2022-2023學(xué)年北京市延慶區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市延慶區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

題號(hào)一二三總分

得分

一、單選題(本大題共10小題，共分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={x|x+1>0},集合B={x||x|22},貝！!()

A.AQBB.QVA={x\x<-1}

C.AVJB—{x\x>2}D.Ar\B-{x\x>2)

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+3i)z=2+4i,貝收的虛部為()

A.B.-|iC.D.|

3.已知拋物線的焦點(diǎn)是F(-2,0),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.y2=4xB.y2=—4xC.y2—8xD.y2——8x

4.已知6(0,—2),F2(0,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足〔PF/—|P&I=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()

A.%2-=1B.y2—y=1

C.X2-y=1(%>0)D.y2—y=l(y>o)

5.與圓Ci：/+y2=i和02：/+、2一8尤+12=0都外切的圓的圓心在()

A.一個(gè)橢圓上B.一條雙曲線上C.一條拋物線上D.雙曲線的一支上

6.已知直線/和雙曲線C,那么“/與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是，與C相切”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2?

7.若雙曲線的方程為5―登=1，則它的離心率與漸近線方程分別為()

916

54535354

A+艮C+D+

-y--X--3y---X-y--X

3344?443

8.己知拋物線必=4久和點(diǎn)4(5,3),F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)，貝i」|P4|+|PF|的

最小值是()

A.5B.6C.7D.8

9.過(guò)拋物線必=4尤的焦點(diǎn)F的一條直線與此拋物線相交于4B兩點(diǎn)，已知4(4,4),則線段48

的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是()

10.已知點(diǎn)P在拋物線/=-6y上，且4(0,-2),則|P*的最小值為()

A.2B.V3C.3D.4

二、填空題(本大題共5小題，共分)

11.函數(shù)y=lg(3/+2%—1)的定義域?yàn)?

12.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0),且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,四)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

13.函數(shù)y=卜;'一1W"三°,的值域?yàn)?

14.已知△48C中，b=2,c=V3，B=30°,則s譏C=,a=.

15.已知雙曲線最一r=l(a>0,6>0)的左右焦點(diǎn)分別為a(-c,0),F2(C,0)(C>0),P是

雙曲線上的一點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①|(zhì)P&|的最小值為c-a；

②若直線I的斜率與雙曲線的漸近線的斜率相等，則直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

③點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為嘩；

JC2

④若過(guò)B的直線與雙曲線的左支相交于力，B兩點(diǎn)，如果MF2I+\BF2\=2MBl，那么|力切=2a.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題(本大題共6小題，共分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(本小題16.0分)

根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(I)圓心在點(diǎn)4(2,—1),且過(guò)點(diǎn)B(-2,2)；

(11)過(guò)點(diǎn)。(0,0)和點(diǎn)。(0,2),半徑為2；

(IH)E(l,2),尸(3,4)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；

(W)圓心在直線/：2x+3y-8=0上，且過(guò)點(diǎn)P(l,0)和點(diǎn)Q(3,2).

17.(本小題14.0分)

如圖，已知點(diǎn)2(2,1),圓C：x2+y2=4.

(I)求過(guò)點(diǎn)4的圓的切線方程；

(U)設(shè)過(guò)點(diǎn)4B的直線交圓C于。，E兩點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)；

(HI)求經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)B且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的方程.

18.(本小題13.0分)

如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體2BC0中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).

(I)求證：AB1〃平面CDDiG；

(H)求證：ABt1ArM-,

(HI)求二面角B-ArM-G的大小.

19.(本小題15.0分)

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是正式-1,0),6(1，。)，橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于2夜，

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線Ay=2x+m與橢圓C相交于4,B(不重合)兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(口)求小的取值范圍；

(m)求|4B|的最大值.

20.(本小題15.0分)

已知橢圓C的焦點(diǎn)在%軸上，焦距為2企，離心率為苧，過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線I與橢圓C交于4B(

不重合)兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為。(0,0).

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）若線段4B的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線1的方程；

（川）若點(diǎn)。在以線段4B為直徑的圓上，求直線I的方程.

