數(shù)學第二單元一元一次方程

第二章一元一次方程

本章視點

視點1本章概述

本章知識在中學數(shù)學學習過程中起著不可替代的承上啟下的作用，它既是對已學習的實

數(shù)、整式、一次方程（組）、分式方程等知識的鞏固和深化，又是今后要學習的函數(shù)、指數(shù)、

對數(shù)和其他數(shù)學知識的重要基礎.本章首先通過具體實例引入一元二次方程的概念和?股形

式，然后探索一元二次方程的解法一直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，以及

利用計算器估計一元二次方程的近似解的范圍，最后重點探究了實際問題中的…元：二次方

程和利用一元二次方程解決具體問題.

視點2本章學習重難點

【本章重點】一元二次方程的解法，列一元二次方程解決實際問題.

【本章難點】根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出一元二次方程.

【學習本章應注意的問題】

1.注意觀察、分析、歸納探究等能力的培養(yǎng)，在本章知識的學習中，遵循了“問題情

境一建立模型一拓展、應用”的模式.

2.注意數(shù)學知識與現(xiàn)實，生活的聯(lián)系，無論是對一元二次方程的概念的理解，還是解

方程的技能訓練都力求與實際問題的解決融為一體.

3.注意轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學思想方法的應用，解方程的過程就足一個溝通已知和未知的

過程，其本質(zhì)是化歸思想.

視點3中考透析

方程貫穿于初中數(shù)學內(nèi)容的始終，它與實數(shù)的運算、代數(shù)式變形、函數(shù)等有關內(nèi)容緊密

相關.方程知識是中考命題的熱點，有關一元二次方程的概念問題，以填空題和選擇題為

主.配方法是一種重要的數(shù)學方法，各地的考題都將其作為對數(shù)與代數(shù)部分考查的一個重點

內(nèi)容，考查時通常以填空題或選擇題的形式單獨出現(xiàn).但在中考中用配方法解一元一次方程

的題的出現(xiàn)較少.對于用公式法解一元二次方程，在近兒年中考中，多以列方程解應用題、

函數(shù)等知識為背景進行考查.而用因式分解法解一元二次方程單獨成題，在近兒年中考中，

多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).一元二次方程的應用是中考命題的熱點.命題形式比較靈活,

既可單獨成題，又可綜合函數(shù)來命題，與經(jīng)濟有關的應用題（如增長、利潤等問題）是近幾

年中考的熱點，題型包括填空題、選擇題、解答題，解答題中許多題題與函數(shù)相關，綜合性

較高，應用題主要考查收集和處理信息的能力、分析和解決問題的能力及創(chuàng)新實踐的能力.

第1節(jié)花邊有多寬

新課導讀情景導入

【生活鏈接】《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同所

立，甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行卜步而斜東北與乙會.問

甲乙行各幾何

大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7,乙

的速度為3,乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向

走了一段后與乙相遇，那么相遇時.，甲、乙各走了多遠?I

【問題探究】如右圖所示，如果設二人從出發(fā)到相遇所用的時間為X那么利用勾股理

就可以列出方程：Gk2.

【點撥】解方程得x=3.5(x=0舍去).

教材解讀精華要義

知識點1一元二次方程的概念重點；理解、掌握

定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

知識拓展由一元二次方程的定義可知，只有同時滿足以下三個條件：是整式方程；含

有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一

個條件的方程都不是一元二次方程.

探究交流下列方程哪些是?元二次方程？

I?2

0—x2-0；(2)—7——--1；③2x:-5xy+2y2=0；@x2+2x-3-x(x+1)；

2xx

⑤\[2x+1=x2

點撥①⑤符合定義，是一元二次方程；②分母中有未知數(shù)，不是整式方程；③含有

兩個未知數(shù)；④去括號、移項、合并同類項后可變?yōu)閤3=0,是一元一次方程.

知識點2一元二次方程的一般形式難點；靈活運用

一元二次方程的一般形式是4》2+公+。=0.它的特征是：等式左邊是一個關于未知

數(shù)的二次多項式，等式右邊是零.其中o?叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；以叫做一次

項，b叫做一次項系數(shù);C叫做常數(shù)項.

