北理工06-08年歷年真題講解

北京理工大學自動化學院自動化專業(yè)

2006年真題及解析

科目一：代碼810科目名稱自動控制理論

、真題

吐東理工大學

2006年自動控制理論考試試題

一、根軌跡方法（25分）

單位反饋系統(tǒng)如圖1,期1G3=點。為簡便起見，圖中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。

其余的符號和以后的圖均采用這種簡便記法。

（1）設G《)=K,畫出根軌跡圖;

（2）確定K的值，使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應的最大超調量為計算相應的上升時間小

&a(Ts+l)使最大超調量”保持不變,上升時間為紅，并使閉環(huán)

設計控制器G,(s)=

aTs+1"r8

系統(tǒng)盡可能地簡單。

圖1：單位反饋系統(tǒng)

二、狀態(tài)空間方法（30分）

（］）

考慮系統(tǒng)<x=Ax+Bu

y-Cx+Du

00—a。

先設

A=10-ax

01一%

(i)證明：若/(s)=s3+”2+qs+ao=(s—4X”友r，其中4*4，則可通過狀態(tài)空間中的線

性變換￡=△,將狀態(tài)空間表達式(1)變?yōu)?/p>

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x-Ax+Bu(2)

y-Cx+Du

2,00

其中A=J=02,1

0022

i4升

T可取為7=012%

1%為

"00o-

(ii)設A=100

01-1

求/和*。

(iii)A同(ii),B=[l10]7,C=[001]

判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測性。若系統(tǒng)不可控或不可觀測，確定不可控或不可觀測的模態(tài);

(iv)A,B,C同(iii),D=0,x(0)=[l-1是狀態(tài)方程在初態(tài)x(0)下的解，證明

r,

x(O)x(/)=3e-VM(fV>O,并解釋這個結果。

-1000-

0000

(v)又設A

0100

001-1

B,C,D待定。若要通過狀態(tài)反饋“(f)=Kx(f)配置系統(tǒng)的極點，至少需要幾個獨立的控制變

量很B至少要有幾個線性無關的列向量)？請說明理由。若要通過狀態(tài)反饋“(f)=Kx(。使

閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，至少需要幾個獨立的控制變量？請說明理由。

三、頻率響應分析(25分)

考慮圖2所示的控制系統(tǒng)，其中G,(s)，G(s)和G2(s)均為最小相位系統(tǒng)，其漸近對數幅頻特性曲線

如圖3,H⑸=1。

第2頁共36頁

圖2：由一:個最小相位環(huán)節(jié)構成的反饋控制系統(tǒng)

a>

圖3：漸近對數幅頻特性曲線

⑴確定開環(huán)傳遞函數G0（S）=G,（S）G（S）G2（S）”（S）并畫出其漸近對數幅頻和相頻特性曲線（要求

按圖3中的尺寸自制兩張對數坐標紙）；

（2）畫出Nyquist曲線G（）（j0卜

（3）由Nyquist曲線確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值，并用根軌跡方法驗證；

（4）求K=1和K=2時的穩(wěn)態(tài)誤差和加速度誤差。

四、非線性控制系統(tǒng)（25分）

系統(tǒng)的方框圖如圖4所示，其中A=42=4=1，〃2=%=1，KI=1,所有的非線性特性

均關于原點中心對稱，G（s）=2，。畫出負倒特性曲線和線性部分G（s）的Nyquist圖，以此分析

S

系統(tǒng)是否存在自激振蕩及其穩(wěn)定性；如果存在自激振蕩，請計算輸出）6）的振幅和頻率。圖中死

區(qū)、飽和特性和繼電特性等非線性環(huán)節(jié)的描述函數分別為：

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&

N2

圖4：具有非線性特性的反饋控制系統(tǒng)

五、離散控制系統(tǒng)（25分）

考慮如圖5所示的直流電機速度控制系統(tǒng)，ZOH表示零階保持器。設模擬被控對象的傳遞函

數如下：

G(力261714.877

卜(s+297.456)($+879.844)

數字控制器由微處理器實現，其脈沖傳遞函數為

+號國

式中，T=0.001s、K?=1和KR=295.276

口⑶Z0H―?Gp”

