有限元法解圓柱繞流報告

有限元法解圓柱繞流計算流體力學期末大作業(yè)工學院熊思009860802012/6/3

【摘要】 有限元法是求解計算流體力學問題的重要方法。用有限元法求解具體問題時，首先需要將求解區(qū)域進行離散化，即將求解區(qū)域劃分為許多幾何形狀簡單規(guī)那么的單元，在二維一般是三角形或四邊形，在三維是四面體或六面體。然后，在每個單元內，用一個比擬簡單的解析函數(shù)來逼近微分方程的解，此函數(shù)在單元內用一組選定的單元基函數(shù)的線性組合表示，而其中的系數(shù)通常是節(jié)點參數(shù)，它是待定的。這樣，每個單元只要有適當數(shù)量的節(jié)點參數(shù)值，就可以滿足對插值函數(shù)的光滑性和精度的要求。第三，在滿足微分方程和相應的初邊值條件下，對全部子域進行積分。對每個單元分別進行積分，形成“單元方程”，通過總體合成，得到總體有限元方程組。最后，用適當?shù)姆椒ń夥匠探M，可得節(jié)點參數(shù)值，進而可求得各單元內的近似解。本文將以圓柱繞流問題為例，展示有限元法求解的一般步驟。一.有限元法概述有限元法〔finiteelementmethod〕是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為根底開展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中,這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系。有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次應用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題?，F(xiàn)代有限單元法的第一個成功的嘗試是在1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣應用于彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的成效。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余量法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程。具體而言，參考差分法中網格化的做法，把求解區(qū)域劃分為有限多子區(qū)域，稱這些子區(qū)域為單元，在每個單元上構造解的近似分布，將Ritz法或加權余量法應用到分塊的逼近函數(shù)上。因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。實質上，有限元法就是Ritz法或加權余量法。二．問題描述 考慮位于兩塊無限長平板間的圓柱體的平面繞流問題，幾何尺寸如下列圖所示，來流為vx=1,vy把它作為有限元的求解區(qū)域Ω。要求求解出整個區(qū)域中的流函數(shù)、vx、三．提出物理問題的邊界條件和滿足的微分方程1.邊界ab為流線，取ψ=0，?2.邊界bc也為流線，同樣取ψ=0，?3.邊界cd，切向速度vτ=0，?ψ?n4.邊界de為流線,滿足ψ于是在ed上，ψ=2，?5.進口邊界ae上，ψ=ψa+a也可以提自然邊界條件?ψ我們以流函數(shù)ψ作為未知函數(shù)來解此問題，流函數(shù)所滿足的微分方程如下：?2ψ=0此處Γ1指ab,bc,de和ae四段邊界，而Γ2就是就是cd段邊界，且切向速度v四．有限元法解圓柱繞流問題1．建立有限元積分表達式根據求解問題的根本控制方程，應用變分法或加權余量法將求解的微分方程定解問題化為等價的積分表達式，作為有限元法求解問題的出發(fā)方程式。對于方程〔1〕，它是一橢圓型方程，具有正定性，可以用變分法，這里直接給出泛函J令其變分δJ=0，可以得到Ω自然邊界條件已經包含在變分表達式中(其名稱的由來)，而本質邊界條件必須強制ψ滿足(因此稱其為本質邊界條件，也稱為強制邊界條件)。如果根據原微分方程中無法給出泛函J，那么可以用Galerkin加權余量方法得到積分方程，這相當于將原來的微分方程寫為如下變分形式：Ω這里的δψ是函數(shù)ψ的改變量，是一種“虛位移”，在本質邊界條件Γ1上為零。因此，上式做分部積分后，邊界積分僅剩下Ω即〔3〕式?？梢?，如果ψ滿足原來的微分方程和邊界條件，那么，必然有ψ滿足(4)式，進而滿足(5)式。