知識拓展對于一元二次方程的一般形式應注意以下四點：

(1)“。#0”是一元二次方程一般形式的一個重要組成部分，因為方程a，+bx+c=0

只有當時?，才叫做一元二次方程.當〃=0,時，它是一元一次方程.反之，如

果明確指出方程。f+b+c=o是一元二次方程，那么就隱含了aWO這個條件.

(2)任何一個一元二次方程經(jīng)過整理都可以化成一般形式.

(3)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項都是方程在一般形式下定義的，所以求一

元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式.

(4)要分清二次項與二次項系數(shù)、一次項與一次項系數(shù).

規(guī)律?方法小結(jié)類比思想：學習本節(jié)知識，可類比一元一次方程的概念和一般

形式，兩者的聯(lián)系與區(qū)別如下：

一元一次方程一元二次方程

?般形式ax+b=Oax1+bx~i~c=O(aWO)

相同點是整式方程，只含一個未知數(shù)

不同點未知數(shù)的最高次方數(shù)是1未知數(shù)的最高次方數(shù)是2

知識點3估計一元二次方程解的取值范E國重點；理解

在得到一元二次方程后，我們最關心的是它的解及其取值范圍.可利用列表取值法判斷

一元二次方程解的取值范圍，具體步驟如下：(可使用計算器)

(1)列表，利用未知數(shù)的取值分別計算方程ax2+bx+c=0(a#0)中ax2+bx+c=0

的值；

(2)在表中找出使af+bx+c的值可能等于0的未知數(shù)符合要求的范圍：

(3)進一步在(2)中的范圍內(nèi)列表、計算、估計范圍，直到符合題中精確度要求為止.

知識拓展在估計一元二次方程解的取值范圍時，當a￥+A+c(〃W0)的值由正變負

或由負變正時，x的取值范圍很重要，因為只有在這個范圍內(nèi)，才能存在使ax2+bx+c=0

成立的x的值，即方程的解.

探究交流為了綠化學校，需移植草皮到操場，若矩形操場的長比寬多14m,而面

積是3300m2,求綠化后操場的寬的取值范圍.(精確到十分位)

點撥設綠化后操場的寬為xm,根據(jù)題意，得x(x+14)=3300,整理得x2+14x

—3300=0.

列表：

X5050.1…50.850.951

-10088.59…8.163.4115

X2+4X-330

寬的取值范圍是50.8a<50.9.

典例剖析觸類旁通

基本概念題

例1下列關于x的方程：

@ax2+bx+c=0i②爐+5k+6=0：③且x?一變％一'=0；

342

2

④(m?+3)X+.\/3X-2=0；⑤*2一2%+'=0；⑥(x+l)(x-1)=x(2x+l)；

x

⑦L(x—1)=(2r+l)(-x-1).

24

其中一定是關于x的一元二次方程的是.(只填序號)

分析本題考查一元二次方程的定義及一-般形式.可根據(jù)一元二次方程的定義或一般形

式來分析關于x的方程，即方程中只有x是未知數(shù)，而其他字母都看成已知數(shù).①不一定是

一元二次方程，因為當。=0時.，它不是一元二次方程.②沒有未知數(shù)x,不是關于x的一

元二次方程.③中x的最高次數(shù)為3,不是一元二次方程.④中/+3>0,所以④為一元二

次方程.⑤分母中有未知數(shù)，方程不是整式方程，故不是一元二次方程.⑥化成一般形式為

+x+l=0,是一元二次方程.⑦化成一般形式為5x+4=0,不是一元二次方程.故填④⑥.

規(guī)律?方法判斷方程是否為一元二次方程的方法有兩種：

(1)根據(jù)定義判定.將方程進行去分母、去括號、移項、合并同類項等變形后，如果

能同時滿足一元二次方程定義所包含的三個條件：①是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③

未知數(shù)的最高次數(shù)是2.那么這個方程就是一元二次方程，否則，這個方程就不是一元二次

方程.

(2)根據(jù)一般形式判定.將方程進行去分母、去括號、移項、合并同類項等變形后，

如果能化為一元二次方程的一般形式af+bx+c=O(aWO),那么這個方程就是一元二次方

程，否則，這個方程就不是一元二次方程.

例2把下列方程化成一般形式.并列表求出方程的二次項、一次項、二次項系

數(shù)、--次項系數(shù)和常數(shù)項.

(1)3x=2+x2(2)x(4x+5)-1=0.