圖5：直流電機速度控制系統(tǒng)的框圖

第4頁共36頁

(1)求數字控制系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)脈沖傳遞函數；

(2)判斷整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

(3)當%為單位階躍函數時，求數字系統(tǒng)在采樣時刻的輸出響應；

(4)重新設計數字控制器O(z)，使數字系統(tǒng)對單位階躍輸入具有最小拍輸出響應。

常用函數的z-變換表：

六、Lyapunov穩(wěn)定性(20分)

設非線性系統(tǒng)的數學描述如下：

X+X4~X~-1=0

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；

(ii)求系統(tǒng)的所有平衡點；

(iii)判斷每一個平衡點在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，并闡明理由。

2007年自動控制理論考試試題

一、選擇填空(每小題10分，共60分

1采樣系統(tǒng)的特征方程為D(Z)=Z2+(2K-L75)Z+2.5=0,使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值是()

(a)K>2.63

(b)0<K<2.63

(c)所有K>0

(d)不存在這樣的K值。

2采樣系統(tǒng)的輸出出T的z-變換為為z)=+則前四個采樣時刻的輸出為()

（a）y（0）=0,y（T）=27,y（2T）=47,y（3T）=60.05

（b））（0）=1,y（T）=27,y（2T）=674.4,y（3T）=16845.8

第5頁共36頁

(c))，(o)=1,y(T)=27,y(2T)=647,y(3T)=660.05

(d)y(0)=1,y(T)=647,y(2T)=47,y(3T)=27

10

3s-域的傳遞函數為G(s)=T為采樣周期。經采樣后z-域的脈沖傳遞函數G(z)是

s(s+2)(s+6)

()

5z5z5z

(a)6(z)=

6z-14z-e~bT12z-e-T

6(z)=_5zz5z

(b)-6T-T

6z-lz-e12z—e

0(z)=_5z5z5z

(c)-2T-6T

6z-l4z-e12z-e

(A}@(z)=1zZ+5z

6z-lz-e~2T6z--e~bT

4線性系統(tǒng)的單位斜坡響應為)?)=，-4+4e%,則該系統(tǒng)的單位階躍響應為該系統(tǒng)

的傳遞函數為

5最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性如圖1,則該系統(tǒng)的速度誤差系數Kv=________,加速度誤

差系數K“=

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6非線性系統(tǒng)的一個平衡態(tài)x,位于不穩(wěn)定的極限環(huán)內，該極限環(huán)內沒有其它極限環(huán)。下述說法

正確的是()o

(a)%是不穩(wěn)定平衡態(tài)。

(b)x,是穩(wěn)定平衡態(tài)，以極限環(huán)內的點為初始狀態(tài)的運動軌跡都趨于X,。

(c)%是穩(wěn)定平衡態(tài)，以極限環(huán)外的點為初始狀態(tài)的運動軌跡都趨于演。

(d)上述說法都不對，根本無法判定々是否穩(wěn)定。

二、根軌跡方法(20分)

單位反饋系統(tǒng)如圖2,其中6($)=竽々，a>0,b>0為待定參數。為簡便起見，圖中用R表示

r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號和均采用這種簡便記法。

(1)設G,(s)=K>0,已知根軌跡的分離點和匯合點分別是1和-3。確定參數a和b并畫出根軌

跡圖；

(2)確定根軌跡和虛軸的交點并由此確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。

(3)說明在穩(wěn)定的前提下該反饋系統(tǒng)和標準二階系統(tǒng)的階躍響應在快速性和超調量兩方面有何

不同。

圖2：單位反饋系統(tǒng)

三、狀態(tài)空間方法(20分)

考慮系統(tǒng)x(f)=Ax(f)+歷

j(/)=c'x(f)+力，(f)

其中Aw/?3x3,b,ce/?3,deR

(i)設"(f)=0,已知：若七(0)=[10則x/)=boof；

若々(0)=[11則々(/)=『e'oj；

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若%3（0）=111『，則%3。）=卜，e'+te'e'],且

[*）/（f）匕（川=6%（0）x2（0）x3（0）]

確定狀態(tài)轉移矩陣*和系統(tǒng)矩陣Ao

(ii)設

400仇

C2C3]

A=0A，21,b—b2,

00%A.

