2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測試專題49兩直線的位置關(guān)系學(xué)生版

專題49兩直線的位置關(guān)系一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.【考點(diǎn)預(yù)測】1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行3.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對稱問題(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對稱點(diǎn)為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.【常用結(jié)論】五種常用對稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．【方法技巧】1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．3.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．3.利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．4.解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．5.幾個(gè)常用結(jié)論①點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－x，y)．②點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x)．③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點(diǎn)為(x,2b－y)．6.幾種常見的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.二、【題型歸類】【題型一】兩直線的平行與垂直【典例1】已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【典例2】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0【典例3】已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))【題型二】兩直線的交點(diǎn)與距離問題【典例1】已知直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．－eq\f(3,2)<k<－1 B．k<－eq\f(3,2)或k>－1C．k>－1 D．－eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)【典例2】已知直線l1：mx＋y－3＝0與直線l2：x－y－m＝0平行，則它們之間的距離是()A．2eq\r(2)B．4C.eq\r(2)D．2【典例3】直線l過點(diǎn)P(－1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為________．【題型三】對稱問題【典例1】過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________________．【典例2】已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為______________．【典例3】已知直線l：y＝3x＋3，則點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．16【訓(xùn)練二】（2023秋·高二單元測試）已知，點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【訓(xùn)練三】（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【訓(xùn)練四】（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為.【訓(xùn)練五】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn).點(diǎn)P為圓C上一點(diǎn)，作線段AP的垂直平分線l.則點(diǎn)B到直線l距離最小值為.【訓(xùn)練六】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.四、【強(qiáng)化測試】一、單選題1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19

2．（2023·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（

）A．6 B． C． D．5．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）已知圓：，直線：被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與之間的距離為，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．8或7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若兩條直線，與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形，則（

）A． B． C． D．48．（2023秋·高二單元測試）直線與曲線恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．二、多選題9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)單位圓O與x軸的左、右交點(diǎn)分別為A、B，直線l：（其中）分別與直線、交于C、D兩點(diǎn)，則（

）A．時(shí)，l的傾斜角為B．，點(diǎn)A、B到l的距離之和為定值C．，使l與圓O無公共點(diǎn)D．，恒有11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，圓，M是l上一點(diǎn)，MA，MB分別是圓O的切線，則（

）A．直線l與圓O相切 B．圓O上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為C．存在點(diǎn)M，使 D．存在點(diǎn)M，使為等邊三角形12．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知為圓上的兩點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線與圓相離B．當(dāng)為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)C．當(dāng)時(shí)，的最大值是D．當(dāng)為圓的兩條切線時(shí)，直線過定點(diǎn)三、填空題13．（2023春·安徽安慶·高二安慶一中校考階段練習(xí)）若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則.14．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上至少存在兩點(diǎn)到直線l的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）若直線：被圓：截得線段的長為6，則實(shí)數(shù)的值為.16．（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍，記點(diǎn)的軌跡為，直線交于，兩點(diǎn)，，若的面積為2，則實(shí)數(shù)的值為.四、解答題17．（2023秋·山東臨沂·高二山東省臨沂第一中學(xué)校考期末）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直．(1)求直線的一般式方程；(2)若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長(3)求AB邊的高所在直線方程.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．(1)若，求；(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．20．（1）為何值時(shí)，點(diǎn)Q(3，4)到直線距離最大，最大值為多少；（2）若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于AB兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的最小值及此時(shí)直線的方程.21．如圖，直線與直