2021年湖北省武漢一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）附答案解析

2021年湖北省武漢一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.集合4={久|一7<久<3},集合B={久|l<x<7},則力UB=()

A.[x\—7<x<7]B.{x|l<%<7}

C.{x|-7<x<3}D.{%|1<%<3]

2.已知復(fù)數(shù)z于，則|z|=（）

A.竽B1C.V10D.2^5

22

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓C：京+a=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)尸作久軸的垂線，交C于點(diǎn)

P,若U??而=2，COSNOPF=爭(zhēng)則橢圓C的方程為（）

v.2,,2,,2-,2-,2尸

A*+看=1B*+.C*+y2=lA>y2=l

21029

4.已知g(x)=a0+djX+a2x+…+a10x,h(x)=b0+brx+b2x+—Fb9x,若(1+x)(l—

2x)19=(1-x)iOg(x)+h(x),則(29=()

A.0B.10x219C.-10x218D.-3x218

5.如圖，在正方體ZBCD-A/iCiDi中,過(guò)點(diǎn)力作平面&BD的垂線，垂足為

點(diǎn)H,則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（)

A.點(diǎn)H是A/llBD的垂心

B.的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)心

C.4"垂直平面CB]Di

D.直線2H和BBi所成角為45。

6.已知x=a+b,y=a+b2+1,貝！|x與y的大小關(guān)系是（）

A.x>yB.x>yC.x<yD.x<y

7.要得到函數(shù)y=sin（2x+g）的圖象，只需將函數(shù)y=cos（2久一9的圖象上所有點(diǎn)（）

A.向左平移孩個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

C.向左平移工個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度

8.已知橢圓C；5+《=l(a>b>0)的焦距為2近，A,8分別為C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn).若C的對(duì)稱

中心到4B的距離為?，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()

A.2V3B.4C.2V5D.4遍

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9,設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為%.若S3=9,a4=7,貝支)

22

A.Sn=nB.Sn=2n—3nC.an=2n—1D.an—3n—5

10.若欣？?{a,b}=j,/(x)=sinx+cosx,g(x)—sinx—cosx,h(x)=min(f(x'),gQx')),

則關(guān)于八(久)的命題，以下正確的有()

A.周期為兀B.對(duì)稱軸方程為x=春兀,keZ

C.值域?yàn)椋垡籥,1］D.在區(qū)間《兀［兀)上單調(diào)遞減

11.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABC。—amiGA中，E為棱上一點(diǎn),

且DE=2,F為棱C/i的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BQ上的動(dòng)點(diǎn)，貝女)

A.無(wú)論點(diǎn)G在線段BCi上如何移動(dòng)，都有異面直線&G,當(dāng)。的夾角

用

B.三棱錐A-G4E的體積為108

C.直線4E與BF所成角的余弦值警

D.直線&G與平面BDQ所成最大角的余弦值為:

12.設(shè)區(qū)3是兩個(gè)非零向量，則下列描述正確的有()

A.^\a+b\=\a\-\b\,則存在實(shí)數(shù)4使得弓=Ab

B.若五1］，則|>+可=|五一』|

C.若|方+石尸團(tuán)+|方則反=3

D.若日與石的方向相反,則|五+石|=國(guó)-|方|

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知隨機(jī)變量(服從正態(tài)分布N(0?2),若p((>2)=0.06,則P(-2<<<2)=

14.四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色.共

有種不同的涂色方法。

15.已知4是雙曲線C：/—3=l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)尸與y軸平行的直線交雙曲線C于

P、Q兩點(diǎn)，若△APQ是銳角三角形，則雙曲線C的離心率的范圍______.

16.已知函數(shù)y=/一久2一久+5,該函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的最大值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(本題滿分13分)如圖,某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距布+0海里的B處有一艘走私船,

正沿東偏南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2&海里/小時(shí)的速

度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)Z?處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了

巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以30海里/小時(shí)的速度沿

著直線追擊.

