高數(shù)一第一章函數(shù)與極限

高數(shù)一第一章函數(shù)與極限

教師信息岳洪（0）F527Tel:59925831E-mail:ye142@126.com理學(xué)院數(shù)學(xué)系第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？（1）學(xué)習(xí)先進(jìn)的思想方法（2）訓(xùn)練自己的思維（3）為后續(xù)課程打基礎(chǔ)（4）為進(jìn)一步深造作準(zhǔn)備第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)?聽課

—學(xué)習(xí)的中心環(huán)節(jié)(1)首先做好中學(xué)到大學(xué)的過渡（2）抓好四個環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)——聽課——復(fù)習(xí)——作業(yè)①做好課堂筆記，記下例題。②緊跟教師思路不懂之處作記號。認(rèn)識對象－辨識問題，歸納問題。學(xué)會類比－解題思路，挑選方案。第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)

—自我訓(xùn)練的重要一步要求：清潔工整、抄上題目、寫出步驟。總評成績：期終考試

80%平時測驗、作業(yè)

20%第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天本學(xué)期內(nèi)容第一章 函數(shù)與極限第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第一章函數(shù)與極限第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，微分和積分也就立刻成為必要的了。

第一、二節(jié)函數(shù)——恩格斯笛卡兒(法)（Descartes）（1596——1650）1637年出版的《方法論》的附錄《幾何》部分是他關(guān)于坐標(biāo)幾何和代數(shù)的思想第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

一.區(qū)間與鄰域——閉區(qū)間；數(shù)集(a,b)——開區(qū)間；[a,b),(a,b]—半開(半閉)區(qū)間有限區(qū)間數(shù)集[a,b]無限區(qū)間區(qū)間：第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天此區(qū)間稱為點a的鄰域,記為稱為點a的去心鄰域,δ

稱為鄰域半徑。a稱為鄰域中心，若此鄰域中不包含點a,即記為或x。。a.鄰域：第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

二、函數(shù)函數(shù)的定義1：兩變量x,y,當(dāng)一個變量x

在實數(shù)域的某個范圍取一確定值時，另一個變量y

依照一定的法則（f），總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)則稱y是x

的函數(shù)。x—自變量，y—因變量.（定義域D）（y的取值范圍稱為值域W）,

函數(shù)是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科研究的基本對象，是用來表達(dá)變量之間完全確定的依賴關(guān)系的一個數(shù)學(xué)概念。1.函數(shù)概念第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的定義x—自變量，y—因變量.定義域D值域

第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的自然定義域：自變量的最大取值范圍例：=D=R=Z0xy-11構(gòu)成函數(shù)的基本要素：定義域及對應(yīng)法則函數(shù)的圖象：所確定的平面點集。(一般為平面曲線)第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的自然定義域：自變量的最大取值范圍例：0xy構(gòu)成函數(shù)的基本要素：定義域及對應(yīng)法則函數(shù)的圖象：所確定的平面點集。(一般為平面曲線)第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天相等函數(shù)：判斷下列函數(shù)是否為相等函數(shù)：必須對應(yīng)關(guān)系與定義域都相等。例：①（常值函數(shù)）②③④定義域不同對應(yīng)關(guān)系不同第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天單值函數(shù)與多值函數(shù)：這種對應(yīng)關(guān)系稱為單值對應(yīng)。當(dāng)自變量在D內(nèi)任取一數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值是唯一的一個，則函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)。為多值函數(shù)，為多值函數(shù)，其主值為單值函數(shù)，為其單值分支。第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(1)絕對值函數(shù)(2)符號函數(shù)再介紹幾種函數(shù)：0xysgnx=0xy1-1顯然，.。。第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(3)取整函數(shù)符號函數(shù)與取整函數(shù)都是微機(jī)中的標(biāo)準(zhǔn)表示不大于x的最大整數(shù)。如：[3.14][0.15](圖象見書P.9圖1—5)函數(shù)。把3.14159四舍五入取四位小數(shù)，可作[3.14159×104+0.5]÷104=3.1416=3,=-4,=0.第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(4)狄里克利函數(shù)由此，還可構(gòu)造出許多奇特的函數(shù)，如：它們符合函數(shù)的定義，但它們的圖象卻不是曲線段所能表示的。第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的（顯式）公式表示法（分段函數(shù)）若在自變量的不同范圍內(nèi)用不同的式子所表示的函數(shù)，如符號函數(shù)，絕對值函數(shù)等，0xy12又如第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的隱式表示：——隱函數(shù)為函數(shù)的顯式表示又如——顯函數(shù)若寫成：為函數(shù)的隱式表示若其中隱含第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的參數(shù)表示：表示擺線（旋輪線）的一擺。引入?yún)?shù)來建立x,y