注意，在(5)式中，包含的邊界Γ2上的邊界條件信息，對邊界Γ1的局部，僅知道它是給定了函數(shù)值的邊界，卻不知道邊界上的值是多少，為了確定這些值，還需要額外的處理方法。正是因為Γ2上的邊界信息可以包含在積分表達式中，這種邊界條件也稱為自然邊界條件。2．區(qū)域剖分根據物理問題的特點以及區(qū)域的形狀，把計算區(qū)域分成許多幾何形狀規(guī)那么但大小可以不同的單元，確定單元節(jié)點的數(shù)目和位置，建立表示網格的數(shù)據結構。采用的單元形狀和節(jié)點的分布，以及插值函數(shù)的選取還應考慮到計算精度和可微性的要求。在此題中，網格〔區(qū)域剖分〕局部已由GRID.DAT文件給出。具體而言，網格將求解區(qū)域分為545個節(jié)點和997個單元。文件前半局部給出每個節(jié)點的橫縱坐標，后半局部給出每個單元對應的三個節(jié)點的序號。除此之外，單元剖分還應該建立本質邊界條件和自然邊界條件的節(jié)點表。自然邊界條件對解此題并無奉獻〔原因在下文會進行說明〕，由網格表特征可知，此題的本質邊界條件為abc段上〔節(jié)點1-37〕，psi為零；de段上〔節(jié)點46-75〕，psi為2；ea段上〔節(jié)點76-91〕，psi為縱坐標y。單元剖分實質上就是建立這幾個對應關系。3.單元分析單元分析的目的是建立有限元方程。把有限元積分表達式(3)寫為各個單元求和的形式e=1這里Ω（e）Ω其中Γ（e）表示單元e的邊界，上式實質上并不是一個等式，只具有形式上的意義，當對所有的單元求和以后，才是等式。如果把線積分中的Γ2∩Γ(e)換為Γ(e)，那么得到的是等式，但在對所有單元求和時，內部邊界的線積分剛好抵消，因此(7)也可以理解為不計內部邊界奉獻 流函數(shù)ψ在單元e內可用如下函數(shù)近似：ψ=這里ψi(i=1,2,3)為節(jié)點流函數(shù)值，Ni為節(jié)點上的插值函數(shù)，上式中重復下標表示約定求和。將(8)代入(7Ω由于δψΩ此即單元方程，通?？梢院唽憺锳采用三節(jié)點三角形單元時，單元的插值基函數(shù)為N如果單元e三個點坐標為〔xie,yiN即插值基函數(shù)Ni在xie點取1，在xjexke對某一固定的單元e，將〔11〕式代入〔10〕中，可以得到：A此即采用線性單元時的單元方程系數(shù)矩陣。其中A(e)為三角形〔積分區(qū)域〕的面積，bc的值可由〔12〕〔13〕A求解單元系數(shù)矩陣時，一般同時進行總體合成，每形成一個單元方程，便把它累加到總體方程中。出于順序和邏輯上的考慮，下一步再詳細說明總體合成的方法。對于邊界積分項，我們假設三角形單元e中序號為，的節(jié)點在邊界上，為自然邊界，其長度為l。首先，注意到插值函數(shù)在邊上是零。所以，可以得到如下結論：圖：自然邊界條件的處理 右端項：。 為了計算和，以點為原點，沿直線建立局部坐標系，在此坐標系中，插值函數(shù)和如上圖所示，可寫成線性插值函數(shù)如下： 假設切向速度在兩節(jié)點處的值分別為和，并且沿邊界是線性分布的，可以表示為。于是可以得到。對于前面討論的圓柱繞流問題，由于，所以，根據線性解的性質，必有f無需考慮f的影響，使程序得到了不少的簡化。4.總體合成總體合成的過程就是把已經形成好的單元方程按一定順序迭加起來，形成總體有限元方程。具體做法是根據單元內節(jié)點的總體順序號，把單元方程進行延拓，未知量包含所有節(jié)點上的函數(shù)值，與此單元無關的位置以零填充，把所有的單元方程都進行延拓以后，進行系數(shù)矩陣的累加，便得到總體方程。理論上說，這一過程也可以通過引入一個Boole型矩陣來實現(xiàn)，定義單元e的boole矩陣,i=1,2,3;j=1,2,3…Np.矩陣B其實就是單元節(jié)點序號表的又一表達形式。單元e的系數(shù)矩陣以及右端項沿拓后就是：進而總體合成的過程可以表示為，。但是這種方法比擬麻煩，要重新定義新的矩陣Ｂ，而且還要涉及計算矩陣轉置和矩陣相乘等運算，一方面計算量較大，并且浪費空間，另一方面人為地增加了程序的復雜性，降低了程序的可讀性。因此，這種方法一般只用作理論分析。實際的計算中，每當計算出一個單元系數(shù)矩陣Aij(e)，假設單元e三個節(jié)點編號分別為i,j,k，那么將Aij(e)中的1*1項放入大矩陣(借鑒結構力學的概念，不妨稱其為總體“剛度”矩陣，下同)A的i*i項中，將1*2,1*3分別放入總體剛度矩陣A的i*j,i*k項中。