(I)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里？

(U)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

18.已知數(shù)列｛%i｝的前n項(xiàng)和為%,且%=等即(71eN*),ar=

①求證：數(shù)列｛就f為常數(shù)列，并求出數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)〃=—?---1----1---1—，若對(duì)任意的九eN*,%e(0,+8),不等式”<%—2lnx+m恒成立,

a3an

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.如圖，在四棱錐。-43。。中，底面48。。是4。48=/且邊長(zhǎng)為2的

菱形，

側(cè)面P4D是等邊三角形，且平面P2D垂直于底面48CD,G為4。邊中點(diǎn).

(1)求證：BG1平面PAD

(2)求證：AD1PB

(3)求二面角力-BC-P的大小.

20.18.(本小題滿分12分)退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)和人口老齡化背景下的一種趨勢(shì).某機(jī)

構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20?80歲(含20歲和80歲)

之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次［20,30),［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80］繪

制頻率分布直方圖，如圖所示.若規(guī)定年齡分布在［20,40)歲的人為“青年人”，［40,60)為“中年

人”，［60,80］為“老年人”.

(I)若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡;

(兀)將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率.從該城市20-80年

齡段市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為丫，求隨機(jī)變量丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.已知點(diǎn)MQy)在拋物線C：*=2px(p>0)上，M點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2,直線八y=

—|x+b與拋物線交于4B兩點(diǎn).

(I)求拋物線C的方程；

(II)若以力B為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；

(HI)若直線1與y軸負(fù)半軸相交，求44。8面積的最大值.

22.已知函數(shù)/'(x)=(a/+。久+c)eT(aK0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,-2),且在該點(diǎn)的切線方程為4比一y-

2=0.

(I)若/(尤)在［2,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(□)若函數(shù)尸(久)=f(x)-6恰好有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

參考答案及解析

L答案：A

解析：解：A=(x\-7<x<3},集合8={x[l<x<7},

則/U={x|—7<x<3}U{x|l<x<7}={x\—7<x<7].

故選：A.

直接利用并集運(yùn)算得答案.

本題考查了并集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

2.答案：A

解析:

本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

4+3i(4+3i)(l—i)7-i71.

解:Z~~—■~~~Z~----1，

1+i(l+i)(l-i)222

則|Z|=JG)2+(—}2505V2

42

故選：4.

3.答案：B

解析:

本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和解三角形的問(wèn)題，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)可解三角形可得c2=2,再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可得小=4,b2

2,問(wèn)題得以解決.

\0F\=c,PFlx軸，coszOPF=y

.-.sinzOPF=f

cV6

??.cos乙POF若,\0P\=|0F|

sinz.OPF=逅=”,

3

■.■OP-OF=2,

???|。尸|?c?cos乙POF=\OP\-c--=-c-C'—=29

解得c2=2,

即c=V2

???|OP|=V3,

???|PF|=V5xR=1，

P(VXi)，

-+b2-L

???a2—b2—c2=2,

a2=4,b2=2,

x2y2

---k—=1

42

故選：B.

4.答案:D

解析：

本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是通過(guò)系數(shù)的關(guān)系找到與所求有關(guān)的等式，屬于中檔題.

根據(jù)等式(1+*)(1—2x)19=(1—尤)1。90)+拉(尤)的兩邊展開(kāi)式中的爐9的系數(shù)相等、*20的系數(shù)相

等求得的值.

解:由(1+x)(l—2x)19=(1—x)i°g(x)+h(x)

1021029

=(1—%)-(a0+atx+a2x+---+a10x)+b0+b1x+b2x+—FbgX,

由爐9的系數(shù)相等可得c￡.(—2)19+C巖.(—2)18=cw.ag_C90.%。①，

再根據(jù)久2。的系數(shù)相等可得c得?(-2)19=c^aw②.

由①②求得=一3x218,

故選：D.

5.答案：D

解析：解：對(duì)于4因?yàn)槿忮F4-2/。是正三棱錐，故頂點(diǎn)4在底面的射影是底面正三角形的中心，

所以點(diǎn)H是也是△A1BD的垂心，故A正確；

對(duì)于8,因?yàn)槿忮F&-4/。是正三棱錐，而H是底面的中心，故CiH是正三棱錐G-&BO的高

線，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)“與平面&BD垂直的直線有且只有一條，故A、H、的三點(diǎn)共線，即4”的延長(zhǎng)線經(jīng)

過(guò)點(diǎn)G，故8正確；

對(duì)于C,因?yàn)槠矫?BD〃平面CB1D1，而2H垂直平面&BD,所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得4F7垂

直平面C81。],故C正確；

對(duì)于0,可在正三棱錐A—2/D中，算出cosN&4H=f,結(jié)合力4〃BBi，可得直線AH和8%所成

角為arccos在，故。不正確.