4工4,碓（A,8為可控性和仇，%,乙的關系，以及（A,M）的可觀測性和Gq的

關系。

四、頻率法(20分)

考慮圖2所示的控制系統(tǒng)，其中G（s）=7^F，a>0。

（1）用Nyquist穩(wěn)定性判據證明閉環(huán)系統(tǒng)對任何比例控制器G,（s）=K,都不穩(wěn)定。

（2）設64）=給（1+益）為PD控制器。用Nyquist判據確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K,和r的值。

五、離散控制系統(tǒng)（20分）

離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

x(A+1)=Ax(k)+bu(k)

山)=c，x(A)

其中

010-

A=001,8=[00l]7',cr=[-0.2501]

-0.5-2.25-3

(i)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（ii）令“（女）=4）+/々卜），求狀態(tài)反饋陣/使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-0.5,0.5,0。

六、Lyapunov穩(wěn)定性（10分）

設非線性系統(tǒng)的數學描述如卜.:

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y+y+sin金=0

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；

(ii)求系統(tǒng)的所有平衡點；

(iii)判斷每一個平衡點在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，并闡明理由。

2008年自動控制理論考試試題

-：選擇填空(每小題10分，共50分)

1.離散時間系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為T(z)=f(z-+2z),以下結論正確的是()：

z2+0.2Z-0.5

(a)對任意有限的K值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

(b)當且僅當-0.5<K<8時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(c)對所有K值系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。

(d)當-0.5<K<8時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2.單位反饋系統(tǒng)如圖1,其中G,(s)=--一，G0(s)為零階保持器，采樣周期T=0.4秒。部

5(0.25+1)

分常用函數的z-變換見第五題。以下結論正確的是()：

圖1采樣控制系統(tǒng)

(a)對任意的K值閉環(huán)系統(tǒng)都穩(wěn)定。

(b)對任意的K值閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

(c)存在>0,當Ke(0,K0)時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

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（d）對任意的K>0閉環(huán)系統(tǒng)都穩(wěn)定。

3.具有非線性特性的單位負反饋系統(tǒng)，其前向通道中線性部分的頻率特性曲線G（_/g）和非線性

負倒特性-一二如圖2。圖中箭頭指向分別為X和3增加的方向。下述結論中正確的是（）:

N（X）

(a)和A/2兩點都是系統(tǒng)穩(wěn)定的自激振蕩狀態(tài)。

(b)BC段是系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)。

(c)X<X",和X〉XM?是系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)。

(d)上述說法都不對。

0.1

0.05

0

h-0.05

￡-o.1

|-0.15

J-0.2

-0.25

-0.3

-0.35

-0.4

-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10

RealAxis

4.若兩個系統(tǒng)具有完全相同的根軌跡圖，則兩系統(tǒng)具有相同的開環(huán)傳遞函數（對，錯）和相同的

閉環(huán)傳遞函數（對，錯）。

5.開環(huán)最小相位系統(tǒng)的對數幅頻特性向右移4倍頻程，則閉環(huán)系統(tǒng)的調節(jié)時間將（增加，不變,

第10頁共36頁

減小)，超調量將(增加，不變，減小)，穩(wěn)態(tài)誤差(增加，不變，減小)，抗高頻噪聲

干擾的能力將(增強，不變，減弱)。

二、根軌跡方法(20分)

單位反饋系統(tǒng)如圖3,其中G(s)=--------------,a〉0,b>0為待定參數。為簡便起見，圖

(5-1)(52+as+b)

中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號亦采用這種簡便記法。已知K為某一正數時,

閉環(huán)系統(tǒng)的極點為T,-1,-lo

(i)確定參數a和b并由此確定G(s)的另外兩個極點。

(ii)確定根軌跡的分離點和匯合點、根軌跡的漸近線以及根軌跡與虛軸的交點并畫出根軌

跡圖。

(iii)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。

圖3單位負反饋

三、狀態(tài)空間法

x(Z)=Ax(t)+bu(t)

考慮系統(tǒng)<(1)

y(t)-cTx(t)+du(t)

(i)求系統(tǒng)的傳遞函數G(s)=^,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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(ii)判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和可觀測性。

(iii)能否通過狀態(tài)反饋=將閉環(huán)極點配置在-2,-3和4?若能，求出爐；若不能，請說

明理由。

四、頻率法

考慮圖3所示的控制系統(tǒng)，其中G(s)=-----------彳-----------，a〉0,夕＞0為待定參數。已知

($-1)畫+為+1)

G(j2)=-0.05o

(i)確定參數a和B并做出G(s)的Nyquist曲線。

(ii)用Nyquist判據確定時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

五、采樣控制系統(tǒng)(15分)