分析本題主要考查一元二次方程的有關概念.

解：列表如下：

方程

3x=2+x2x(4x+5)-l=0

一般形式

廠—3x+2=04X2+5X-1=0

二次項

22

廠4x

一次項—3x5x

二次項系數(shù)14

一次項系數(shù)-35

常數(shù)項2-1

【解題策略】填寫二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏寫各項的符號.如果

一般形式中二次項系數(shù)是負數(shù)，最好將方程兩邊都乘以一1,使二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，這樣

對以后繼續(xù)研究一元二次方程的有關問題有利，可以減少符號和計算方面的錯誤.

基礎知識應用題

例3判斷方程機2(f+m)+2x—x(x+2〃])-1是不是關于x的一元二次

方程.

分析對于含參數(shù)的整式方程，要判斷它是不是一元二次方程，往往要對二次

項的系數(shù)進行討論.

解：整理，得ZM?+機？+2x=x2+2機X—?1,

即1)x2+(2—2m)x+(w2+1)=0.

當機片1且m力—1時，有7#0,原方程是一元二次方程；

當機=1或機=—1時，二次項系數(shù)MJ?—"1=0,原方程不是一元二次方程.

例4求關于x的一元二次方程加2—2",+,"(，+1)=》的二次項系數(shù)、一次

項系數(shù)及常數(shù)項.

分析本題雖然沒要求把原方程化為一般形式，但由于二次項系數(shù)、一次項系

數(shù)及常數(shù)項都是在一般形式下定義的，所以為了求出各項系數(shù)，必須先把原方程化為

一般形式.

解：將方程小2—2,n+m(x2+1)=x化為一般形式，得mx?—x+ma―"?=o.

因為已知原方程是一元二次方程，所以題中存在隱含條件mWO.

此方程的二次項系數(shù)為m,一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為加2—小

【解題策略】化原方程為一般形式時.，要明確哪個字母是未知數(shù).寫各項系數(shù)

時，要注意符號，如本題中的一次項系數(shù)是一1,而不是L

例5關于x的一元二次方程(〃-1)J+x+屋—■1=0的―一個根是x=0,則a

的值為()

T1

A.1B.-1C.1或一1D.-

2

分析由方程的根的意義可知,0使方程左、右兩邊相等，把x=0代入后可求出。的值注

意原方程為關于尤的一元二次方程，隱含了。-1#0的條件.把x=0代入方程，得/一=0,

a2=l,/.a=±I.又?.,。-IWO.'.a士l；.a=—1.故選B.

【解題策略】本題考查了一元二次方程的根的意義及定義中的條件.

綜合應用題

例6已知關于x的方程（〃?+V3）xm1+2（m—1）x—1=0.

（1）機為何值時，原方程是一元二次方程？

（2）機為何值時，原方程是一元一次方程？

分析此題要根據(jù)?元二次方程及一元一次方程的定義確定力的值.（1）當用+上片

0,且,“2—1=2時，此方程為一元二次方程.（2）當m分別滿足以下幾個條件時，此方程

都是一元一次方程.①加+=0,且加一1W0：②機之一1=1,且加+Q+2（m—1）W

0；③機2-1=0,且2（加一1）70.

解：（I）要使（機+6）—1+2（；?—［）x-1=0是一元二次方程，

，r-

則必須滿足Jm+V3*°-解得加=G

m2—1=2.

所以當〃2=6時，原方程是一元二次方程.

（2）若使原方程為一元?次方程，則應分以下兒種情況進行討論:

/m+V3=0及力㈤rr

①<解得m=-J3

加一1w0

加2—1=1r

②「解得加=±垃

加+j3+2（小一1）。0

m2—1=0

解得加=-1.

2（機一1）。0

所以當機=一或±J5或-1時.，原方程是一元一次方程.

【解題策略】討論關于X的方程是不是一元二次方程或一元一次方程的問題，關鍵要

考慮兩點：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)；（2）最高次項的系數(shù)是否為0.

例7估計方程/一〃一1=0的正數(shù)解的取值范圍.（精確到0.01）

分析將方程左端列表、試值，然后逐步縮小范圍.

解：列表試值如下：

X…-2-101234???

X2-2x—1.??72-1-2-127???

從表中可見，能使/-2r-l=0的x的值有兩個，其取值范圍為一l<x<0或2Vx<3.

