連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

48-12021/10/10148-22021/10/10248-32021/10/10348-42021/10/10448-52021/10/10548-62021/10/10648-72021/10/107例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2021/10/10848-92021/10/10948-102021/10/1010例2.6.7證2021/10/101148-122021/10/101248-132021/10/101348-142021/10/10141.跳躍間斷點(diǎn)例4解2021/10/10152.可去間斷點(diǎn)例2.6.72021/10/1016解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).2021/10/1017如上例中,特點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).2021/10/1018例6解3.無窮間斷點(diǎn)：如果在點(diǎn)處左、右極限至少有一個為無窮大，則稱點(diǎn)為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).2021/10/10194、振蕩間斷點(diǎn)：如果在點(diǎn)處無極限且函數(shù)值在某兩個最值間變動無限多次，則稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).2021/10/1020例2.6.82021/10/1021在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型:函數(shù)2021/10/1022例2.6.9解2021/10/1023例2.6.10函數(shù)在點(diǎn)是否間斷?屬于那種類型?能否補(bǔ)充或改變函數(shù)在該點(diǎn)定義使之連續(xù)?解函數(shù)在點(diǎn)沒有定義,所以是函數(shù)的間斷點(diǎn).對于

,

.2021/10/1024因?yàn)?所以是第一類間斷點(diǎn).令,即可使函數(shù)在處連續(xù).對于,因?yàn)?所以是第二類間斷點(diǎn)且為無窮間斷點(diǎn).

2021/10/102548-262021/10/102648-272021/10/102748-282021/10/102848-292021/10/102948-302021/10/103048-312021/10/1031定理2.6.4證2021/10/1032將上兩步合起來:2021/10/1033意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解2021/10/1034例2解同理可得2021/10/1035定理2.6.5例如,2021/10/103648-372021/10/1037三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★2021/10/1038定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2021/10/10391.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注意注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.2021/10/1040例3例4解解2021/10/1041小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個定理;兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性.2021/10/1042思考題2021/10/1043思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)2021/10/1044等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證2021/10/104548-462021/10/1046例2.6.16解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意2021/10/1047例2.6.17解解錯2021/10/104848-492021/10/104948-502021/10/1050小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)2021/10/1051可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx2021/10/1052思考題2021/10/1053思考題解答且2021/10/1054但反之不成立.例但2021/10/105548-562021/10/105648-572021/10/105748-582021/10/105848-592021/10/105948-602021/10/106048-612021/10/106148-622021/10/106248-632021/10/106348-642021/10/106448-652021/10/106548-662021/10/106648-672021/10/1067例2.6.26證由零點(diǎn)定理,2021/10/1068小結(jié)四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立．解題思路