21.（本小題12.0分）

對(duì)非空數(shù)集x,丫，定義x與丫的和集x+丫={%+叫％6乂、6門(mén).對(duì)任意有限集4記⑷為集

合a中元素的個(gè)數(shù).

（I）若集合X={0,1,2},y={135,7,9},寫(xiě)出集合X+X與X+Y；

（口）若集合乂={/,久2,…，久1012}滿足與<x2<???<x1012,且|X+X\<2024,求|X+X\.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：???集合A={x\x+1>0]={x\x>-1},集合B={x||x|>2}=(x\x<-2或%>2],

:.CyA={x\x<—1},A\JB={x\x<—2或%>—1},AC\B={x\x>2],

故選：D.

先求出集合4B,再利用集合的基本運(yùn)算求解即可.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：,??(1+3i)z=2+43

「

??_~~2+4i_(2+4i)(l-3i)_14_2i_7~11..

l+3i(l+3i)(l-3i)1055

Z的虛部為—(，

故選：C.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)的概念得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：???拋物線的焦點(diǎn)是玖-2,0),

2=2,"P=4,

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是外=-8比，

故選：D.

先求出p=4,再求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：,??&((),一2),F2(0,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足|P&|-IPF2I=2,

???動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是雙曲線真-'=l(a>0,b>0)的上支，

且a=1,ft2=4-1=3.

2

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2-三=1.(y>0).

故選：D.

22

由雙曲線的定義得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是雙曲維-￡=l(a>0,6>0)的上支，且a=l,由此能

求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

本題考查雙曲線的定義及其方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為M,半徑為r,

圓G：/+/=1的圓心為圓的(0,0),半徑為1,

圓。2：產(chǎn)+丫2一8x+12=0的圓心為。2(4,0),半徑為2,

由題意可得，=1+r,|"。21=2+r,

則IMQI—|MCi|=(2+r)-(1+r)=1<|如Q|=4,

點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支上.

故選：D.

根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，以及雙曲線的定義，即可求解.

本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，以及雙曲線的定義，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：若直線1與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線I與雙曲線C相切或直線/與雙曲線C的漸

近線平行，

若直線，與雙曲線C相切，則直線I與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以?與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是?與C相切”的必要不充分條件.

故選：B.

由雙曲線的性質(zhì)可知，當(dāng)直線/與雙曲線C相切或直線/與雙曲線C的漸近線平行時(shí)，直線/與雙曲線

C只有一個(gè)公共點(diǎn)，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

2?

【解析】解：,??雙曲線的方程為5—2=1,

916

b=4,c=A/9+16=5,

?,?它的離心率為e=-=|,

a3

漸近線方程為y=±

故選：C.

利用雙曲線的離心率、漸近線方程的定義直接求解.

本題考查雙曲線的定義、離心率、漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=\PD\,

\PA\+|PF|取得最小值,即求|P4|+|PD|取得最小，

當(dāng)D,P,2三點(diǎn)共線時(shí)|P2|+|PD|最小，

由4點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3),拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為尤=-1,

此時(shí)|P4|+\PD\=\AD\=5-(-1)=6.

即|P*+|PF|的最小值為6.

故選：B.

根據(jù)題意畫(huà)出圖象，根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=\PD\,\PA\+PF\=\PA\+\PD\,當(dāng)O,P,4三

點(diǎn)共線時(shí)|P4|+|PD|最小，|4叫即為|P川+|PF|的最小值.

本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了計(jì)算能力，屬于中

檔題.

9.【答案】A

【解析】解：由題意得，焦點(diǎn)F(LO),

AB所在直線方程為4x—3y—4=0,

直線與拋物線聯(lián)立儼2=y/n,

(4%—3y—4=0

得4/-17x+4=0,

由韋達(dá)定理得/+久2=%,4B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為不

???線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離是1+1=意.

OO

故選：A.

求得所在直線方程，利用韋達(dá)定理求得4B中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.

本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P在拋物線尤2=-6>上，

|P4|2=/+(、+2)2=y2_2y+4=(y—I)2+3,

???y<0,y=0時(shí)|P2|取得最小值2.

故選：A.

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得|P4|的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.

本題考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題.