的函數(shù)關(guān)系：表示：f：X→Y→如：表示上半圓周第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xa圓上任一點所畫出的曲線。關(guān)于旋輪線的動畫演示一圓沿直線無滑動地滾動，第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天x來看動點的慢動作圓上任一點所畫出的曲線。一圓沿直線無滑動地滾動，關(guān)于旋輪線的動畫演示第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)其幾何意義如圖示ta當(dāng)

t

從02，x從02a即曲線走了一拱a觀察動點的軌跡:第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板旋輪線也叫擺線單擺第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天.將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板

旋輪線也叫擺線單擺x=a(t–sint)y=a(1–

cost)第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天.將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板

旋輪線也叫擺線單擺兩個旋輪線形狀的擋板,

使擺動周期與擺幅完全無關(guān)。在17世紀(jì)，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。擺的運動軌跡也是一條旋輪線，第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a(圓內(nèi)旋輪線)

一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。觀察動點的運動星形線第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a觀察動點的運動

星形線(圓內(nèi)旋輪線)第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a0

2或.P

星形線(圓內(nèi)旋輪線)第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的極坐標(biāo)表示第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。

心形線(圓外旋輪線)函數(shù)的極坐標(biāo)表示觀察動點的運動第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyoaa2a觀察動點的運動

心形線(圓外旋輪線)函數(shù)的極坐標(biāo)表示第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天xyo2ar=a(1+cos

)0

20

r2aP

r

心形線(圓外旋輪線)函數(shù)的極坐標(biāo)表示第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2ar=a(1+sin

)0

20

r2aP

r

心形線(圓外旋輪線)函數(shù)的極坐標(biāo)表示xyoa第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、具有特殊性質(zhì)的四類函數(shù)(1)奇偶性f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，對任一若都有則稱f(x)為偶函數(shù)；若都有則稱f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例1：解：例2：解：（奇）第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(2)有界性③有界。否則稱f(x)

在D

上無界。設(shè)f(x)的定義域為D，若存在正數(shù)M，使對任一則稱f(x)

在D

上有界，如：①=M，∴為D上的有界函數(shù)。②無界。oxy1第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天但不單調(diào)。(3)單調(diào)性統(tǒng)稱f(x)為I

上的單調(diào)函數(shù)，I

為單調(diào)區(qū)間。設(shè)f(x)的定義域為D，區(qū)間對I

上任二點x1,x2,當(dāng)x1<x2

時，若都有則稱f(x)在I

上單調(diào)增加則稱f(x)在I

上單調(diào)減少如：0xy第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(4)周期性且指最小正周期。設(shè)f(x)的定義域為D，若存在數(shù)l(l≠0),使對任一個都有則f(x)為周期函數(shù)，l為f(x)的周期，y=sinx,y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)。（函數(shù)的四則運算自復(fù)習(xí)）第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天四、函數(shù)的四則運算設(shè)f(x),g(x)的定義域為D1，D2,則定義兩個函數(shù)的運算如下：第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天五、復(fù)合函數(shù)簡稱復(fù)合函數(shù)，記作其中u

稱為中間變量。即u=φ(x)

的值域Z(φ)與y=f(u)的定義域D(f)的交集非空時為復(fù)合函數(shù)。設(shè)y

是u

的函數(shù)：y=f(u),而u

又是x

的函數(shù)：u=φ(x),且φ

(x)

的值域全部或部分包含在f(u)

的定義域內(nèi),則y

通過u成為x

的函數(shù)：由y=f(u),

u=φ(x)

復(fù)合而成，第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例題討論(1)1.討論下列函數(shù)的復(fù)合情況：全部落入(2)部分落入(3)沒有落入不能復(fù)合第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.把下列復(fù)合函數(shù)分解成簡單函數(shù)：(1)(2)(3)(4)第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天課內(nèi)練習(xí)1.下列函數(shù)能否復(fù)合成一個函數(shù)：