3

故選。

因?yàn)槿忮F4—A/D是正三棱錐，所以H是正三角形—2/。的中心，故A正確；根據(jù)正三棱錐4—

aBD和正三棱錐6-&BD的高線都經(jīng)過(guò)H點(diǎn)，結(jié)合垂線的唯一性可得8正確；根據(jù)平面力/￡)〃平

面CBiA，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到C正確；通過(guò)計(jì)算可得直線4”和BB1所成角為arccosg，故。

不正確.

本題給出正方體模型，要我們判斷幾個(gè)命題的真假，著重考查了空間的平行與垂直的位置關(guān)系和正

三棱錐的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：C

解析：解：已知久=a+6,y=a+b2+1,

則y—x=b2+l—b=(b—|)2+|>0,

所以y>x,即久<y.

故選：C.

利用作差法即可比較大小關(guān)系.

本題主要考查不等式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析：解：函數(shù)y=sin(2x+$

27r7T

=sin[(2x+y)--]

nnn

=sin[(2x+-)+---]

=cos[2(x+^)-^],

???要得到函數(shù)y=sin(2x+斜的圖象，

只需將函數(shù)y=cos(2久話)的圖象上所有點(diǎn)向左平移行個(gè)單位長(zhǎng)度.

故選：C.

化函數(shù)y=sin(2rv+；)為y=cos[2(久+勺一§,

根據(jù)圖象平移法則即可得出結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)的圖象平移與轉(zhuǎn)化問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

8.答案：A

解析：解：依題意可得2c=2a,貝Uc=&,所以。2-02=2,

又點(diǎn)氣=宜，解得a=W，從而橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2百.

y/a2+b22

故選：A.

利用橢圓的焦距求解c,利用C的對(duì)稱中心到4B的距離為丑，求解a即可.

2

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題.

9.答案：AC

解析：

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

利用等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出的=1,d=2,由此能求出an.

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

?.?等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn,S3=9,a4=7,

.p3=3的+等d=9

—a1+3d=7

解得Qi=1，d=2,

an=1+(n—1)x2=2n—1,

n(l+2n—1)7

e=n

Sn=-2—-

故選：AC.

10.答案：BCD

解析：解：分別畫出函數(shù)圖象/(%)=sinx+cosx=

V2sin(x+孑)，

g(%)=sinx—cosx=V2sin(x--),

、4

可得函數(shù)h(%)=機(jī)勿｛/(%)，9。)｝的圖象，

由/(%)=9(%)，可得：sinx+cosx=sinx—cosx,

??.cosx=0,解得久=/CTT+pfceZ.

可得函數(shù)f(%)與g(%)的圖象交點(diǎn)

坐標(biāo)(2九兀+泉1),

(2/171+—,—1),kGZ.

由sin(%+9=-1,解得％=2攵兀一"，kEZ；

由sin(%一鄉(xiāng)=-1,解得％=2憶兀一￡,kEZ.

44

由圖象可得：

A.周期7=?—(—￡)=2兀；

44

8對(duì)稱軸方程為久=等兀，kEZ.

C值域?yàn)椋?夜,1］；

力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.答案：ACD

解析:解:在正方體4BCD-4B1GD1中，易證0/1面&BG，又&Gu平面4/G，所以&G1BrD,

所以異面直線&G,當(dāng)。的夾角為》則A正確;

金棱錐&-G4E=心棱錐G-2E=!X等X6=36,則2錯(cuò)誤;

在棱CC］上取點(diǎn)N,使CN=2,連結(jié)BN,NE,FN（如圖）,

4

CZ)

則易知4F8N為直線4E與BF所成角或其補(bǔ)角，可得BN=2g,FN=5,FB=9,

則COSNFBN=(2—/=8=Wio；則直線4E與BF所成角的余弦值為史更，則C正確；

2X9X2國(guó)3V101515

由題意知三棱錐&-BDQ為棱長(zhǎng)為6或的正四面體，作&。，平面BDCi，。為垂足，貝。。為正ABDCi

的中心，且&G。為直線&G與平面8DQ所成角，

所以NCOS&G。=言=J1—笠,當(dāng)點(diǎn)G移動(dòng)到BG的中點(diǎn)時(shí)，&G最短，如圖，

此時(shí)cosN&G。最小，乙41Go最大，此時(shí)COSNAIG。="=里=工，則。正確.