根據(jù)題意，得x的正數(shù)值的取值范圍為2Vx<3.

繼續(xù)列表如下：

X22.22.42.62.83

%2-2x—1-1—0.56-0.040.561.242

可見使2r—1=0的x的正數(shù)值的取值范圍為2.4<x<2.6.

繼續(xù)列表如下：

X2.402.452.502.552.60

%2—2x—1-0.040.10250.250.40250.56

可見/一公一1=0的X的正數(shù)值的取值范圍是2.40<x<2.45.

繼續(xù)列表：

X2.402.412.422.432.442.45

x2-2x-l-0.04-0.01190.01640.04490.07360.1025

所以方程的正數(shù)解精確到0.01時，取值范圍為2.41cxV2.42.

【解題策略】估計方程近似解時，可以利用計算器或通過觀察嘗試找出未知數(shù)的大致

取值范圍，然后逐步估計.

探索與創(chuàng)新題

例8（探究題）你家的窗戶是什么形狀？

先看下面的問題：

用一根8m長的木料做成一個長方形的窗框，設這個長方形的長為xm.

（1）這個長方形的面積S=；

（2）根據(jù)上式完成下表：

X0.511.51.922.12.533.5

S

（3）你發(fā)現(xiàn)了什么？

分析由題意準確地寫出（1）中的表達式和（2）中的數(shù)據(jù)，然后由數(shù)據(jù)探究其規(guī)律.

解：（1）—X2+4X

（2）S的值從左至右依次為：1.75,3,3.75,3.99,4,3.99,3.75,3,1.75.

（3）當長與寬相等時，S的值最大，即當窗戶為正方形時，面積最大.

解題策略本題是通過計算得出結(jié)果，然后觀察一列數(shù)據(jù)的特點發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，這就要

求我們在日常生活中多觀察.通過本題得到一個結(jié)論：周長相等的矩形和正方形中，正方形

的面積最大.

例9若、2"。+3%"4+1=0是關于犬的一元二次方程，求a,b的值.下面是兩位同學

的解法.

7/7+h=2f/y=1

甲：根據(jù)題意得解得

a-b-\/?=0.

2。+/?=2,a=1,a=1

乙：根據(jù)題意得《<

a-b=1,[b=-1.

你認為上述兩位同學的解法是否正確？為什么？如果都不正確，請給出正確的答案.

分析甲僅考慮了第一項的未知數(shù)的次數(shù)為2,第二項的未知數(shù)的次數(shù)為1的情況，乙

僅考慮了甲的一種情況及第一項的未知數(shù)的次數(shù)為1，第二項的未知數(shù)的次數(shù)為2的情況，

忽略了第一、二項的未知數(shù)的次數(shù)都為2,第一項未知數(shù)的次數(shù)為2,第二項未知數(shù)的次數(shù)

為0及第一項未知數(shù)的次數(shù)為0,第二項未知數(shù)的次數(shù)為2的情況.

解：均不正確，考慮不全面.

欲使+3x"4+1=0是關于x的一元二次方程,

2。+/?=2,2。+Z?=22。+/?=22a+h=0

a-b=2,a-b=Oa-b=2a-b=2

解得《

b=-\

【解題策略】用分類討論思想解題時，思考一定要嚴密、全面，不能遺漏任何一種情

況.根據(jù)一元二次方程的定義可知"和的指數(shù)至少有一個為2,因此共有五種情況.

易錯疑難辨析糾錯釋疑

易錯點寫一元二次方程各項的系數(shù)時，易出現(xiàn)符號錯誤

易錯點解讀要明確一元二次方程各項的系數(shù)，必須先將原方程化簡，寫成一

元二次方程的一般形式.值得注意的是符號問題，若一般形式中二次項系數(shù)是負數(shù)，

應把方程兩邊都乘以一1，化負為正.

例1寫出方程3尤2="+5的二次項系數(shù)、?次項系數(shù)及常數(shù)項.

錯解1：二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)是2,常數(shù)項是5.

錯解2：將已知方程化為一般形式是一次一5=0,所以二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)

是2,常數(shù)項是5.

分析錯解1產(chǎn)生錯誤的原因是求一元二次方程的各項系數(shù)時，沒有將方程化為一般形

式，得到錯誤的答案.錯解2雖然將方程化為一般形式，但寫一次項系數(shù)和常數(shù)項時;漏掉

這兩項的符號.