同理，2*1,2*2，2*3,3*1,3*2,3*3項分別對應總體剛度矩陣A的j*i,j*j,j*k,k*i,k*j,k*k項中。采用此方法并未多占用計算機內存，運算量也并不大〔總共進行9*e次加法運算，不進行乘法運算〔5〕邊界條件處理 這里的邊界條件是指本質邊界條件，自然邊界條件已經包含在積分表達式中了。具體做法是將的值代入到方程組中，并把的值移到方程組的右段，形成右端項。〔6〕求解有限元方程組并計算相關物理量有限元方程組的求解是一個代數(shù)問題，應針對具體的問題采用適宜的方法求解。對于對角占優(yōu)的代數(shù)方程組，可以采用迭代法求解，規(guī)模不大的可以用Gauss消元法一類的直接法求解，三對角方程那么可以用追趕法。求出所有的待求量后，便得到了近似函數(shù)的表達式，并可以計算出相關的物理量。對計算結果進行綜合的分析，以期得到原問題的正確的物理解答。對于每個單元，速度可以根據vv來計算,節(jié)點上的速度值可取這個節(jié)點相鄰單元的速度值的平均。節(jié)點上的壓力值可以有伯努利方程計算。假設求解區(qū)域位于同一水平面內，介質密度ρ=1，來流壓力p=0，那么p=12五．具體算法實現(xiàn)(算法說明)1.建立有限元積分表達式 此局部不在算法中表達。2.區(qū)域剖分區(qū)域剖分的主要內容已由網格文件完成，我們讀入網格文件，并設置邊界條件即可。 從GRID.TXT中讀入所需根本信息：節(jié)點數(shù)、單元數(shù)、節(jié)點坐標、單元包含節(jié)點及其次序。為了從零開始編號，應將單元包含節(jié)點序號統(tǒng)一減一。并根據網格特征，將流函數(shù)psi賦初值：abc段上〔節(jié)點1-37〕，psi為零；de段上〔節(jié)點46-75〕，psi為2；ea段上〔節(jié)點76-91〕，psi為縱坐標y。3.單元分析與總體合成 按公式〔13〕求得單元i的插值基函數(shù)的系數(shù)b[i][s]c[i][s](s=1,2,3)和系數(shù)A(e)，求出bc進而求得Aij4.邊界條件處理 逐行處理。當行數(shù)(i>=0&&i<37)||(i>=45&&i<91)，即為本質邊界條件的行數(shù)時，直接將此行所有除ψ[i]對應的系數(shù)以外的其他系數(shù)全部置零，psi[i]的系數(shù)置為一，右端項置為ψ[i]的值。當行數(shù)不為本質邊界條件的行數(shù)時，通過f[i]=f[i]-a[i][j]*psi[j]求右端項，再將除ψ[i]對應的系數(shù)以外的其他系數(shù)全部置零。5.求解有限元方程組并計算相關物理量。 本算法采用LU分解進行求解。其中，double**LU(double**a,intm,double**l)為LU分解函數(shù)。**a即二維數(shù)組〔矩陣〕a的首地址,m為矩陣規(guī)模，此函數(shù)返回LU矩陣的首地址。double*SOVLELU(double**l,double*b,intm,double*x)解LU分解后的方程組。l為LU分解產生的矩陣，b為右端項，m為矩陣規(guī)模，x為解向量,返回解向量的首地址。使用這兩個函數(shù)即可求出所有節(jié)點處流函數(shù)ψ的值。單元速度的求解那么采用〔14〕〔15〕兩式，為了節(jié)省空間，不保存單元節(jié)點速度，每求出一個單元節(jié)點速度，立刻存入其包含的三個節(jié)點中。使用count計數(shù)，每存一次count加一。最后將每個節(jié)點的速度除以count，即取平均，得每個節(jié)點的速度。壓力使用伯努利方程較易得到，此處不加贅述。6.輸出。將結果〔節(jié)點坐標、xy方向速度、流函數(shù)ψ的值、壓強、單元包含節(jié)點數(shù)〕信息輸出到result111.txt中，并釋放所有空間?！矠楣?jié)約內存，局部空間已于之前釋放〕。更多詳細說明請參見源程序中的注釋局部。