高考數(shù)學(xué)（文）課時(shí)作業(yè)（二十二）第22講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

課時(shí)作業(yè)(二十二)第22講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用時(shí)間/45分鐘分值/100分基礎(chǔ)熱身1.在相距2km的A,B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為 ()A.6km B.2kmC.3km D.2km2.一艘船向正北方向航行,在位置B處看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見一燈塔在船的南偏西60°方向上,另一燈塔在船的南偏西75°方向上,則這艘船的速度是 ()A.5海里/時(shí) B.53海里/時(shí)C.10海里/時(shí) D.103海里/時(shí)3.如圖K221,從地面上C,D兩點(diǎn)望山頂A,測得的仰角分別為45°和30°,已知CD=100m,點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于 ()圖K221A.50(3+1)m B.503mC.502m D.100m4.在直徑為30m的圓形廣場中央上空,設(shè)置一個(gè)照明光源,射向地面的光呈圓錐形,且其軸截面頂角為120°,若要光源恰好照亮整個(gè)廣場,則光源的高度為m.

圖K2225.如圖K222,一條河的兩岸平行,河的寬度d=0.6km,一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1km,水的流速為2km/h,若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6min,則客船在靜水中的速度為km/h.

能力提升6.如圖K223,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()圖K223A.30° B.45° C.60° D.75°7.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是 ()A.102海里 B.103海里C.203海里 D.202海里8.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是 ()A.50m B.100m C.120m D.150m圖K2249.如圖K224,D,C,B三點(diǎn)在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別是β,α(α<β),則A點(diǎn)離地面的高度AB等于 ()A.asinB.aC.asinD.acos圖K22510.如圖K225所示,A,B兩點(diǎn)在一條河的兩岸,測量者在A的同側(cè),且B點(diǎn)不可到達(dá),要測出AB的距離,在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C,若測出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為m.

圖K22611.如圖K226,航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10000m,速度為50m/s.某一時(shí)刻駕駛員從飛機(jī)上看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420s后駕駛員看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹閙.(取2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4)

圖K22712.如圖K227,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在北偏西60°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在北偏西15°的方向上,此時(shí)的仰角為30°,則此山的高度CD=m.

13.(15分)某航模興趣小組的同學(xué),為了測定在湖面上航模航行的速度,采用如下辦法:在岸邊設(shè)置兩個(gè)觀察點(diǎn)A,B,且AB長為80m,當(dāng)航模在C處時(shí),測得∠ABC=105°,∠BAC=30°,經(jīng)過20s后,航模直線航行到D處,測得∠BAD=90°,∠ABD=45°.假設(shè)A,B,C,D在同一水平面上,請(qǐng)你根據(jù)以上條件求出航模的速度.(答案保留根號(hào))圖K22814.(15分)如圖K229所示,某高速公路CE旁邊B處有一棟樓房,某人在距地面100m的32樓陽臺(tái)A處,用望遠(yuǎn)鏡觀測路上的車輛,上午11時(shí)測得一客車位于樓房北偏東15°方向上且俯角為30°的C處,10s后測得該客車位于樓房北偏西75°方向上且俯角為45°的D處.(假設(shè)客車勻速行駛)(1)如果此高速路段限速80km/h,試問該客車是否超速?(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后,客車到達(dá)樓房的正西方向E處,問此時(shí)客車距離樓房多遠(yuǎn)?圖K229難點(diǎn)突破圖K221015.(5分)如圖K2210所示,據(jù)氣象部門預(yù)報(bào),在距離碼頭O南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng),距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為 ()A.14h B.15hC.16h D.7.5h圖K221116.(5分)如圖K2211所示,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值是.(人的高度忽略不記)

課時(shí)作業(yè)(二十二)1.A[解析]如圖,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,所以ACsin60°=2sin45°,所以AC=22×32=6(km).2.C[解析]設(shè)兩個(gè)燈塔的位置為C,D,船半小時(shí)后到達(dá)A處,如圖所示.依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10,在Rt△ABC中,得AB=5,于是這艘船的速度是50.5=10(海里/時(shí)).故選C3.A[解析]設(shè)AB=xm,則由題意知,∠D=30°,∠ACB=45°.在Rt△ABC中,BC=AB=xm.在Rt△ADB中,DB=CD+BC=(100+x)m,DB=3AB,即100+x=3x,解得x=50(3+1).故選A.4.53[解析]軸截面如圖,則光源的高度h=15tan60°=53(m)5.62[解析]設(shè)AB與河岸線所成的角為θ,客船在靜水中的速度為vkm/h.由題意知,sinθ=0.61=35,從而cosθ=45,由余弦定理得110v2=110×22+122×110×26.B[解析]依題意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=A=(305)2+(2010又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.7.A[解析]如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=1028.A[解析]設(shè)水柱的高度是hm,水柱底端為C,頂端為D.在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AC=CD=hm.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴BC=3hm.在△ABC中,∠BAC=60°,AC=hm,AB=100m,根據(jù)余弦定理得,(3h)2=h2+10022·h·100·cos60°,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,∴h=50,故水柱的高度是50m.9.A[解析]因?yàn)镈C=DBCB=ABtanαABtanβ,所以a=ABtanαABtanβ,所以AB=10.206[解析]∠ABC=180°75°45°=60°,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin45°=60sin60°,所以AB=60×sin45°sin60°=206(11.2650[解析]如圖,設(shè)A,B分別為飛機(jī)在某時(shí)刻和420s后的位置,C為山頂,作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D.由題意知,∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,BCsinA=ABsin∠ACB,所以BC=2100012×sin15°=10500(62)(m).因?yàn)镃D⊥AD,所以CD=BCsin∠DBC=10500(62)×22≈7350(m).故山頂?shù)暮０胃叨葹?000012.1006[解析]在△ABC中,AB=600m,∠BAC=30°,∠ACB=75°30°=45°,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BCsin30°=600sin45°,所以BC=3002m.在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=3002·tan30°=1006(m),13.解:在△ABD中,因?yàn)椤螧AD=90°,∠ABD=45°,所以∠ADB=45°,所以AD=AB=80m,所以BD=802m.在△ABC中,∠BCA=180°105°30°=45°,由正弦定理得BCsin30°=AB所以BC=ABsin30°sin45°=80×1222=在△DBC中,由題知∠CBD=60°,由余弦定理得DC2=DB2+BC22DB·BCcos60°=(802)2+(402)22×802×402×12=9600(m)所以DC=406m,航模的速度v=40620=26(m/s故航模的速度為26m/s.14.解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100m,則BC=1003m.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,所以BD=100m.在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,則DC=BD2+BC所以客車的速度v=CD10=20m/s=72km/h,所以該客車沒有超速(2)由(1)易知在Rt△BCD中,∠BCD=30°,又因?yàn)椤螪BE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知EBsin30°=BC所以EB=BCsin30°sin45°=506(即此時(shí)客車距離樓房506m.15.B[解析]記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根據(jù)余弦定理得OB2=6002+400t22×600×20t×22.令OB