正解：將已知方程化為一般形式是3x2一入一5=0,所以二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)

是一2,常數(shù)項是一5.

易錯點判斷一元二次方程時，易忽略“二次項系數(shù)不為0”的條件

易錯點解讀在利用一元二次方程求字母的值時，一定要注意以2+公+°=（）中〃彳。的

條件.

例2當機為何值時，方程（機-1）x"''i+2mx+3=0是關于x的一元二次方程？

錯解：要使該方程是關于x的一元二次方程，未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2,即,/+[=2,

所以加=±1.

因此，當旭=土1時，方程（加-1）￡"汩+2機犬+3=0是關于X的一元二次方程.

分析上述錯解錯誤的原因是沒有考慮二次項的系數(shù)，“-1W0這個前提條件，事實上，

當機=1時，二次項的系數(shù)機-1=0,原方程變?yōu)?x+3=0,它不是一元二次方程.

正解：因為方程（機—1）X"'"+2MX+3=0是關于x的一元二次方程，

解得“=-1,

所以當相=-1時，方程(山一1)x"'4+2加工+3=0是關于x的一元二次方程.

中考解讀點擊中考

中考命題總結(jié)與展望

一元二次方程的概念以及應用等有關知識一直是中考考查的熱點,題型主要是填空題和

選擇題，以后的中考試題將側(cè)重對一元二次方程的概念和微形式等基礎知識的考查.

中考真題解讀與預測

例1(2009?武漢)已知x=2是一元二次方程犬2+狙共+2=0的一個解，則加的值是()

A.-3B.3C.OD.0或3

分析把x=2代入原方程，得到關于機的方程4+2m+2=0,解得m=-3.

故選A

例2(2009?蘭州)2008年爆發(fā)的世界金融危機，是自上世紀三十年代以來世界最嚴重

的一場金融危機.受金融危機的影響，某商品原價為200元，連續(xù)兩次降價“％后售價為148

元，下面所列方程正確的是()

A.200(1+。％)2=148B.2002=148

C.200=148D.200(1一1％)=148

分析在200元基礎上降價一次的價格為200(1—a%),再降價一次的價格為200(1

—a%)(l-a%).故選B.

【解題策略】一般地，若商品原價為。元，連續(xù)兩次降價后價格為b元，平均降價百

分率為x,則有a(1—x)2=h.

例3(2009?鄂州)某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個，

設該廠五、六月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是()

A.50(1+x)2=182B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

C.50(l+2r)=182D.50+50(1+x)+50(l+2r)=182

分析四月份生產(chǎn)50萬個，五月份比四月份增長x,為50(1+x),六月份又比五月份

增長工，為50(1+x)2,.?.第二季度共生產(chǎn)零件50+50(1+x)+50(l+2x)=182.故

選B.

課堂小結(jié)本節(jié)歸納

1.知識結(jié)構(gòu)及要點小結(jié)

’概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

一元二次方程<一般形式：ax2+hx+c=0(a=0)

解的估算

2.解題方法及技巧小結(jié)

(1)定義法：判定一元二次方程的常用方法.

(2)一般式法：判定一元二次方程和確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項的方法.

習題全解課本習題

隨堂練習

1.解：設直角三角形的三邊長依次為x,x+1,x+2,則x?+(x+1)2=(x+2)2,

即f-2r—3=0.

2.解：一般形式為5』+36x-32=0.二次項系數(shù)為5,一次項系數(shù)為36,常數(shù)項

為一32.

習題2.1

1.解：(1)設這個正方形的邊長是xm(x>0),根據(jù)題意，得(x+5)(x+2)=54,

即X2+7X-44=0.(2)設三個連續(xù)整數(shù)依次為x,x+1,x+2,根據(jù)題意，得x(x+1)+

x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即x2+2x-80=0.

2.解：答案不唯一，下表給出一種答案.

方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項

3f=5x-13x2-5x-13-51

(x+2)(x—1)=6X2+X-811-8

4-7X2=07X2-4=070-4

3.解：設竹竿長為x尺，則門框?qū)挒?x-4)尺，門框高為(x-2)尺，根據(jù)題意，得

x2=(x-4)2+(x-2)2,即/一1緘+20=0.