附源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>voidmain(){double**LU(double**a,intm,double**l);//LU分解函數(shù),**a即二維數(shù)組〔矩陣〕a的首地址,此函數(shù)返回LU矩陣的首地址，m為矩陣規(guī)模double*SOVLELU(double**l,double*b,intm,double*x);//解LU分解后的方程組，l為LU分解產生的矩陣，b為右端項，m為矩陣規(guī)模，x為解向量,返回解向量的首地址//voidL_U(double**A,double*f,intm);FILE*fp;//文件指針fp=fopen("GRID.txt","r");//將c\從GRID.txt中讀取數(shù)據intn,e;//n為節(jié)點個數(shù)，e為單元個數(shù)inti,j;fscanf(fp,"%d",&n);//從文件中讀入結點個數(shù)fscanf(fp,"%d",&e);//從文件中讀入單元個數(shù)double*x=newdouble[n];//x[i]即第i+1個節(jié)點的橫坐標double*y=newdouble[n];//y[i]即第i+1個節(jié)點的縱坐標double**l=newdouble*[n];//l即LU分解產生的中間矩陣for(i=0;i<n;i++)l[i]=newdouble[n];for(i=0;i<n;i++){fscanf(fp,"%lf",&x[i]);//從文件中讀入結點橫坐標fscanf(fp,"%lf",&y[i]);//從文件中讀入結點縱坐標}int*first=newint[e];//first[]即三角形單元對應的第一個節(jié)點編號(從一開始編號)int*second=newint[e];//second[]即三角形單元對應的第二個節(jié)點編號int*third=newint[e];//third[]即三角形單元對應的第三個節(jié)點編號for(i=0;i<e;i++){fscanf(fp,"%d",&first[i]);//從文件中讀入單元對應的第一個節(jié)點編號first[i]=first[i]-1;//減一使節(jié)點編號從零開始，便于后面的計算fscanf(fp,"%d",&second[i]);//從文件中讀入單元對應的第二個節(jié)點編號second[i]=second[i]-1;fscanf(fp,"%d",&third[i]);//從文件中讀入單元對應的第三個節(jié)點編號third[i]=third[i]-1;}fclose(fp);//至此網格文件讀入完畢double*psi=newdouble[n];//psi[]即節(jié)點上的流函數(shù)值,開始時將其置零for(i=0;i<n;i++)psi[i]=0;double**a=newdouble*[n];//a[][]即系數(shù)矩陣〔類似剛度矩陣〕,大小為n*n,并將其置零for(i=0;i<n;i++)a[i]=newdouble[n];for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)a[i][j]=0;double*f=newdouble[n];//f為方程右端項,將其置零for(i=0;i<n;i++)f[i]=0;//以下開始賦邊界條件,自然邊界條件在此題中可以不賦值〔為零，不影響后繼計算〕for(i=0;i<37;i++)psi[i]=0;//abc段上，psi為零for(i=45;i<75;i++)psi[i]=2;//de段上，psi為2for(i=75;i<91;i++)psi[i]=y[i];//ea段上，psi為縱坐標y//邊界條件賦值完畢double**b=newdouble*[e];for(i=0;i<e;i++)b[i]=newdouble[3];double**c=newdouble*[e];for(i=0;i<e;i++)c[i]=newdouble[3];doubled;//b[e][3],c[e][3]為單元插值函數(shù)N(x,y)=a+b*x+c*y的系數(shù),d為系數(shù)A〔e〕for(i=0;i<e;i++)//對每一個單元，求出系數(shù)矩陣并參加大的系數(shù)矩陣中{d=(x[second[i]]-x[first[i]])*(y[third[i]]-y[first[i]])-(y[second[i]]-y[first[i]])*(x[third[i]]-x[first[i]]);d=d/2;b[i][0]=(y[second[i]]-y[third[i]])/(2*d);b[i][1]=(y[third[i]]-y[first[i]])/(2*d);b[i][2]=(y[first[i]]-y[second[i]])/(2*d);c[i][0]=(x