新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：強(qiáng)化練5 空間中的平行關(guān)系

專題強(qiáng)化練5空間中的平行關(guān)系

一、選擇題

1.（2020河北衡水中學(xué)高三下月考,"）若l,m是兩條不同的直線,m垂

直于平面a,則TJ_m"是"Ilia”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2020山西大同第一中學(xué)高三下月考,*）設(shè)m、n是兩條不同的直

線,a、0是兩個(gè)不同的平面，則ail0的一個(gè)充分條件是（）

A.mlia,n±p,m±nB.mlla,n±p,mIIn

C.mlia,nlip,mllnD.m±a,n±p,mIIn

3.（2020廣東惠州高三上期末,"）平面a過正方體ABCD-AiBiCiDi

的頂點(diǎn)A,aII平面CBiDi,an平面ABCD=m,an平面ABBiAi=n,貝！Jm、

n所成角的正弦值為（）

A.二B.-C.-D.更

2232

4.（2020云南曲靖高三上期末,"）在四面體A-BCD

中,AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于AB,CD的平面截此四

面體，得到截面EFGH,則截面EFGH面積的最大值為（）

A.-B.-C.-D.3

342

二、填空題

5.（2020陜西西安西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三下月考,"）如圖,正方體

ABCD-AiBiCiDi的棱長是a,S是AiBi的中點(diǎn),P是AiDi的中點(diǎn)，點(diǎn)Q

在正方形DCQDi及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若PQII平面SBQ則點(diǎn)Q的軌跡的

長度是.

6.（2020四川內(nèi)江高二上期末,"）如圖所示，在長方體

ABCD-AiBiCiDi中,E是棱CCi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面BEDi交棱AAi

于點(diǎn)F,給出下列命題：

①四棱錐Bi-BEDiF的體積為定值；

②對于棱CCi上任意一點(diǎn)E,在棱AD上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得CGII平

面EBDi；

③O為底面ABCD的對角線AC和BD的交點(diǎn)，在棱DDi上存在點(diǎn)H,

使OHII平面EBDi；

④存在唯一的點(diǎn)E,使得四邊形BEDiF的周長取得最小值.

其中為真命題的是.（填序號）

三、解答題

7.(2020廣東廣州白云高三下月考,*)如圖，在三棱錐B-ACD

o

中,BDJ_平面ACD,且BD=l,BC=AD=2zCD=V3,zADC=30,E.F分

別為AABD'CBD的重心.

(1)求證:人。1平面8￡￡

(2)求四面體B-DEF的體積.

8.(2020山東滕州第一中學(xué)高一線上測試*)如圖，在四棱柱

ABCD-AiBiCiDi中,M是線段BiDi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E,F分別是BC,

CM的中點(diǎn).

⑴求證:EFII平面BDDiBi；

(2)在棱CD上是否存在一點(diǎn)G,使得平面GEFII平面BDDiBi?若

存在,求出與的值;若不存在,請說明理由.

9.(2020遼寧撫順六校協(xié)作體高二上期末,")如圖，正三棱柱

ABC-AiBiCi的底面邊長和側(cè)棱長都為2,D是AC的中點(diǎn),在線段AiCi

上是否存在一點(diǎn)E,使得平面EBiCll平面AiBD?若存在，請指出點(diǎn)E在

線段AiCi上的位置;若不存在,請說明理由.

10.(2019安徽滁州部分高中高一下期末*)如圖,四邊形ABCD是平

行四邊形,E,F,G分別為線段BC,PB,AD的中點(diǎn).

⑴證明:EFII平面PAC;

(2)證明:平面PCGII平面AEF;

(3)在線段BD上找一點(diǎn)H,使得FHII平面PCG,并說明理由.

答案全解全析

一、選擇題

1.B若l_Lm,m_La,則Illa或lua;若llia,m_l_a，則l_Lm.，T_Lm”是Tlla"

的必要而不充分條件，故選B.

2.D對于選項(xiàng)A、B,若nua,則故A、B不符合；

對于選項(xiàng)C,若anp=l,mllnlll,m,n為a,0外的直線,顯然有mila,n邛，故C不符

合；

對于選項(xiàng)D,若則n_La，又n_L0，所以。邛,故D符合.

3.D如圖，延長BiAi至A3使AZALBIAL延長DiAi至A為使ABALDIAL連接

AA2AA3,A2A3,AiB,AiD.

易證AA2IIAiBIID1CAA3IIAiDIIBiC.

二平面AA2A3II平面CBIDL即平面AA2A3為平面a.

易得milA2A3,直線AA2即為直線n,所以m、n所成的角即為AA2、A2A3所成

的角.顯然有AA2=AA3=A2A3,所以m、n所成的角為60°,其正弦值為亨.故選D.