陵堂練習

1.解：設這五個連續(xù)整數(shù)依次為X,x+1,x+2,x+3,x+4,根據(jù)題意，得f+(X

+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4),即/一&-20=0,可列表如下.

X-3-2-1???91011

X2-8X-20130-11???-11013

所以x=-2或x=10,因此這五個連續(xù)整數(shù)依次為:-2,—1,0,1,2或10,11,12,13,14.

習題2.2

1.解：設苗圃的寬為xm,則長為(x+2)m,根據(jù)題意，得x(x+2)=120,即f

+2x—120=0.

列表如下.

X01234567891011

x+2x~l2Q-120-117-112-105-96-85-72-57-40-21023

所以苗圃的寬為10m,長為12m.

2.解：能.設矩形的寬為xm,則長為(--x)m,根據(jù)題意，得x(-—x)=15,即

22

x?—8+15=0列表：

所以矩形的寬為3m,長為5m.

3.解：根據(jù)題意,得10+2.5t—5t2=5,即2t2-t—2=0.列表如下.

t0123

2r-t-2-2-1413

所以lVt<2.進一步列表如下.

t1.11.21.31.4

2J-2—0.68-0.230.080.52

所以1.2<t<1.3,因此，他最多有1.3s完成規(guī)定動作.

自我評價知識鞏固

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.(x-1)x=x2B.&+1=3xC.2r2+-+l=0D./=I

X

2.下列各一元二次方程是一般形式的是

A.6X2=10+5XB.5X-6X2-10=0C.6?-5x-10=0D.I0+5X+6X2=2A+1

3.下列方程不是整式方程的是

A.--#——=1B.0.2X3—0.4A--=0

22

4.方程8x?=x的二次項系數(shù)是,?次項系數(shù)是,常數(shù)項

是.

5.方程(x-3)Q+3)=0的二次項系數(shù)是,一次項系數(shù)是,常數(shù)

項是______

6.關于x的方程kx?—k(x+2)—x(x+1)+6,當k時，這個方程是一元二

次方程.

7.方程(機-1)x2+(m+1)x+3〃?+2=0,當m時，為?元一次方程；當

m時，為一元二次方程.

2009

8.已知a是方程『一2009x+1=0的一個根，試求/一20084+-.的值.

a2+l

9.當A為何值時，關于x的方程(k-3)x?-3日=去一2小+34為一元二次方程？寫

出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

10.改11(3?+l)f+2履=-3是關于x的一元二次方程，并且不等式

23

成立，試求k的取值范圍.

11.在一張紙條上寫著一個形如f+px+g=0的一元二次方程，小明和小新兩位同學爭

著看這道題，結(jié)果小紙條被撕成兩部分，小明手里拿著的是』+px,小新手里握著的是+夕

=0.小明不告訴小新。的值，小新不告訴小明q的大小，老師分別看了兩人手里的p和4

值后說，這個方程有一個根是p的相反數(shù).這時，小明馬上說老師所說的這個方程的根是3.求

出p,q的值.

12.小強家的餐桌面是長160厘米、寬100厘米的長方形，媽媽準備設計一塊桌布，面

積是桌面的2倍，且使四周垂下來的邊等寬.小強想幫媽媽求出四周垂下來的邊寬.如果設

四周垂下來的邊寬為x厘米，那么所列方程應該是什么？

評價標準

1.D[提示：A經(jīng)整理后無二次項，B,C均不是整式方程.]2.C[提示：一般形

式為ax2+bx+c^0(aWO).]3.D[提示：整式方程的兩邊是含有未知數(shù)的整式.]4.8

—10[提示：一般形式為8x?—x=0.]5.10-3[提示：可化為》2—3=0.]6.W1[提

示：二次項系數(shù)k—1W0.)]7.=1提示：一元二次方程的二次項系數(shù)不為0.]

8.解：若a是方程』一200%+1=0的一個根，貝IJ〃2-2009〃+1=0,所以/+1=2009°,

200920091

a2=2009a-1,所以a2-2008a+——=2009a-1-2008a+——=a-1+—=

6!"+1Cl~+1Cl

jl=2009〃-J2008.