Ts

1_e-K

考慮圖1所示的采樣控制系統(tǒng)，其中G0(S)=LJ為零階保持器，G,,(s)=J—,輸入信號r⑺

ss(s+a)

為單位階躍函數，T,K,a正的常數。

(i)寫出上述系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數。

(ii)設T=ls,K=\,a=\,計算采樣輸出c(0),c⑴,c(2),c(3)。

已知:

六、Lyapunov穩(wěn)定性

設非線性系統(tǒng)的數學描述如下：

X,=_19.2￡x：—+/

x2--0.64X1-4.8x；光2-L875/?X]X；

第12頁共36頁

其中/?為常數。

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程￡=/*),證明系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)

Xe=lXeA七,2『=0

(ii)取候選Lyapunov函數V(X],X2)=[X]，研究系統(tǒng)平衡態(tài)比,i七二『的穩(wěn)定性及

其與B的關系，其中Q可選為正定對角矩陣。

七、描述函數分析方法

單位負反饋系統(tǒng)的前向通道為如圖4所示的Hammerstein模型，其中線性環(huán)節(jié)的傳遞函數為

20

G(s)=—--,非線性環(huán)節(jié)為有滯環(huán)的繼電非線性。已知滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)的描述函數為

5(0.15+1)

4〃I(/7YAhM

N(X)二菽刀山市

其中"=1。確定繼電器參數h,使得自激振蕩頻率,自激振蕩幅值XW0.7。

二、解析

2006年真題解析

一、解：(1)系統(tǒng)的開環(huán)傳函G0(S)=/F

s(s+2)

繪制根軌跡的步驟如卜一:

第13頁共36頁

①開環(huán)極點化=0,p2=-2數目n=2；無零點

系統(tǒng)有兩條根軌跡，分別起始于外，p2,終止于無窮遠處。

②實軸上根軌跡段為（-2,0）；

③漸近線與實軸夾角為（pa=±90°；

漸近線與實軸交點為％=上工=-1；

“2

I

④由行+d+2-

=＞分離點d=-1

由以上計算得到的參數，得根軌跡如圖所示：

(2)由M=「=4=顯=0.707

p2

閉環(huán)傳遞函數為①($)=一

''S2+2.S+K

K=2

由

=V①“=Q

n-p3

上升時間t=.----=71

r①"鏟4

結合。=兀：B=。兀,得到g=20

（3）要保持不變，即4=

2coj-e8

第14頁共36頁

由題意得,

開環(huán)傳遞函數G(；(s)=G,(s)G(s)=1

s(s+2)

I，K

為使閉環(huán)系統(tǒng)盡可能簡單，取工=2,即T=0.5,此時G°(6)=/y

S54--

I。

K”比=8，所以G,(s)=%⑵

由42

—=2/y〃=4=>a=0.55+4

注：要熟記二階系統(tǒng)的時域響應指標，O%,ts3，tp等。

二、解：(i)x=7x,貝1」苫=7-峰代人(1)可得

T-'^AT-'x+Bu\^TAT-'x+TBu

y=CT~xx+Duy=CT~lx+Du

^A=TAT-[B=TB^=。廣|,即可得至1〃￡=個￡+8說

y-Cx+Du

-1400一即400

0i2%,A—10-a\計算得A—J-041

1A01—卅00%

2,00'00

(ii)o41=>eJt=0e為加為

002,00

'

000'-00-a0'

A=100相當于(i)中的A=10_q有劭=%=0a2=1

01-101—出

1-11

則/(s)=s'+s?=s，(s+1),即4=—1Z,=。'此時T010

100

第15頁共36頁

A可通過非奇異陣T化為約當陣，即TAT-：/。所以

1-11e~'001-11100

eA,=T-\eJ<T0100101010

100001100e-'+t-].l-e-'e~l

100

（iii）rankUc-rank[BABrank110=2<3,

010

所以系統(tǒng)不完全可控;

1

rankVo-13

1

所以系統(tǒng)完全可觀測;

確定不可控模態(tài)是在A為J的情況下，看B中的某一行是否為零。

-1001-1010

此題中A化為J001時，B=TB=01011

00010001

可見，4=-1所對應的模態(tài)為不可控模態(tài)，即

（iv）珀）=*X（0）+[e*J）B“（7）t/7=e*x（0）+^eA,Bu{t-TY1T

TTr/V

x（0）x?）=x（0p"x（0）+x（0）JeJB?（r-r）dr

10011001

=[1-1110-1+[1TI”101U（t-T）dT

e"+t-i1-e-'e'1e"+t-\\-e"e'0

1

=3e-'+[1-11t+lu（t-rylT

3e-'