4.B設(shè)截面分別與棱AD、BD、BC、AC交于點(diǎn)E、F、G、H,由直線ABII平面

EFGH,且平面ABCn平面EFGH=GH,平面ABDCI平面EFGH=EF,得

GHllAB,EFllAB,

AGHIIEF,

同理可得EHIIFG,

二四邊形EFGH為平行四邊形.

,:AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,

.,.△ACD8BCD,過點(diǎn)A作AM_LCD于M,連接BM,則BM±CD,VAMABM=M,

...CDJ_平面ABM,又ABu平面ABM,...CDJ_AB,.?.EF_LFG,.?.四邊形EFGH為

矩形.

設(shè)BF:BD=BG:BC=FG：CD=x,0<x<l,則FG=3x,HG=3(l-x),

于是S?!?EFGH=FG-HG=9X(1-X)=-9^X-^+^,0<X<1,

當(dāng)時(shí),四邊形EFGH的面積取得最大值*故選B.

二'填空題

5.答案fa

解析如圖所示,在線段DiCi上取點(diǎn)M,使得DiM^DiQ連接PM;在線段CD

上取點(diǎn)N,使得CN=#D,連接MN.設(shè)H為DiQ的中點(diǎn)，連接AiH,SH,CH,PN,

則有PMllAiH.AiHllSCi,

APMIlSCi,

PM（J平面SCiB,SCiu平面SCiB,

，PMII平面SCiB,

易得SBIICH,CHIIMN,...MNIISB,同理可得MNII平面SCiB,二

PMClMN=M,PM,PNu平面PMN,

...平面SCiBll平面PMN,又平面PMNCI平面DCCiDi=MN,

當(dāng)點(diǎn)Q在線段MN上時(shí)，有PQll平面SBCi,.?.點(diǎn)Q的軌跡為線段MN.

VMN=CH=Ja2+g）2=ya,

.?.點(diǎn)Q的軌跡的長度是等.

6.答案①③④

解析①/i-BEDiF=%-BEDi+，B「BFDi=2%斑。1?

又三棱錐Bi-BEDi的體積等于三棱錐Di-BBiE的體積，底面BiBE的面積不變，高

DiCi不變，，三棱錐Di-BBiE的體積不變，，四棱錐Bi-BEDiF的體積不變，為定

值，故①正確；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C處時(shí),CG與平面EBDi相交，故②錯(cuò)誤；

③由0為底面ABCD對角線AC和BD的交點(diǎn)，得DO^DB,設(shè)H為DDi的中點(diǎn),

則在ADIDB中QHIIDIB,又OHC平面EBDiQiBu平面EBDJ.OHII平面EBDi,

故③正確；

④四邊形BEDiF的周長為2（BE+EDi）,則分析BE+EDi即可，將側(cè)面BCQBi沿著

棱CCi展開，使得B在DC延長線上，此時(shí)B的位置設(shè)為P,則線段DF與CCi的

交點(diǎn)即為四邊形BEDiF的周長取得最小值時(shí)的唯一點(diǎn)E,故④正確.

故答案為①③④.

三'解答題

7.解析（1）證明:如圖，延長BE、BF分別與AD、CD交于點(diǎn)G、H,連接GH.

n

???E、F分別為AABDFCBD的重心,

，G、H分別為DA,DC的中點(diǎn)，

.??GHIIAC,又GHu平面BEF,AC4平面BEF,，ACII平面BEF.

(2》ACD中，根據(jù)余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcoszADC=4+3-6=l,.\

AC=1(負(fù)值舍去)，

/.AD2=AC2+CD2,.,.CD±AC.

???BD_L平面ACD,ACu平面ACD,.\BD±AC,XCDDBD=D,，AC，平面BDC.

易知EFllGHllAC,；.EF_L平面BDC.

EF=|GH=|AC=1,SABDF=|SABDH=|X^=^,

5J3DD4o

VB-DEF=|SABDF-EF=^|.

354

8.解析Q)證明:連接BM.：E,F分別是BC,CM的中點(diǎn),，EFIIBM,又EFC平面

BDDiBi,BMu平面BDDIBL；.EFII平面BDDiBi.

(2)棱CD上存在一點(diǎn)G使得平面GEFII平面BDDiBi,理由如下：

假設(shè)在棱CD上存在一點(diǎn)G,使得平面GEFII平面BDDiBi.

?.,平面GEFCI平面ABCD=EG,平面BDDiBiCI平面ABCD=BD,，EGIIBD,

又..1是BC的中點(diǎn),...G是DC的中點(diǎn)，

此時(shí)易證得平面GEFII平面BDDiBi,.?.棱CD上存在一點(diǎn)G,使得平面GEFII平面

BDDiBi,且舟L

9.解析存在.理由如下：

假設(shè)存在點(diǎn)E,使得平面EBiCll平面AiBD.

?平面AA1C1CD平面AiBD=AiD,平面AAiCiCCI平面EBiC=EC,/.AiDllEC,

由AiCiIIAC得A正IICD,

四邊形AiDCE是平行四邊形,...AiE=C