[third[i]]-x[second[i]])/(2*d);c[i][1]=(x[first[i]]-x[third[i]])/(2*d);c[i][2]=(x[second[i]]-x[first[i]])/(2*d);a[first[i]][first[i]]=a[first[i]][first[i]]+(b[i][0]*b[i][0]+c[i][0]*c[i][0])*d;a[first[i]][second[i]]=a[first[i]][second[i]]+(b[i][0]*b[i][1]+c[i][0]*c[i][1])*d;a[first[i]][third[i]]=a[first[i]][third[i]]+(b[i][0]*b[i][2]+c[i][0]*c[i][2])*d;a[second[i]][first[i]]=a[second[i]][first[i]]+(b[i][0]*b[i][1]+c[i][0]*c[i][1])*d;a[second[i]][second[i]]=a[second[i]][second[i]]+(b[i][1]*b[i][1]+c[i][1]*c[i][1])*d;a[second[i]][third[i]]=a[second[i]][third[i]]+(b[i][1]*b[i][2]+c[i][1]*c[i][2])*d;a[third[i]][first[i]]=a[third[i]][first[i]]+(b[i][0]*b[i][2]+c[i][0]*c[i][2])*d;a[third[i]][second[i]]=a[third[i]][second[i]]+(b[i][1]*b[i][2]+c[i][1]*c[i][2])*d;a[third[i]][third[i]]=a[third[i]][third[i]]+(b[i][2]*b[i][2]+c[i][2]*c[i][2])*d;}//至此左端剛度矩陣已經生成完畢，接下來根據本質邊界條件將其化簡，并生成化簡后的右端項ffor(i=0;i<n;i++){if((i>=0&&i<37)||(i>=45&&i<91)){for(j=0;j<n;j++){if(i!=j)a[i][j]=0;elsea[i][j]=1;}f[i]=psi[i];}else{for(j=0;j<n;j++){f[i]=f[i]-a[i][j]*psi[j];if((j>=0&&j<37)||(j>=45&&j<91))a[i][j]=0;}}//if(i>=0&&i<37)f[i]=0;//保證邊界條件的局部是精確的〔不會產生某個小數(shù)從而影響計算精度〕}//至此簡化完畢，化為一個對稱方程組下面開始用LU分解解此線性方程組l=LU(a,n,l);psi=SOVLELU(l,f,n,psi);//L_U(a,f,n);//for(i=0;i<n;i++)// psi[i]=f[i];//至此已解出流函數(shù)psi,釋放一批空間并且新開一批空間for(i=0;i<n;i++)delete[]l[i];//釋放LU分解的過渡矩陣delete[]l;for(i=0;i<n;i++)delete[]a[i];//釋放剛度矩陣delete[]a;delete[]f;//釋放右端項double*vx=newdouble[n];//vx[i]即第i+1個節(jié)點的x方向速度double*vy=newdouble[n];//vy[i]即第i+1個節(jié)點的y方向速度double*count=newdouble[n];//count[i]記錄計算速度時每個節(jié)點上速度加和的次數(shù)，以便之后取平均for(i=0;i<n;i++){vx[i]=0;vy[i]=0;count[i]=0;}//開始求流場中各節(jié)點的速度doublexx,yy;//xx,yy暫時儲存每個單元x方向與y方向的速度for(i=0;i<e;i++)//為節(jié)約空間，不儲存每個單元的速度，求出每個單元的速度后直接分配到節(jié)點上{xx=c[i][0]*psi[first[i]]+c[i][1]*psi[second[i]]+c[i][2]*psi[third[i]];yy=-b[i][0]*psi[first[i]]-b[i][1]*psi[second[i]]-b[i][2]*psi[third[i]];vx[first[i]]=vx[first[i]]+xx;vx[second[i]]=vx[second