9.提示：首先將關于x的一元二次方程化為一般形式，再

aa

由。片0這個必要條件求出k的值，然后寫出方程的各項系數(shù).解：將原方程化簡、整理，

得（女一1）/一4履一3k=0,由二次項系數(shù)4一1#0,得所以當時，原方程為一

元二次方程，二次項系數(shù)為k—1,一次項系數(shù)為一必，常數(shù)項為一3k.

,1

3%+1H0y

：.k的取值范圍是L且AW-,

10.解：依題意得?火一14A+1解得《

-153

3吟

11.解：依題意，可知x=-p和x=3都是方程x2+i?+q=0的根，由根的定義可知

p1-p2+q=0,<7=0

解得

9+3p+q=0,p=-3

12.提示：本題的等量關系是桌布的面積等于桌面面積的2倍.解：根據(jù)題意列方程,

得（160+2。）（100+2a）=160X100X2.

第2節(jié)配方法

新課導讀情境引入

生活鏈接有這樣一首詩：一群猴子分兩隊，高高興興在游戲.八分之一再平方，蹦蹦

跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮.告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起.

大意是說：?群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的！的平方，另一隊猴子數(shù)是

8

12,那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？

問題探究如果沒這群猴子共有X只，那么分成的兩隊的猴子數(shù)分別為（3x2和12,而

8

這兩隊猴子數(shù)之和等于這群猴子的總數(shù)，即（3X2+]2=X,整理得方程/一64X+768=0,

8

這個一元二次方程的解就是這群猴子的總數(shù)了.

點撥由X2-64X+768=0,可得（x-32）2=256,即工一32=±16,解得x,=48,

%2=16.

教材解讀精華要義

知識點1直接開平方法重點；掌握

定義：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接開平方法.

直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義.直接開平方法適用于解形如（x+a）2=b（b

的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當時，x+a=

±4b,BPx=—a±4b；當b<0時，方程沒有實數(shù)根.

知識拓展方程（x+a）2=6,當方＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當6=0時、有

兩個相等的實數(shù)根.從而可知，若a=b時，有一根為0,另一根為一2〃，千萬不要把0

這個根漏掉.在解決實際問題時，要考慮使實際問題有意義.

知識點2配方法難點；理解

J解一元二次方程時，先把方程的常數(shù)項移到方程的右邊，再把它的左邊配成一個含

有未知數(shù)的完全平方式的形式，即將方程化為（x+a）2=b的形式.如果右邊是一個非負

常數(shù)，這樣就可以應用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法就星配方法.

知識拓展（1）配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，

而且在數(shù)學的其他領域也有著廣泛的應用.

（2）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式（*+〃）2=/±2?6土/，把公式中的?？闯神?/p>

知數(shù)x,并用x代替，貝I」有』±29+戶=（X±R2.

J配方法解一元二次方程的步驟：

（1）將方程化為一般形式.

（2）方程的兩邊同除以二次項系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1.

（3）移項：把常數(shù)項移到方程的一邊，使方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為常

數(shù)項.

（4）配方：在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，使左邊能化成完全平方的形

式.

（5）求解：如果方程的右邊整理后是非負數(shù)，就用直接用開平方法求解；如果右邊是

負數(shù)，那么指出原方程無實根.

知識拓展（1）運用配方法的前提是把一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1的一元二

次方程，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

（2）通過配方法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)：當方程一邊配成了關于未知數(shù)的完全平方

式后，如果另一邊是一個正數(shù)，那么這個方程就有兩個不相等的實數(shù)根，如果另一邊是零，

那么這個方程就有兩個相等的實數(shù)根,如果另?邊是?個負數(shù)，那么這個方程就沒有實數(shù)根.

典例剖析觸類旁通

基本概念題

例1解方程4（x—l）2=9.

分析先把方程化為（X+a）?=b的形式，再開平方.

解：方程兩邊都除以4,得（x—l）2=乙

4

.,3

開平方得X-1=±—

2

解得X1=—，X2———

22

規(guī)律?方法用直接開平方法求一元二次方程的根，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即

正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

例2解方程2?=4x—1.

分析本題主要考查一元二次方程的解法.因為所給的方程不是（x+a）2=b（b20）

的形式，所以不能用直接開平方法解此方程，可考慮利用配方法解此方程.

解：將方程變形，得2?-4x=—l.

