的根式化簡為最簡二次根式，再將同類最簡二次根式進(jìn)行合并即可?！咀兪?-4】已知等式5-xx-3=5-x【答案】解：∵等式5-xx-3∴∴3<x≤5|x－6|＋(x-2)=6-x+x-2=4【解析】【分析】利用二次根式的除法法則，可得到關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集，可得到x的取值范圍，可得到x-6＜0，x-2＞0，再化簡絕對值，然后合并同類項(xiàng).題型7：二次根式乘除混合運(yùn)算7.計(jì)算：61【答案】解：原式=6×==-6【解析】【分析】將各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，然后根?jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算：36【答案】解：原式=6×30=65=310【解析】【分析】利用二次根式的乘除法計(jì)算即可?！咀兪?-1】計(jì)算：24×413÷【答案】解：24=4=4=8【解析】【分析】利用二次根式的乘除法則計(jì)算求解即可。計(jì)算:2【答案】解：2=4=32【解析】【分析】先化簡二次根式和將除法變成乘法，再相乘即可.【變式7-2】b【答案】解：原式=ba【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘除法則計(jì)算即可.計(jì)算：28÷12×18【答案】解：原式=42÷12×3=8×32=242．【解析】【分析】直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．題型8：把根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)8.若m＜0，n＞0，把代數(shù)式mn中的m移進(jìn)根號(hào)內(nèi)結(jié)果是（）A．m2n B．-m2n C．﹣【答案】C【解析】【解答】解：∵m＜0，∴mn=﹣m2故選C．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【變式8-1】把中根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是．【答案】－【解析】【解答】由題意a<0，所以<0，所以原式=－=－

【分析】能夠根據(jù)題意判斷代數(shù)式的正負(fù)，并正確選擇正負(fù)號(hào)，同時(shí)進(jìn)行因式的移進(jìn)移出，是充分考查學(xué)生對于二次根式的認(rèn)識(shí)程度的基本應(yīng)用【變式8-2】把(a－2)12-a根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)后，其結(jié)果是【答案】－2-a【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，2-a＞0

∴a＜2

∴原式=-2-a。

故答案為：-2-a。

【分析】根據(jù)二次函數(shù)有意義的條件，即可得到a的取值范圍，根據(jù)二次根式的性質(zhì)將根號(hào)外的因式移動(dòng)即可。22．題型9：二次根式的大小比較9.二次根式25，25，2A．25<25<25 B．25C．25<25<25 D．25【答案】C【解析】【解答】解：25=2×55×5=105；

2【變式9-1】比較大小.5665；12-【答案】＜；＞【解析】【解答】解：∵56=150，65=180，

∴56＜65，

∵12-3=2+32-3【變式9-2】（2022八下·浙江月考）設(shè)a=613，b=12-A．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【答案】B【解析】【解答】解：a=613=23，b=12-3=2+3，

∵2+3>23>3一、單選題1．（2022八下·黃山期末）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A．12 B．23 C．2 D．【答案】C【解析】【解答】解：A、12=23，則12的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、23=63，則C、2是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D、x2=|x|，則故答案為：C．

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可。2．（2020八下·蜀山期末）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A．0.5 B．2 C．9 D．12【答案】B【解析】【解答】解：A.0.5=B.被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B符合題意；C.9=3D.12=2故答案為：B．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判定即可。3．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A．12x B．x-9 C．a(chǎn)+bb D．【答案】B【解析】【解答】解：A、不符合上述條件②，即12x＝23x，故不是最簡二次根式；B、符合上述條件，故是最簡二次根式；C、不符合上述條件①，即a+bb＝aD、不符合上述條件②，即5x2y故答案為：B．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可。4．（2022八上·奉賢期中）在式子4，0.5，12A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【解答】4=212故答案為：B．

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可。5．（2022·舟山九上月考）下列式子中，是最簡二次根式的是（）A．15 B．25 C．45 D．50【答案】A【解析】【解答】解：A、15是最簡二次根式，故A符合題意；

B、25=5，25不是最簡二次根式，故B不符合題意；

C、45=35，45不是最簡二次根式，故C不符合題意；

D、50=52，506．（2020八下·曾都期末）下列等式成立的是（）A．-5(-25C．24÷6=4【答案】A【解析】【解答】解：A、-5(-B、(-72C、24÷D、45故答案為：A.【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則及二次根式的性質(zhì)計(jì)算得出答案.7．（2020八上·福田期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n<65<n+1，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，64＜65＜81

∴8＜65＜9

∵n為正整數(shù)

∴n=8故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。二、填空題8．（2022八上·嘉定期中）12×3【答案】6【解析】【解答】解：原式=23×3=6．故答案為6．

【分析】利用二次根式的乘法運(yùn)算計(jì)算方法求解即可。9．（2020八下·安慶期中）下列二次根式中：①24；②227；③14；④13，是最簡二次根式的是【答案】③【解析】【解答】①24不是最簡二次根式，②227不是最簡二次根式，③14是最簡二次根式，④13所以，是最簡二次根式的是14．故答案為：③．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義分別進(jìn)行判斷即可得解．10．（2020八上·密山期末）在①14；②a2+b2；③27；④【答案】3個(gè)【解析】【解答】解：最簡二次根式有①14；②a2+b2故答案為：3．【分析】如果一個(gè)二次根式符合下列兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。根據(jù)最簡二次根式的定義一一判斷即可。11．（2021九上·秦安期中）13+1化簡得【答案】3【解析】【解答】解：13故答案為：3-1【分析】給分子、分母同時(shí)乘以3-1，然后利用平方差公式對分母進(jìn)行計(jì)算即可.12．（2022九上·清水月考）若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+【答