NO都有『（0）加）=3/o

-1000

0-100

（v）①將A化為約當陣為人,B至少要有2個線性無關的列向量。原因:

0001

0000

第16頁共36頁

若要通過狀態(tài)反饋“(f)=Kx(f)配置系統(tǒng)的極點，即保證系統(tǒng)完全可控。

A對應的約當陣中出現了兩個約當塊對應同一特征值-1,若要保證Z(N，回狀態(tài)完全可控，

月中對應人中相等特征值的全部約當塊末行的那些行之間是線性無關的，即方的第一行、第二行

必須是線性無關的。

，月中至少要有2個線性無關的列向量。

由于非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的可控性，8中至少要有2個線性無關的列向量，即至少

需要2個獨立的控制變量。

②至少需要1個獨立的控制變量。原因：

由于特征值T具有負實部，可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。所以配置極點時只需配置特征值0對應

的約當塊。特征值-1對應的約當塊即使不可控，也不影響系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。只配置可控部分

即可，.?.至少需要1個獨立的控制變量。

注：個人覺得這個題出的有點難，但是知識點都是大綱要求的，但綜合性太強了，可以看

一下這些知識點。

三、解：(1)由圖可知，G|(s)=-^_rG2(5)=—G<.(s)=2s+l又

+S0.25+1

所以開環(huán)傳遞函數GO(S)=G,(S)G1(S)G2(S)"(6)

25+1

-52(5+1X0.25+1)

(2)首先求出Go("w)得

G(詞=-”21器1-----r

O()'，_〃(法+1*0.2_/0+1)

1+22〃0.4叱2一0.8.

①2(1+療M+0.04療)+碗+療+0.04/),

1)與負實軸的交點：

由ImGo(j(y)=On<w=±&，此時ReG0(j(y)=-0.83

即與負實軸的交點是(-0.83,0)：

2)0+時,G0(>)-?ooZ-180°；

第17頁共36頁

3)>+80寸，G0(j(y)—>0Z-270°；

Nyquist曲線G。。/）如下:

（3）1）由Nyquist曲線確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值；如圖所示:

當-O.83K>-1時,即K<1.2時,Nyquist曲線不包圍(-1,jO)點，即N=0,

由于P=0,.*=0,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是:

0<K<1.2

2）用根軌跡方法驗證:

K(2s+1)K*(s+0.5)

KG°(s)10K)

S2(s+l)(o.2s+1)―/(s++5)

繪制根軌跡步驟如下:

①開環(huán)極點Pi=P2=0P3=-1，幾=一5數目n=4;

開環(huán)零點Z=-0.5,數目m=l。系統(tǒng)有4條根軌跡。

第18頁共36頁

②實軸上根軌跡段為(-8,-5),(-1,-0.5)；

③漸近線與實軸夾角為9“=±±,±)；

漸近線與實軸交點為區(qū),='+L83；

3

④與虛軸的交點：0(s)=$4+6$3+5$2+K*S+0.5K*

54150.5K*

536K*

/胃0.5K,

?K*遣K*)

30—K*

s°0.5K*

.?.K*=12時，3s2+6=0得對應的0=±五

與虛軸的交點是土正

根據以上參數地根軌跡圖如下：

由根軌跡圖可知，當0<K*<12,即0<K<1.2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

可見，與由Nyquist曲線得到的結論是一致的。

(4)K=1時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。

K,=limsG°(s)=ooK.=lims2Go(s)=l

s->0sf0

第19頁共36頁

所以穩(wěn)態(tài)速度誤差

SSV尹。

穩(wěn)態(tài)加速度誤差

K=2時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,此時討論穩(wěn)態(tài)誤差是無意義的。

四、ft?：(1)將原結構圖化簡可得到圖a

負倒特性曲線和Q("y)曲線如圖b所示:

由圖可知，負倒特性曲線與G,("y)曲線有交點。所以存在自激振蕩，并且是穩(wěn)定的自激

振蕩。(由不穩(wěn)定區(qū)—穩(wěn)定區(qū))

(2)由---~r—G(jTw))得

N(X)八，19=*序口-?