[i]]+xx;vx[third[i]]=vx[third[i]]+xx;vy[first[i]]=vy[first[i]]+yy;vy[second[i]]=vy[second[i]]+yy;vy[third[i]]=vy[third[i]]+yy;count[first[i]]=count[first[i]]+1;count[second[i]]=count[second[i]]+1;count[third[i]]=count[third[i]]+1;}for(i=0;i<n;i++){vx[i]=vx[i]/count[i];vy[i]=vy[i]/count[i];}//最后求解壓力項double*p=newdouble[n];for(i=0;i<n;i++)p[i]=(1-vx[i]*vx[i]-vy[i]*vy[i])/2;//壓力項求解完畢//至此已求出每個節(jié)點上的速度，接下來釋放空間并進行輸出delete[]count;for(i=0;i<e;i++)delete[]b[i];delete[]b;for(i=0;i<e;i++)delete[]c[i];delete[]c;fp=fopen("result111.txt","w");fprintf(fp,"TITLE=Finiteelementmethod\n");fprintf(fp,"FILETYPE=FULL\n");fprintf(fp,"VARIABLES=X,Y,vx,vy,psi,p\n");fprintf(fp,"ZONE\n");fprintf(fp,"N=%dE=%df=fepointet=triangle\n",n,e);for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp,"%lf%lf%lf%lf%lf%lf\n",x[i],y[i],vx[i],vy[i],psi[i],p[i]);for(i=0;i<e;i++)fprintf(fp,"%d%d%d\n",first[i]+1,second[i]+1,third[i]+1);delete[]first;delete[]second;delete[]third;delete[]p;delete[]vx;delete[]vy;delete[]x;delete[]y;delete[]psi;fclose(fp);}double**LU(double**a,intm,double**l)//LU分解函數(shù),**a即二維數(shù)組〔矩陣〕a的首地址,此函數(shù)返回LU矩陣的首地址，m為矩陣規(guī)模{//l[][]即LU分解時產生的矩陣(為節(jié)約空間，將L和U放在同一矩陣中)inti,j,k;for(k=0;k<m;k++){for(j=k;j<m;j++){l[k][j]=a[k][j];for(i=0;i<k;i++){l[k][j]=l[k][j]-l[k][i]*l[i][j];}}for(j=k+1;j<m;j++){l[j][k]=a[j][k];for(i=0;i<k;i++){l[j][k]=l[j][k]-l[j][i]*l[i][k];}l[j][k]=l[j][k]/l[k][k];}}return(l);}double*SOVLELU(double**l,double*b,intm,double*x)//解LU分解后的方程組，l為LU分解產生的矩陣，b為右端項，m為矩陣規(guī)模，x為解向量,返回解向量的首地址{inti,j;//先解Ly=bx[0]=b[0];for(i=1;i<m;i++){x[i]=b[i];for(j=0;j<i;j++)x[i]=x[i]-l[i][j]*x[j];}//再解Ux=yx[m-1]=x[m-1]/l[m-1][m-1];for(i=m-2;i>=0;i--){for(j=i+1;j<m;j++){x[i]=x[i]-l[i][j]*x[j];}x[i]=x[i]/l[i][i];}return(x);}六．可視化處理與結果分析。 繪制網格如下：流函數(shù)如下：流線圖如下：假設將流線和流函數(shù)畫在同一張圖上，那么為壓強分布如下：由圖像可見，速度分布比擬符合物理直觀，將流函數(shù)圖和流線圖畫在同一張圖像上，可以發(fā)現(xiàn)等ψ線就是流線，滿足物理要求。壓強圖像上，〔-1,0〕處速度為零，壓強最大，為滯止壓強；〔0,1〕處壓強最小，也符合物理要求。七．進一步優(yōu)化的些許