故選：ACD.

推出&G1BD得到異面直線&G,當(dāng)。的夾角為會(huì)判斷4；求解棱錐的體積判斷8；連結(jié)BN,NE,

FN(如圖)，說(shuō)明NFBN為直線2E與BF所成角或其補(bǔ)角，推出直線2E與BF所成角的余弦值，判斷C；

當(dāng)點(diǎn)G移動(dòng)到8Ci的中點(diǎn)時(shí)，&G最短，求出COSN&GO,判斷D.

本題考查命題的真假的判斷，空間幾何體的體積，直線與平面所成角的求法，空間直線與平面的位

置關(guān)系的判斷，是中檔題.

12.答案：AB

解析：

四個(gè)選項(xiàng)都出現(xiàn)了向量模之間的加減運(yùn)算，所以考慮平方處理，整理后即可得出答案.

本題考查了向量的模，向量的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是根據(jù)向量模之間的加減運(yùn)算聯(lián)想到對(duì)式子進(jìn)行

平方處理，屬于中檔題.

解：對(duì)于4：|五+3|=|初-舊|,兩邊平方可得

a2+2a-b+b2=a2-2\a\\b\+\b\^

所以五.方=-\a\\b\^

而五?b=\a\\b|cos<a，b>，

所以一|五||b|=|a||h|cos<a，b>，

所以cos<3,b>=-1，所以<落b>=180°，

所以五與另共線且反向，

所以存在實(shí)數(shù)2<0,a=Ab,故A正確，

對(duì)于8：因?yàn)橛?b，

所以五?至=0，

對(duì)|E+力|=|N—b|兩邊平方可得五之+2五.另+片=于—2萬(wàn).3十片，成立,故B正確,

對(duì)于C：對(duì)I五+另I=㈤+向兩邊平方可得f+28/=片+2|初|||+|||2,

所以小3=\a\\b\，

所以|初|b|cos<方，b>=|a||b|>

所以cos〈落b>=1>即<落b>=0°>

所以反與石同向，但五不一定等于B，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。：由力選項(xiàng)可知，只有當(dāng)a<o且|初21片時(shí)，才有?五+3|=?五?-13|,故。不正確.

故選：AB.

13.答案：0.88

解析：解：???隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(0R2),

???正態(tài)曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，

???P(f>2)=0.06,

<-2)=0.06

P(-2<f<2)=1-0.06X2=0.88,

故答案為：0.88,.

根據(jù)隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(0,M),得到正態(tài)曲線關(guān)于％=0對(duì)稱，根據(jù)P(f>2)=0.06,得到對(duì)

稱區(qū)間上的概率，從而可求P(-2<f<2).

本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性，考查對(duì)稱區(qū)間的概率

相等，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

14.答案：120

依題意只能選用4種顏色，要分四類：

②與⑤同色、④與⑥同色，則有號(hào)

③與⑤同色、④與⑥同色，則行A：

②與⑤同色、③與⑥同色，則有A：

解析：

③與⑤同色、②與④同色，則行斗；

②與④同色、③與⑥同色，則有A：

所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5-<=120

15.答案：(1,2)

解析：解：???△APQ是銳角三角形，

???NPAF為銳角，

???雙曲線關(guān)于工軸對(duì)稱，且直線4B垂直式軸，

???/.PAF=/.QAF<45°

PF<AF

???F為座焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為(-c,0)

所以4(a,0)

所以PF=叱，AF=a+c

a

1.2

<a+cBPc2—ac—2a2<0

a

解得-1<(<2

雙曲線的離心率的范圍是(1,2)

故答案為：(1,2)

利用雙曲線的對(duì)稱性及銳角三角形NP4F<45。得到AF>PF,求出4的坐標(biāo)；求出AF,PF得到關(guān)于

a,b,c的不等式，求出離心率的范圍.

