期末復(fù)習(xí)-圓(教師版)

期末復(fù)習(xí)三圓一、主要知識結(jié)構(gòu)〔一〕圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。例P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，那么經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為________；最長弦長為_______．解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦〔二〕平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。例如圖，在中，直角邊，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓，那么點(diǎn)在圓A的_________，點(diǎn)在圓A的_________．解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為．試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．答案：點(diǎn)在圓O上．知識點(diǎn)三、圓的根本性質(zhì)1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論２：直徑所對的圓周角是直角；９０°的圓周角所對的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，那么弦AB的長是〔〕A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解題思路：在一個(gè)圓中，假設(shè)知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+〔〕2，所以三個(gè)量知道兩個(gè)，就可求出第三個(gè)．答案C例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點(diǎn)，∠BAC=30°，那么∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運(yùn)用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由．〔2〕假設(shè)交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，加以證明；假設(shè)不成立，請說明理由．(1)(2)解題思路：〔1〕要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：〔1〕AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD〔2〕作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？解題思路：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24－30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知識點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1如圖，通過防治“非典”，人們增強(qiáng)了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24－49所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址．解題思路：連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置．例2如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，假設(shè)∠BAC=80°，那么∠BOC=〔〕A．130°B．100°C．50°D．65°解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，答案A例3如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心與頂點(diǎn)C的距離為〔〕．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn)，答案B知識點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長時(shí)所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°