第20頁共36頁

自激振蕩的頻率

自振振幅

將振幅X折算到輸出端,考慮到X=-5丫，所以

Y

輸出振幅為y=—=0.2

5

輸出頻率為co=6.4

五、解：⑴

261714.877

G1(z)=(l-z-')Z

ss(s+297.456)(s+879.844)

11.50.5

7-7+297456s+879.844

1.5z0.5z

CCT+O"?n0,1XT

0.15z+0.03

(z-0.7Xz-04)

開環(huán)脈沖傳遞函數

G(z)=D(z)G|(z)=O.15z+O.O3

(z-0.7\z-0.4)

0.17(z+0.2)

(z-lXz-0.4)

閉環(huán)脈沖傳遞函數

(2)由z?—123z+0.434=0nz=0.615±0.235j

可見，閉環(huán)特征方程的根都在單位圓內部，所以整個控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

(3)當為為單位階躍函數時，輸入/?(%)=工"

z-1

0.17(z+0.2)0.17z(z+0.2)

C(z)=*R(z)=z

z2-1.23z+0.434*2

z-1(Z-1XZ-1.23Z+0.434)

0.17Z2+0.034Z

=0.17z-'+0.41z-2+0.64z-3+0.46z-4+…

z3-2.23z2+1.664z-0.434

第21頁共36頁

c(f)=0.17g-T)+0.4lb(f-27j+0.646(/-3T)+0.46必-4T)+…

0.17(z+0.2)

(4)由于G(z)=

dz-04)'除有一個極點在單位圓上外，所以零極點都在單位圓內部，故

可取6々)=三則①(z)=，(滿足2〃-m)

ZZ

①(z)_1_5.88(Z-0.4)

則

G(z"(z)-G(zXz-1)-z+0.2

C(z)=/儒Mz)=占e+二"

可見輸出cR)在1拍以后就完全跟蹤輸入。

2

六、解：(i)x+x+x-1-0令M=Xx2=x,貝II

X\-x

狀態(tài)方程為:2

Xi———X；—X2+1

修=0,得%2=。X]=-1

(ii)由,C=>

X2=0一玉~—%2+1=0.=0

所以系統(tǒng)所有的平衡點為(1,0)\(-1,0)\

(iii)①在平衡態(tài)%=(1,0)，處:

%=再一1

做偏差置換，令%=乃

力=一才一2月一乃

中第

620101

將其線性化，得A現

明明一2乃一2->,1=0-2-1

)'2=0

01Sy2.H=O

力=0

_-1-jyfl

|A7—A|=0=>Aj=~4

2

兩個特征值均具有負的實部，，平衡點心處是漸近穩(wěn)定的。

②在平衡態(tài)％=(-L0)，處:

第22頁共36頁

M=占+1

做偏差置換，令=><%=為

%=%2)2=7+2%一為

第

0101

將其線性化，得4=為

明一2兄+2-1X=o2-1

丫2=°

,如>,1=0

>,2=0

=o=4=1，4=-2

有一個特征值具有正的實部,,平衡點也處是不穩(wěn)定的。

2007年真題解析

一、1.d2.b3.c

4解：單位階躍輸入r(t)=l是單位斜坡輸入r(t)=t的導數，

則單位階躍響應是單位斜坡響應的導數，即單位階躍響應為

/:(/)=)/(/)=/

對其做拉氏變換得,

H（5）=-------------1---r

sS+Ls（4s+l）

4

傳遞函數為

。(小照高

G（S）=7§+

5解：由圖可得，開環(huán)傳遞函數

（y=l時，L（（y）=201gK'

卜=>K=10

MD=20.

G（S）=4

則

速度誤差系數K、,=limsG（s）=8

s->0

加速度誤差系數K4=lims2G（s）=10

5->0

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二、解：(1)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數G0(s)=華±4

心一〃)

根據分離點、匯合點的計算公式

]_1_1

dd-ad+b

依題意，得分離點4=1,匯合點4=-3,代入上式

得a=3,b=l

則開環(huán)傳遞函數G0(s)=純土?

-3)

繪制根軌跡的步驟如下：

①開環(huán)極點Pi=O，P2=3數目n=2；開環(huán)零點Z=-1,數目m=l

系統(tǒng)有兩條根軌跡。

②實軸上根軌跡段為(-8,-巾0,3)；

③漸近線與實軸夾角為以=±萬；

④分離點4=1,匯合點a=-3

由以上計算得到的參數，得根軌跡如圖所示：