本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：。2=42+62、考查雙曲線的離心率問(wèn)題就是

研究三參數(shù)a,b,c的關(guān)系.

16.答案:20

解析：解：求導(dǎo)數(shù)可得y'=3--2x-1=(%-1)(3%+1)

???函數(shù)在［0,1)上，/<0,函數(shù)單調(diào)遞減，在(1,3］上，/>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

二函數(shù)在x=1處取得最小值4,

?；久=0時(shí)，y=5；x=3時(shí)，y=20

.?.在x=3處取得最大值20,

故答案為：20.

求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的單調(diào)性，從而可得結(jié)論.

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.

17.答案：解：如圖，由題意知，

在三角形BCD中，

所以當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)巡邏艇時(shí)，兩船相距海里;

因?yàn)?/p>

所以設(shè)追擊時(shí)間為3則

所以

即巡邏艇被騙東15。方向才能最快追上走私船.

(II：a=30°NFCE=45°-30°=15°nasin1350001

■1'----=----=—sina=——x——=—,

i，|5C|=2^至342t口中根據(jù)余弦定理

5L[2)先求

sinZABCsin60°.,-&,11M9

?―2^/2=~2^3~''Sm=-'^ABC=45U用正弦定理求出，即可求

齊ZCBD=180°-(60°+45°+45°)=30°,

Z.CDE=360°-(90°+135°)=135°Z.DCE

18.答案：①證明：由Sn=等an,得%_1=等與_1，n>2,

._rc_九+2n+1

???an=~^n-1=~an-an-l?

._?i+lan_

a

n=q九一1'n(n+l)一九(九一1)'

由的=%得島=￡=a

???數(shù)列｛就=｝為常數(shù)列，

an=0,nEN*?

②Tn=—+—+—+???+—

。2。3

m1,11,,11,11、

=o(1-------1-----------F???~\---------------1-------------)

'223n-1nn九+1/

1

=6(1-何)<6,

??.x-2lnx+m>6,即zn>6—x+2仇%對(duì)任意的(0,+8)恒成立,

.22-X

令f(%)=6—%+21nx,則/'(%)=-1+一=--

XX

當(dāng)尸(%)=0時(shí),%=2；當(dāng)/'(%)>0時(shí),xe(0,2)；

當(dāng)［(%)<0時(shí)，xE(2,+oo),

???/(%)的最大值為/(2)=4+2伍2,

故771>4+"4.

解析：①由5=等即，得S“_i=萼anT，nN2,由此證明數(shù)列｛七｝為常數(shù)列，且“中

neN*.

@Tn=/+、+/+…+止=6(1+…+六W)=6(1-W)<6，從而X-

Ct]U2U/iZZD71_1TLTlTIT1

2lnx+m>6,即m26—x+2)久對(duì)任意的(0,+8)恒成立，由此結(jié)合已知條件求出niN4+伍4.

本題考查常數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.

19.答案：(1)證明：由己知可得，△48。為等邊三角形,

??,G為2D的中點(diǎn)，???BG1AD,

又平面PAD_L平面A8CD,平面C平面ABC。=AD,

：.BG_L平面PAD；

(2)證明：???△PAD是等邊三角形且G為4。的中點(diǎn)，

???AD1PG,

***ADJ_BG,PGDBG=G,

???AD_L平面PBG,又PBu平面PBG,

AD1PB-,

⑶解：vAD1PB,AD//BC,：.BCX.PB,

???BG1AD,AD//BC,

BGYBC>

??.NPBG是二面角A-BC-P的平面角，

在直角APBG中，PG=BG,；.乙PBG=45°,

二面4一BC-P的平面角是45。.

解析：(1)由已知可得，△4BD為等邊三角形，由G為4。的中點(diǎn)，得BG14。，再由面面垂直的性質(zhì)

可得BG1平面PAD；

(2)由AP力。是等邊三角形且G為4。的中點(diǎn)，可得4。1PG,結(jié)合(1)利用線面垂直的判定可得力。1平

面P8G,從而得至必。1PB；

(3)首先證明NPBG是二面角4-BC-P的平面角，然后結(jié)合PG=BG即可求得二面力-BC-P的平

面角.

