數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)

了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程;（重點(diǎn)）01

理解在數(shù)系的擴(kuò)充中的實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念;（重點(diǎn)）02

掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.（重點(diǎn)）03

理解復(fù)數(shù)的分類.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）04認(rèn)真對(duì)待復(fù)數(shù)不承認(rèn)復(fù)數(shù)發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題始于古希臘丟番圖時(shí)期，求解一元二次方程.1545年，卡爾丹（意）在《重要的藝術(shù)》中，求解某些一元三次方程時(shí)無法回避.引入解方程方法1：用三次方程求根公式（卡爾丹公式）．解得：解得：得到：方法2：用因式分解．16世紀(jì)數(shù)學(xué)家的困惑引入接受復(fù)數(shù)認(rèn)真對(duì)待復(fù)數(shù)不承認(rèn)復(fù)數(shù)發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題始于古希臘丟番圖時(shí)期，求解一元二次方程.1545年，卡爾丹（意）在《重要的藝術(shù)》中，求解某些一元三次方程時(shí)無法回避.18世紀(jì)末，韋塞爾（丹麥），給出了復(fù)數(shù)的幾何表示.引入在解決這些問題的過程中，數(shù)學(xué)家們遇到的最大困擾就是：

負(fù)實(shí)數(shù)能不能開平方？如何開平方？負(fù)實(shí)數(shù)開平方的意義是什么？引入笛卡爾Descartes法國(guó)卡爾丹Cardano

意大利1545年，卡爾丹

引入負(fù)數(shù)的平方根；1637年，笛卡兒

給出“虛數(shù)”的名稱；1777年，歐

拉

首次使用符號(hào)i表示－1的平方根；1831年，高

斯

主張用a＋bi表示復(fù)數(shù)；...高斯Gauss德國(guó)歐拉Euler瑞士復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生問題1

從方程的角度看，負(fù)實(shí)數(shù)能不能開平方，實(shí)際上就是方程x2=-a（a＞0）有沒有解的問題．追問

x2+1=0在實(shí)數(shù)集中無解，能否引入新數(shù)，適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程在新數(shù)集中有解呢？能不能把這類問題再進(jìn)一步簡(jiǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的方程x2+1=0有沒有解的問題呢？引入問題2

我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個(gè)數(shù)系.回顧從自然數(shù)系逐步到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？分別解決了什么實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題？探究新知被“數(shù)”出來的自然數(shù)遠(yuǎn)古時(shí)期的人類用劃痕、堆石、結(jié)繩記數(shù)，創(chuàng)造了自然數(shù)1,2,3,4,5……自然數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界最基本的數(shù)量，是全部數(shù)學(xué)的發(fā)源地.計(jì)數(shù)的需要自然數(shù)被“虧”出來的負(fù)數(shù)隨著社會(huì)發(fā)展，出現(xiàn)商品交易.一個(gè)商人上午賣海鮮賺了5兩銀子，下午海鮮死了，虧了7兩銀子.該如何記賬呢？負(fù)數(shù)的引入，解決了在數(shù)集中不夠減的矛盾.相反量的需要負(fù)整數(shù)被“分”出來的分?jǐn)?shù)等額公平分配的需要分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的引入,解決了在整數(shù)中不能整除的矛盾.二桃殺三士春秋時(shí)齊景公將兩個(gè)桃子賜給公孫接、田開疆、古冶子論功而食，三人棄桃自殺.事見春秋·齊·晏嬰《宴子春秋·諫下》，比喻借刀殺人.邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是多少?畢達(dá)哥拉斯（約公元前560—480年）11?度量計(jì)算的需要無理數(shù)被“推”出來的無理數(shù)無理數(shù)的引入解決了開方開不盡的矛盾.

