第3.2.1講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019）

第三章函數(shù)的概念和性質(zhì)第3.2.1講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲狄?、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解函數(shù)單調(diào)性的含義，掌握利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)．2．能夠利用定義或圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．3.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．4．了解直線的斜率概念，掌握函數(shù)的平均變化率概念并能簡單應(yīng)用，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．二、核心知識增函數(shù)、減函數(shù)的定義1．根據(jù)下面的圖像探究下列問題．(1)圖①中任取x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系如何？圖②呢？(2)圖①，圖②分別反映了函數(shù)的什么性質(zhì)？(3)若函數(shù)y＝f(x)在I上是增函數(shù)，I1?I，則y＝f(x)在I1上是什么函數(shù)？提示：(1)由圖①可知函數(shù)y＝f(x)圖像隨x的增大而“上升”，即x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)．圖②中函數(shù)y＝f(x)圖像隨x的增大而“下降”，即x1＜x2時，f(x1)＞f(x2)．(2)圖①②反映了函數(shù)的單調(diào)性，其中圖①對應(yīng)的函數(shù)為增函數(shù)；圖②對應(yīng)的函數(shù)為減函數(shù)．(3)增函數(shù)．2．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，I?D，任意x1，x2∈I且x1≠x2都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＞0，你能說f(x)在I上一定是增函數(shù)嗎？提示：能．因?yàn)楫?dāng)x2＞x1時都有f(x2)＞f(x1)；當(dāng)x2＜x1時都有f(x2)＜f(x1)．一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且I?D：(1)如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)．(2)如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在M上單調(diào)遞減).函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間1．單調(diào)函數(shù)一定有單調(diào)區(qū)間嗎？提示：不一定．有些函數(shù)沒有單調(diào)區(qū)間或者它的定義域根本就不是區(qū)間．如y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}．2．“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為I”與“函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)”的意義相同嗎？區(qū)別是什么？提示：意義不同．單調(diào)區(qū)間是一個整體概念，說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I.而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．所以我們在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義．知識點(diǎn)三函數(shù)的最大(小)值1.觀察函數(shù)f(x)＝x2－1的圖像，你能說出該函數(shù)的最小值嗎？并說明理由．提示：該函數(shù)的最小值為－1.因?yàn)閷θ我獾膞，都有f(x)≥f(0)＝－1.2．不等式x2＞－1一定成立嗎？－1是不是函數(shù)f(x)＝x2的最小值？提示：不等式x2＞－1一定成立．－1不是函數(shù)f(x)＝x2的最小值，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)x使x2＝－1.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)(記作fmax＝f(x0))，而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn)；如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)(記作fmin＝f(x0))，而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn)．最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)．eq\a\vs4\al([點(diǎn)睛])最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的所有元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立．三、核心例題題型1利用函數(shù)圖像確定單調(diào)區(qū)間1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A．是函數(shù)的增區(qū)間 B．是函數(shù)的減區(qū)間C．函數(shù)在上是增函數(shù) D．函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像可知函數(shù)在上遞增，在上遞減，故A，B正確；函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但區(qū)間和不是連續(xù)區(qū)間，并且由圖象可知，因此不能說函數(shù)在上是增函數(shù)，C錯誤；由于函數(shù)在時有定義，由圖象可知，則為函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間，故函數(shù)在上是減函數(shù)，D正確，故選：C2．函數(shù)，的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)圖像易得單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.3．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題圖知：在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B題型2用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性4．設(shè)函數(shù)滿足：對任意的都有，則與大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)時；當(dāng)時；所以函數(shù)在實(shí)數(shù)上單調(diào)遞增，又，所以.故選：A5．下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)在上是增函數(shù)，故D不正確.故選：B．6．下列函數(shù)在上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)；在上是減函數(shù)；，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).故選：C.題型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用7．若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】開口向上，對稱軸為，要想在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則.故選：D8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，解得：，故選：C.9．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】畫出的圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知在上遞增，由得，解得.故選：B題型4圖像法求函數(shù)的最值10．函數(shù)f（x）在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．，2【答案】C【詳解】根據(jù)圖象觀察知，故選：11．函數(shù)在上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A．3，0 B．3，1C．3，無最小值 D．3，2【答案】C【詳解】由圖可知，在上的最大值為3，最小值取不到.故選：C12．若函數(shù)，的圖象如圖所示，則該函數(shù)的最大值、最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【詳解】由題圖可得，函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理，最小值對應(yīng).故選：C題型5利用單調(diào)性求函數(shù)的最值13．已知函數(shù)，則在上的最大值為（

）A．9 B．8 C．3 D．【答案】A【詳解】函數(shù)的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：A.14．已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】在單調(diào)遞減，.故選：C.15．關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【詳解】因?yàn)橛幸饬x，所以，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤，D正確；在上有最大值4，最小值故的值域?yàn)?，故A、C錯誤.故選：D.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，函數(shù)在上不單調(diào)，D不是.故選：B2．函數(shù)的值域是（）A．R B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域是．故選：B3．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，由此畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A4．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的對稱軸為，若在上單調(diào)遞增，則，解得，若在上單調(diào)遞減，則，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.5．已知，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，即.故選：B.6．對于反比例函數(shù)，如果當(dāng)時有最大值，則當(dāng)時，有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】A【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，由題意可知，當(dāng)時，，得，不成立，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，由當(dāng)時有最大值，得時，.，反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時，當(dāng)時，最小值，無最大值.故選：A.7．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．[0,1） B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，可得，且開口向上，對稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，可知當(dāng)時，取到最小值2，所以的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)?故選：D.8．已知不等式的解集為，則二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值之和為（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【詳解】由題不等式的解集是，所以是方程的兩根，，解得，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以二次函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值之和為.故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，在上的最小值為；當(dāng)時，在上的最小值為；當(dāng)時，在上的最小值為.故選：ABC10．已知，則（

）A．最小值 B．最大值為C．無最小值 D．無最大值【答案】AD【詳解】根據(jù)題意函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)圖象如下：根據(jù)可知，取的是兩函數(shù)圖象在上的部分，如上圖中的粗直實(shí)線以及其兩側(cè)的向上的拋物線；由圖可知有最小值，無最大值，BC錯誤，D正確；且最小值的橫坐標(biāo)是方程的正實(shí)根，即，所以最小值為，即可知A正確.故選：AD三、填空題11．已知在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】由在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，有解得，則的取值范圍為.故答案為:.12．函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻坑蓪春瘮?shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?、解答題13．證明：定義在R上的函數(shù)是增函數(shù)．【詳解】證明：設(shè)和是任意兩個實(shí)數(shù)，且，則．于是．由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)是R上的增函數(shù)．14．已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值．【詳解】∴y在上單調(diào)遞減，y在上單調(diào)遞增．∴＝12－2×1＋2＝1，＝(－5)2－2×(－5)＋2＝37.15．已知(1)函數(shù)