本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了二面角平面角的求法，是中檔題.

20.答案:

⑴48(歲)；，

(2)隨機(jī)變量X的分布到如下表：〃

——

X0123

6448121

1p

125125125125

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x早+lx弋+2x=+3x±=±.

解析:

(1)由題意估算，所調(diào)查的600人的平均年齡為：25x0.1+35x0.2+45x0.3+f

(2)由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占的頻率為L(zhǎng).

5

.?.從該城市20―80年齡段市民中隨機(jī)抽取1人，抽到“老年人”的概率夕

依題意，X的可能取值為0,1,2,3.,

?1043,64,1,142,48

P(^=0)=C°(-)°(-)=—；P(AT=l)=Cj(-)(-)=--;P

。。XJJJXJ

P(X=2)=氓)20]=三：P(X=3)=c的300=點(diǎn).。

JJJkJJJ?J

21.答案：解：(1)拋物線必=2「％3>0)的準(zhǔn)線為乂=*,

由拋物線定義和已知條件可知|MF|=1-(-^)=1+^=2,

解得p=2,故所求拋物線方程為y2=4%.

(切聯(lián)立代=一/十乙消x并化簡(jiǎn)整理得必+8y—86=0.

ly2=4x

依題意應(yīng)有△=64+32b>0,解得b>-2.

設(shè)2(%i，%),B(x2,y2),則％+-2=-8,y1y2--8b,

設(shè)圓心QQo，yo),則應(yīng)有沏=且產(chǎn),以)="產(chǎn)=-4.

因?yàn)橐粤為直徑的圓與式軸相切，得到圓半徑為r=|yol=4,

22

又依用=Vfe-x2)+(yi-y2)=J(1+4)(為一當(dāng)產(chǎn)

=J5[(yi+%)2—4月為]=[5(64+326)

所以|4B|=2r=/5(64+326)=8,

解得b=

所以％1+乂2=2?！?yl+2b—2y2=4b+16=￡,所以圓心為(g,—4).

故所求圓的方程為。-y)2+(y+4)2=16.

(HI)因?yàn)橹本€/與y軸負(fù)半軸相交，所以6<0,

又/與拋物線交于兩點(diǎn)，由(II)知6>-2,所以一2Vb<0,

直線Ay=—緊+6整理得久+2y—2b=0,

點(diǎn)。到直線/的距離d=臂=,，

所以SFOB=|\AB\d=-4bV2V2+b=4V2V/?3+2b2.

令g(6)=廬+2塊，—2<b<0,g'(6)=3爐+46=3%(b+1),

444

b(-2,-3)(一于0)

3

g3+0—

g(b)單調(diào)增極大單調(diào)減

由上表可得g(b)最大值為=||.

所以當(dāng)b=-J時(shí)，△2。8的面積取得最大值必旦

39

解析：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注

意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用.

(I)拋物線f=2px(p>0)的準(zhǔn)線為久=心,由拋物線定義和已知條件可知|MF|=1—(—柒=1+

2,由此能求出拋物線方程.

(⑥聯(lián)立?=~2x+b,消X并化簡(jiǎn)整理得y2+8y_8b=。.依題意應(yīng)有。64+32b>0,解得6>

ly2=4%

-2.設(shè)4(汽1，%),8(%2，、2)，則71+為=一8，y1y2=-8b,設(shè)圓心Q(&,yo),則應(yīng)有％。二也產(chǎn),=

中=-4.因?yàn)橐粤為直徑的圓與無(wú)軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4,由此能夠推導(dǎo)出圓的方程.

(HI)因?yàn)橹本€gy軸負(fù)半軸相交，所以6<0,又I與拋物線交于兩點(diǎn)，由(H)知b>-2,所以一2<b<

0,直線八y=—科久+6整理得x+2y-2b=0,點(diǎn)。到直線/的距離d=詈=潦，所以S“0B=

\\AB\d=-4bV2V2TT=4岳廬短廬由此能夠求出AOB的面積的最大值.

22.答案:解:(1)由/(0)=—2,可得c=—2…(1分)

求導(dǎo)函數(shù)可得/'(%)=(—ax2+2ax-bx+b—c)e~x,/'(0)=(b—c)e0