11.【答案】(一8,-1)0(,+8)

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=lg(3/+2%-1),貝Ij3%2+2%-1>0,則％<-1或汽>§,

則函數(shù)的定義域?yàn)?一8,-1)u(1,+oo),

故答案為：(-8,—l)U?,+8).

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可解.

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】2五當(dāng)—件=\

【解析】解：???雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(一2,0),且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,a),

???設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為真—￡=l(a>0,b>0),

且c=2，2a=心+(魚(yú)產(chǎn)_J(&)2=2V2>

?,?雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2V2,

/72==4—2=2,

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為19=1.

=1

故答案為：2V2;Y-T-

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為最一，=l(a>0,b>0),貝!k=2,2a=J42+(V2)2-J(V2)2=2A/2>

由此能求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

本題考查雙曲線的定義、方程、實(shí)軸長(zhǎng)、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】［0,1］

'2

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)y=I**三°,

(PX,O<%<1

則當(dāng)一IWKWO時(shí)，y=/，貝?。?<yWL

當(dāng)0<xW1時(shí),y=(1)*，則|wy<l，

則函數(shù)的值域?yàn)椋?,1］,

故答案為：［0,1］.

根據(jù)事函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可解分段函數(shù)的值域.

本題考查幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】V33+V13

-42-

【解析】解：???△ABC中，b=2,c=W，B=30°,

由正弦定理肅=焉得而。=學(xué)=學(xué)

由余弦定理接=a2+c2—2accosB,得標(biāo)—3a—1=0,

??「、八3+V13

?a>0,CL——--

故答案為：￥；3+V13.

42

由正弦定理求出siziC,再利用余弦定理求出a.

本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】①③

【解析】解：①，P是雙曲線上的一點(diǎn)，??.|Pf;|的最小值為c一a,.?.①正確，

②，若直線/的斜率與雙曲線的漸近線的斜率相等，則直線［與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)或無(wú)公共點(diǎn)，

②錯(cuò)誤，

③，雙曲線的漸近線方程為y=fiPbx+ay=0,設(shè)P(ni,n),

,?,。是雙曲線上的一點(diǎn)，；.整-5=1,；.62?712-(12?12=￡12匕2,

\bm+an\\bm—an\.b2m^—a2n2,.a2b2

則點(diǎn)p到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為『十I——I=.,.?.③正確,

加2+廬〃+廬

若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支相交于4B兩點(diǎn)，貝+\BF2\=\AFr\+|BFt|+4a=

\AB\+4a=2\AB\,

\AB\=4a,④錯(cuò)誤，

故答案為：①③.

利用雙曲線的性質(zhì)判斷①，利用直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷②，利用雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)

到線的距離公式判斷③，利用雙曲線的定義判斷④.

本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

16.【答案】解：(I)由題意得，r=\AB\=V(2+2)2+(-l-2)2=5,

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+I)2=25.

(II)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久-a)2+(y-b)2=4,

???點(diǎn)C(0,0)和點(diǎn)D(0,2)在圓上,

a=V3

，解得:

2-A,b=1'

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％-V3)2+(y-l)2=4.

(HI)E(l,2),F(3,4)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),即圓心坐標(biāo)為(2,3),

r=1|FF|=：XJ(1-3乃+(2-4尸=傳

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為Q-2)2+(y—3)2=2.

(W)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,

2a+36-8=0fa-1

由題意得，卜1-a)2+b2=r2,解得：、b=2,

(3—a)2+(2-b)2-r2(r=2

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=4.

【解析】即為半徑，求得圓的半徑即可求解；

(口)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久-。產(chǎn)+(y-b)2=4,利用待定系數(shù)法即可求解；

(m)F,F中點(diǎn)即為圓心，求得圓心坐標(biāo)與半徑即可求解；

(W)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-a)2+(y-b)2=r2,利用待定系數(shù)法即可求解.

本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I)當(dāng)斜率不存在時(shí)，%=2,與圓相切；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為殷切線方程為質(zhì)-y-2k+l=0,

圓心(0,0)到切線的距離為丁丁-2,

解得士=—P

此時(shí)切線方程為3x+4y-10=0,

綜上所述，過(guò)點(diǎn)4的圓的切線方程為％=2或3比+4y-10=0.