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股定理，該學(xué)派相信萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比，那么兩條幾何線段長(zhǎng)度之間的比值，其結(jié)果也必然是整數(shù)之比.約2500年前畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)，這與“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭.希帕索斯最終為此付出生命的代價(jià)，將一腔熱血獻(xiàn)祭給了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).探究新知數(shù)的擴(kuò)充都是為了解決生產(chǎn)生活中的問題.問題2

我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個(gè)數(shù)系.回顧從自然數(shù)系逐步到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？分別解決了什么實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題？自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集刻畫相反意義的量引入了負(fù)數(shù)解決測(cè)量等分問題引入了分?jǐn)?shù)解決度量正方體對(duì)角線等問題引入了無理數(shù)計(jì)數(shù)的需要引入了自然數(shù)？從社會(huì)實(shí)踐來看引入新數(shù)追問

借助下面的方程，你能從解方程的角度說明數(shù)系擴(kuò)充的原因嗎？

從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看數(shù)系的每一次擴(kuò)充解決了原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能解決的問題．（2）在整數(shù)集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理數(shù)集中求x2-2=0方程的解；

（4）在實(shí)數(shù)集中求x2+1=0方程的解．？集有解（1）在自然集中求方程x+1=0的解；自然數(shù)集無解整數(shù)集內(nèi)有解有理數(shù)集內(nèi)有解整數(shù)集內(nèi)無解有理數(shù)集內(nèi)無解實(shí)數(shù)集內(nèi)有解實(shí)數(shù)集內(nèi)無解問題3

可以看出，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上添加“新數(shù)”得到的，引入新數(shù)就要引入新運(yùn)算，如果沒有運(yùn)算，數(shù)集中的數(shù)只是一個(gè)個(gè)孤立的符號(hào)。加法和乘法運(yùn)算是上述數(shù)系中最基本的運(yùn)算。探究新知

梳理從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過程，數(shù)系的每一次擴(kuò)充，加法和乘法運(yùn)算滿足的“性質(zhì)”有一致性嗎？由此你能梳理數(shù)系擴(kuò)充遵循的“規(guī)則”嗎？探究新知數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則：數(shù)集擴(kuò)充后，新數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算，與原數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律．有理數(shù)集運(yùn)算交換律結(jié)合律分配律交換律結(jié)合律分配律引入了無理數(shù)＋（－）×（÷）＋（－）×（÷）實(shí)數(shù)集運(yùn)算律問題4

類比從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過程，特別是從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過程，你能設(shè)想一種方法，使方程x2+1=0有解嗎？歷史上，新數(shù)i是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一詞的首字母，本意是這個(gè)數(shù)是虛幻的.我們把這個(gè)數(shù)稱為“虛數(shù)單位”

我們可以引入一個(gè)數(shù)“i”，使i2=-1，這樣x=i就是方程x2+1=0的解．

實(shí)數(shù)新數(shù)i加法運(yùn)算乘法運(yùn)算a+ibia+bi(a，b∈R)3+i2i3+2i依據(jù)規(guī)則：在新數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，與原來數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致．問題5根據(jù)上述規(guī)則，你能說出實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成嗎？你能寫出新數(shù)的一般形式嗎？問題6閱讀教科書，回答以下問題：（2）什么是虛數(shù)和純虛數(shù)？試舉出具體例子（1）復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R）的虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部分別是指什么？探究新知1.復(fù)數(shù)的概念形如a+bi

(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).i

叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部b叫做復(fù)數(shù)的虛部注意：復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都是

數(shù).-3實(shí)1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi

(a,b∈R)時(shí)，一定要有a,b∈R，否則不能說實(shí)部為a，虛部為b；2.虛部是復(fù)數(shù)代數(shù)形式中i的實(shí)數(shù)系數(shù)，不含i，不能說虛部為bi；3.復(fù)數(shù)不能比較大小，若兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)必定都是實(shí)數(shù)；注意：

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－－－說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：

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－－－2.指出下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).為什么？(a，b，c，d∈R)問題7

我們知道復(fù)數(shù)集是由形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)組成的，為了保證集合中元素的互異性（確定性），我們需要明確集合中兩個(gè)元素相等的含義，請(qǐng)閱讀教科書，說說兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)是否相等，就要考慮它們的實(shí)部和虛部是否分別相等！3.求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值.

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－－－復(fù)數(shù)相等的定義，既是判斷相等的依據(jù)，也是求某些復(fù)數(shù)值的依據(jù).復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)：虛數(shù)：純虛數(shù)：非純虛數(shù)：復(fù)數(shù)集C虛數(shù)集實(shí)數(shù)集R純虛數(shù)集問題8

我們已經(jīng)將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，你能對(duì)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)進(jìn)行分類，并用韋恩圖表示它們之間的關(guān)系嗎？顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.這樣，復(fù)數(shù)z=a+bi