行列式按一行列展開

行列式按一行列展開例如一、余子式與代數(shù)余子式第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．證當(dāng)位于第一行第一列時(shí),即有又從而再證一般情形,此時(shí)第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天得第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天得第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天中的余子式第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天故得于是有第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天定理4.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或二、行列式按行（列）展開法則第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天下面我們對(duì)行的情形給出證明：證第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例1第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

證用數(shù)學(xué)歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天n-1階范德蒙德行列式第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天證第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天同理相同第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例３計(jì)算行列式解按第一行展開，得第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例４計(jì)算行列式解第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天*拉普拉斯定理第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天定理4.1（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式D中任意取定了k(1≤k<n)個(gè)行。由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例證明第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天證明按前k行展開根據(jù)拉普拉斯定理，去掉為零的項(xiàng)立即可得結(jié)論，這相對(duì)上一節(jié)的方法而言，明顯簡(jiǎn)單得多。第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例1計(jì)算5階行列式第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

所以D=12－6=6.解:對(duì)D的第1,3行用Laplace定理,在第1,3行中不為零的二階子式分別是

它們各自對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式是第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例2計(jì)算2n階行列式第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解對(duì)的第n,n+1行應(yīng)用Laplace定理（按第n,n+1

行展開）得第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天利用這個(gè)遞推關(guān)系式有第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天定理4.2(對(duì)角塊行列式乘法法則)

,則若若

三角塊，則推論第37頁,共3