(口)由題意得，4B所在直線方程為％-y-1=0,

*'+(T)

(皿)由垂徑定理可知，過(guò)點(diǎn)B且與。B垂直的直線被圓截得弦長(zhǎng)最短,

OB的斜率為一2,

???直線的斜率k=}

二直線方程為y+1=T（x—；）,BP3x—6y—5=0.

【解析】（I）當(dāng)斜率不存在時(shí)久=2,滿足題意，斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,圓心到直線的距離為

半徑，求得匕即可求得切線方程；

（□）求得力B所在直線方程，利用|DE|=2尸二手，即可求解；

（皿）由垂徑定理可知，過(guò)點(diǎn)B且與。B垂直的直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，即可求解.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

18.【答案】（I）證明：連接G。，

因?yàn)锳D=SiQ,所以四邊形ADBiQ為平行四邊形,

所以A8//C1。，

又AB】C平面CDDiQ,JDu平面。。久的，

所以481〃平面。。。1。「

（II）證明：在正方形4BB14中，

由正方體的性質(zhì)知，8Ml平面43名久,

因?yàn)锳B】u平面4B814,所以1AB1,

又=4遇、BMu平面&BM,

所以AB11平面&BM,

因?yàn)閡平面&BM,所以力當(dāng)1ArM.

（HI）解：設(shè)與CD1相交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NP于點(diǎn)P,連接C/,則NC/N為二面角C—

為"-6的大小，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4,所以由勾股定理得，CrN=2V2，ArN=2V6.MN=2V3,41M=6,

所以41N2+MN2=21^2,即N4INM=90。，

所以「'=喀=迤簪=2奩，

A-yM6

在RtACiNP中，tanNGPN=鬻=翡=1,所以NC1PN=45°,

而二面角8—ArM—G與二面角C—A^M—6互補(bǔ)，

所以二面角8-4M-6的大小為135。.

【解析】（I）連接G。，先證四邊形4DB1G為平行四邊形，得4B//GD,再由線面平行的判定定

理，得證；

（II）由4B1141B,BM1AB「結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，得證；

（IE）設(shè)與CD1相交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NP1于點(diǎn)P,連接C】P,則NQPN為二面角C一4M-皂

的大小，結(jié)合勾股定理與三角函數(shù)，求得N&PN,再利用二面角B—&M—J與二面角C—4M-

G互補(bǔ)，得解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+，=1（。>6>0）,

所以2a=2V2,可得a=V2,因?yàn)閏=1,所以b=Va2-c2=1,

2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為段+y2=1；

y=2%+m

（II）直線&y=2%+租與橢圓C的方程聯(lián)立卜2

匕+>=1

2

消去y,整理得9久2+smx+2m—2=0,

由4=64m2—4x9x(2m2—2)>0,可得一3<m<3,

即m的取值范圍是(一3,3)；

(HI)設(shè)B(x2,y2),

27n2_2

由(n)可得久i+%2=—%i%2=----------,

9

2=

則\AB|=Vl+2|%—xlV5xJ—4%I%2=V5x/—所8_小

t2v\olyx

浮嚕當(dāng)且僅的=。時(shí)等號(hào)成立,

所以|48|的最大值為蜉.

【解析】（I）根據(jù)題意可求得a,b,c的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（口）直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y,利用/>0即可求解小的取值范圍；

（ni）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式即可求解的最大值.

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓方程的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+%=1（。＞力〉0），

所以2c=2迎，？=￡=￥，解得a=2,c=V2,所以2=7a?-c?=

a2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+4=1;

42

（口）由題意可設(shè)直線［的方程為y=-3）,設(shè)4（久1，%）,8（%2，丫2），

貝監(jiān)+&=2,yi+y2=-4fc,

兩式相減可得號(hào)1+號(hào)=。,

1工工1+%2

所以力一及二

巧一力22丫1+丫2’

11

即fX+

c2--2-

所以直線/的方程為y=±-(x—3),即x—2y-3=0或x+2y-3=0.

(HI)由題意可設(shè)直線/的方程為y=k(x—3),設(shè)AO[,月)，B(x2,y2),