方程兩邊都除以2,得》2一女=一二

2

配方，得x2-2r+l=-」+l,即(x-1)2=~

22

方程兩邊直接開平方，得x-i=±Y2

+叵,昱

22

【解題策略】在運用配方法解一元二次方程時，一般應先將含有未知數(shù)的項移到方程

的左邊，以便觀察、配方.

例3用配方法解下列方程.

(1)X2+8X-9=0；(2)3?+8x-3=0.

分析當二次項系數(shù)是1時，只要先把常數(shù)項移到右邊，然后左、右兩邊同時加上一次

項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方，變成(x+〃?)2=n(n20)的形式，再用直接開

平方法求解，當二次項系數(shù)不是1時，先將二次項系數(shù)化為1,再用配方法解方程.

解：(1)移項，得，+⑥=9,

配方，得f+8x+42=9+42(兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方)，

即(x+4)2=25,

開平方，得x+4=±5,

即x+4=5或x+4=—5.

所以Xi=l,-9.

Q

(2)兩邊同除以3,得f+—欠一1=0,

3

8

移項，得￥9+2元=1,

3

配方，得x2+|x+g)2=l+(g)2(兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方)，

即(x+§2=g)2

451

開平方，得x+—=土一，所以不=一，必=一3.

333

規(guī)律?方法用配方法解一元二次方程，化二次項系數(shù)為1是關鍵的一步，在進行配方

時，方程左右兩邊必須同時加上?次項系數(shù)泮的平方，一次項系數(shù)的符號決定了左邊的完

全平方式中是兩數(shù)差的平方還是兩數(shù)和的平方.

基礎知識應用題

例4方程f-6匹+8=0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周

長為

A.8B.10C.8或10D.不能確定

分析本題考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性質(zhì).方程x2—6x+8=0的兩

根分別是2和4,若2是底，4是腰，則周長為2+4+4=10,若2是腰，4是底，而2+2

=4,不能構(gòu)成三角形，不存在這種情況.故選B.

例5已知x=-2是方程。a?/一2r—6=0的一個根，求a的值.

分析本題既考查了方程的根的定義，又考查了開平方法解一元二次方程.

解：把戈=—2代入方程/r?—2x—6=0,得4/+4—6=0.

.?.4〃2=2..\a2=—

2

..a=±----

2

例6已知f—4x+y2+6y+13=0,求x~~y的值.

分析本題主要考查配方法.注意“若幾個非負數(shù)相加和為0,則各非負數(shù)的值均為0”

的運用.

解：由原式，得(f-4x+4)+(y2+6y+9)=0,

即(x—2)2+(y+3)2=0.

.'.x=2且y=-3..,.x—y=2—(—3)=5.

【解題策略】當一個方程中含有兩個或多個未知數(shù)時，通常用配方法，將其寫成幾個

非負數(shù)的和等于。的形式，再用非負數(shù)的性質(zhì)解題.

綜合應用題

例7(實際應用題)某商場將某種商品的售價從原來的每件40元經(jīng)兩次調(diào)價后降至每

件32.4元.

(1)若該商店兩次調(diào)價降價率相同，求這個降價率；

(2)經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件，若該商品原來每月可銷售500

件，那么經(jīng)兩次調(diào)價后，每月可銷售該商品多少件？

解：(1)設降價率為x,根據(jù)題意得40(1-x)2=32.4,解得由=1.9(不符合題意，

舍去)，x2—0.1=10%.所以降價率為10%.

(2)設兩次調(diào)價后，可多銷售y件，根據(jù)題意，得一0,2_=W,解得=380,則

40-32.4y

500+380=880(件).所以經(jīng)兩次調(diào)價后。每月可銷售商品880件.

規(guī)律?方法對于平均增長率問題，一般情況下，起點是尋找百分率.假設基數(shù)是a,

平均增長率為x,增長的次數(shù)為n(一般是n=2),增長后的量為b,則有表達式

a(1+x)類似的還有平均降低率問題，同時要注意區(qū)分“增”與“減”.如人口的減

少、利率的降低、汽車的折舊等，都是在原來基數(shù)上減少，不能與增加混淆.

探索與創(chuàng)新題

例8"國運興衰，系于教育"，如圖2—1所示的統(tǒng)計圖給出了我國從1998?2002年每

年教育經(jīng)費投入的情況.

6

0OO

5O00

4O00

3000

OOO

20000

1

(1)由圖可見，1998?2002年