∴在中，∠C=45°∴CD=AD

∵BC=6cm

∴∴∴當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相切；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相交；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相離。例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．〔1〕CD與⊙O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由．〔2〕假設(shè)CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．解題思路：〔1〕要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上．由易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：〔1〕CD與⊙O相切理由：①C點(diǎn)在⊙O上〔〕②∵AB是直徑∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°綜上：CD是⊙O的切線．〔2〕在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：〔1〕CD是⊙O的切線，〔2〕⊙O的半徑是10．知識點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題．外離：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部內(nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距〔兩圓圓心的距離〕為d，那么有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系．外離d>r1+r2外切d=r1+r2相交│r1－r2│<d<r1+r2內(nèi)切d=│r1－r2│內(nèi)含0≤d<│r1－r2│〔其中d=0，兩圓同心〕例1．兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示〔點(diǎn)O，O′是圓心〕，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大?。?〕(2)解題思路：要求∠TPN，其實(shí)就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一個(gè)等邊三角形∴∠OPO′=60°又∵TP與NP分別為兩圓的切線，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=15cm，求：〔1〕作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？(1)(2)(2〕作⊙A與⊙O相內(nèi)切，并求出此時(shí)⊙A的半徑．解題思路：〔1〕作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rO+rA；〔2〕作OA與⊙O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rA－rO．解：如圖2所示，〔1〕作法：以A為圓心，rA=15－7=8為半徑作圓，那么⊙A的半徑為8cm〔2〕作法：以A點(diǎn)為圓心，rA′=15+7=22為半徑作圓，那么⊙A的半徑為22cm例3．如下圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為〔0，3〕，OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上．〔1〕假設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為〔4，0〕，⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；_A_y_A_y_x_O〔1〕AB=5>1+3，外離．〔2〕設(shè)B〔x，0〕x≠－2，那么AB=，⊙B半徑為│x+2│，①設(shè)⊙B與⊙A外切，那么=│x+2│+1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B〔0，0〕，當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－1，化簡得x=4>－2〔舍〕，②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，那么=│x+2│－1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+1，得x=4>－2，∴B〔4，0〕，當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－3，得x=0，知識點(diǎn)七、正多邊形和圓重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．正多邊形的中心：所有對稱軸的交點(diǎn)；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。例1．如圖，正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點(diǎn)作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．解：如下圖，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．因此，所求的正六邊形的周長為6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得邊心距OM==a∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2例2．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如下圖，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．〔1〕求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．〔2〕設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？〔3〕實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識，應(yīng)用配方法求最值．〔3〕的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對稱性就能圓滿解決此題．解：〔1〕由AB·CG=AC·BC得h==4.8〔2〕∵h(yuǎn)=且DN=x∴NF=那么S四邊形DEFN=x·〔4.8－x〕=－x2+10x=－〔x2－x〕=－[〔x－〕2－]=－〔x－2.4〕2+12∵－〔x－2.4〕2≤0∴－〔x－2.4〕2+12≤12且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號∴當(dāng)x=2.4時(shí)，SDEFN最大．〔3〕當(dāng)SDEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．∴BE==1.8∵BM=1.85，∴BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案．∵當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5∴AD=3.2，由圓的對稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如下圖:此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹．知識點(diǎn)八、弧長和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點(diǎn)：n°的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用．難點(diǎn)：公式的應(yīng)用．1．n°的圓心角所對的弧長L=2．圓心角為n°的扇形面積是S扇形=3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2．例1．操作與證明：如下圖，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a．解題思路：如下圖，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD．∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A〔點(diǎn)B〕重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D〔點(diǎn)A〕重合，此時(shí)AM+AN仍為定值a．故總有正方形的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a．例2．扇形的圓心角為120°，面積為300cm2〔1〕求扇形的弧長；〔2〕假設(shè)將此扇形卷成一個(gè)圓錐，那么這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？解題思路：〔1〕由S扇形=求出R，再代入L=求得．〔2〕假設(shè)將此扇形卷成一個(gè)圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個(gè)以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形．解：〔1〕如下圖：∵300=∴R=30∴弧長L==20〔cm〕〔2〕如下圖：∵20=20r∴r=10，R=30AD==20∴S軸截面=×BC×AD=×2×10×20=200〔cm2〕因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm經(jīng)典練習(xí)〔一〕選擇題1．假設(shè)P為半徑長是6cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP＝2cm，那么過P點(diǎn)的最短的弦長為()．A．12cmB．C．D．2．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，假設(shè)∠ADC＝120°，那么∠ACB等于()．A．30° B．40° C．60° D．80°3．假設(shè)⊙O的半徑長是4cm，圓外一點(diǎn)A與⊙O上各點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是12cm，那么自A點(diǎn)所引⊙O的切線長為()．A．16cmB．C．D．4．⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD．假設(shè)AB＝12cm，CD＝16cm，那么AB和CD的距離為()．A．2cmB．14cmC．2cm或14cm D．2cm或5．⊙O中，∠AOB＝100°，假設(shè)C是上一點(diǎn)，那么∠ACB等于()．A．80° B．100° C．120° D．130°6．三角形的外心是()．A.三條中線的交點(diǎn)B.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交C.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)7．如圖，A是半徑為2的⊙O外的一點(diǎn)，OA＝4，AB是⊙O的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，那么的長為()．A． B．C．π D．8．如圖，圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時(shí)出發(fā)，以相同的速度從A點(diǎn)到B點(diǎn)，甲蟲沿，，，路線爬行，乙蟲沿路線爬行，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()．A．甲先到B點(diǎn)B．乙先到B點(diǎn)C．甲、乙同時(shí)到B點(diǎn)D．無法確定9．如圖，同心圓半徑分別為2和1，∠AOB＝120°，那么陰影局部的面積為()．A．π B．C．2π D．4π10．某工件形狀如下圖，圓弧的度數(shù)為60°，AB＝6cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離等于AB，∠BAC＝30°，那么工件的面積等于()．A．4π B．6πC．8π D．10π11．如右圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影局部的面積為()．A．36πcm2B．12πcm2C．8πcm27題圖8題圖9題圖10題圖〔二〕填空題12．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，那么∠B＝______．13．如圖，邊長為1的菱形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B，C兩點(diǎn)恰好落在扇形AEF的弧上時(shí)，的長度等于______．14．如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，那么折痕AB的長為________．15．假設(shè)圓錐的底面半徑是2cm，母線長是4cm，那么圓錐的側(cè)面積是________cm2．16．如圖，在△ABC中，AB＝2，以A為圓心，1為半徑的圓與邊BC相切，那么∠BAC的度數(shù)是______．12題圖13題圖