平頂高斯-超高斯-高階高斯

山東大學(xué)信息學(xué)院王云征平頂高斯、超高斯、高階高斯函數(shù)的基礎(chǔ)知識 高斯函數(shù)是高等教育中一個(gè)比較重要的函數(shù)，在概率統(tǒng)計(jì)、光學(xué)等眾多學(xué)科中都有它的身影。它的函數(shù)形式為，在不同學(xué)科中具體表示會略有不同，比如描述光束的振幅時(shí)函數(shù)與上式相同，描述光強(qiáng)時(shí)。本文將介紹高斯函數(shù)的基本概念以及常見的高階高斯、超高斯和平頂高斯的具體定義等。這些函數(shù)在激光理論和強(qiáng)激光理論中有著重要的作用，高斯函數(shù)是諧振腔的本質(zhì)模式，基模和高階?？梢苑謩e有高斯和高階高斯函數(shù)描述；在強(qiáng)激光的應(yīng)用中常要求光斑要均勻，可以用超高斯或平頂高斯函數(shù)描述。1高斯函數(shù)及其擴(kuò)展函數(shù)1.1高斯函數(shù) （1）一般形式：將最大幅度定為1,即a=1，則。其圖像如下（2）一個(gè)具有高斯型空間分布的脈沖，強(qiáng)度分布為圖像為（3）一個(gè)時(shí)間上具有高斯分布的脈沖，函數(shù)形式，圖像為1.2高階高斯函數(shù) 高階高斯函數(shù)有很多種分類，常見的就有高階貝塞爾高斯函數(shù)、高階拉蓋爾高斯函數(shù)、高階厄米高斯函數(shù)、高階橢圓高斯函數(shù)（包括高階橢圓厄米高斯函數(shù)、高階橢圓拉蓋爾高斯函數(shù)）等等，現(xiàn)就這幾類分別說明。 （1）高階貝塞爾高斯函數(shù)形式：其中是第一類高階貝塞爾函數(shù)，m為階數(shù)，w為光束束腰寬度。m=0,1,2,3時(shí)的貝塞爾函數(shù)曲線為：m=0,1,2,3時(shí)的高階貝塞爾高斯函數(shù)曲線為：具有這種形式的空間分布的光束橫截面圖像為：（2）高階厄米高斯光束：是方形鏡共焦腔的本征函數(shù)厄米多項(xiàng)式，p為階數(shù)。p=0,1,2,3,4,5的厄米多項(xiàng)式的圖像為：所以高階厄米高斯光束xy兩個(gè)方向同時(shí)考慮的函數(shù)形式為：，其中分別為m，n階厄米函數(shù)，w為束腰寬度。則幾個(gè)低階橫模的光強(qiáng)分布圖像為：（3）高階拉蓋爾高斯函數(shù)：圓形鏡共焦腔的本征函數(shù)拉蓋爾多項(xiàng)式，其中n為階數(shù)拉蓋爾多項(xiàng)式也可以寫成：前幾階拉蓋爾多項(xiàng)式的圖像為：締合拉蓋爾函數(shù)，其中n為階數(shù)締合拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推公式為：高階締合拉蓋爾高斯光束xy兩個(gè)方向同時(shí)考慮的函數(shù)形式為：，其中分別為m，n階拉蓋爾函數(shù)，w為束腰寬度，為相位角。則幾個(gè)低階橫模的光場分布圖像為：（這里取得是光場E的實(shí)部）（2）高階橢圓高斯光束：一般的橢圓高斯光束復(fù)振幅可形式為：其中k為波矢，，E0為常數(shù)。為復(fù)曲率張量，。而三維不可分離變量的p階橢圓高斯光束為：，p=0,1,2,…其中為p階厄米多項(xiàng)式。p=0時(shí)約化為一般的橢圓高斯函數(shù)。p=0,1,2,3,4,5階時(shí)的平面圖像為：總結(jié)：從橫截面圖中的可以看出橢圓型的高斯光束，其光斑不在是圓形而是橢圓形，并且在傳輸過程中光強(qiáng)分布會發(fā)生旋轉(zhuǎn)。只要將圓形的高斯光束復(fù)振幅中的換成，即，就可以變成橢圓型的這種高斯光束。比如高階橢圓貝塞爾高斯光束、高階橢圓厄米高斯光束、高階橢圓拉蓋爾高斯光束。所以本小節(jié)其實(shí)是以高階橢圓厄米高斯光束為例進(jìn)行介紹高階橢圓高斯光束的。1.3超高斯函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，超高斯函數(shù)的形式：，N為階數(shù)，當(dāng)N=2時(shí)約化為高斯函數(shù)。N=2,4,6,8時(shí)的函數(shù)圖像為：具有超高斯形式分布的光束橫截面圖就可想而知了。1.4平頂高斯函數(shù)（1）平頂高斯光束的原始形式：N稱為階數(shù)。當(dāng)N=2時(shí)，圖像為：一個(gè)具有平頂高斯時(shí)間分布的脈沖其時(shí)域圖形與上圖類似，只是橫坐標(biāo)改成時(shí)間t。一個(gè)具有平頂高斯空間分布（x,y對稱分布，階數(shù)相同）的脈沖其空域圖像如下：通過其橫截面圖可以看出，平頂高斯光束的光斑中心的強(qiáng)度近似比較均勻。（2）平頂高斯函數(shù)改進(jìn)形式：當(dāng)N=2時(shí)，圖像為函數(shù)圖像與原始型類似，具有該種函數(shù)分布的空間或時(shí)間脈沖的圖像與原始型也類似（3）平頂高斯函數(shù)原始型與改進(jìn)型的區(qū)別下圖將給出N=0,4,16時(shí)原始型與改進(jìn)型的圖像從圖中可以看出，改進(jìn)型的平頂高斯函數(shù)的束寬隨N的變化不大，且N=0時(shí)退化為高斯函數(shù)，所以應(yīng)用較多。（4）平頂高斯光束的束寬用二階矩定義定義：，這種定義使平頂高斯光束的傳輸滿足ABCD定律1.5平頂多高斯函數(shù) 在直角坐標(biāo)系中，平