專題01 2024深圳中考數(shù)學(xué)壓軸題解答大題匯編

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)深圳中考數(shù)學(xué)壓軸題1．（2021·廣西·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為米時(shí)，離水平線的高度為米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米？（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時(shí)，求的取值范圍．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【問題背景】（1）如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，面積為6，求證：．【拓展創(chuàng)新】（3）在中，，面積為，D為外一點(diǎn)，，，直接寫出的長(zhǎng)．3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【問題】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；（2）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，【探究】①如圖2，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接、，求證：；【拓展】②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為______．4．（2023·山東青島·一模）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法．小明同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：(1)【觀察探究】方程的解為：___；(2)【問題解決】若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為、、、．①a的取值范圍是___；②計(jì)算___；(3)【拓展延伸】①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程：②觀察平移后的圖像，當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量x的取值范圍___．5．（23-24九年級(jí)下·河北石家莊·開學(xué)考試）某排球運(yùn)動(dòng)員在原點(diǎn)O處訓(xùn)練發(fā)球，為球網(wǎng)，為球場(chǎng)護(hù)欄，且，均與地面垂直，球場(chǎng)的邊界為點(diǎn)K，排球（看作點(diǎn)）從點(diǎn)O的正上方點(diǎn)處發(fā)出，排球經(jīng)過的路徑是拋物線L的一部分，其最高點(diǎn)為G，落地點(diǎn)為點(diǎn)H，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)O，M，H，K，A所在的同一直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（單位：米，圖中所有的點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；(2)通過計(jì)算判斷發(fā)出后的排球能否越過球網(wǎng)？是否會(huì)出界？(3)由于運(yùn)動(dòng)員作出調(diào)整改變了發(fā)球點(diǎn)P的位置，使得排球在點(diǎn)K落地后立刻彈起，又形成了一條與L形狀相同的拋物線，且最大高度為．若排球沿下落時(shí)（包含最高點(diǎn)）能砸到球場(chǎng)護(hù)欄，直接寫出m的最大值與最小值的差．6．（2023·廣東深圳·二模）【問題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P32第2題：已知：如圖1，的外角和的平分線相交于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F在的平分線上．【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：如圖2，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分結(jié)上．【探究】(1)小方在研究小明的解題過程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中和三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：________；(2)小明也發(fā)現(xiàn)和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：________；(3)如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．連接，若，求的長(zhǎng)；(4)如圖4，中，，．中，．將的頂點(diǎn)D放在邊的中點(diǎn)處，邊交線段于點(diǎn)G，邊交線段于點(diǎn)H，連接．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出的周長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說明理由．7．（2023·廣東深圳·二模）如圖1，正方形和的邊在同一條直線上，且，取的中點(diǎn)M，連接．

(1)試證明，并求=___________．(2)如圖2，將圖1中的正方形變?yōu)榱庑?，設(shè)，其它條件不變，問（1）中的值有變化嗎？若有變化，求出該值；若無變化，說明理由．(3)如圖，已知菱形菱形，且，菱形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，取EF的中點(diǎn)M，作，求證：是直角三角形并求出的值．8．（2023·廣東深圳·二模）【定義】在平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，，，滿足．若，則將點(diǎn)稱為，的三倍直角點(diǎn)：若，則將點(diǎn)稱為，的三倍銳角點(diǎn)．

(1)如圖1，已知中，，，若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為___________；若點(diǎn)是點(diǎn)，的三倍銳角點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為___________；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，以為圓心長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)在上．①若點(diǎn)是，的三倍銳角點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)②若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）將正方形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過點(diǎn)B作直線，垂足為點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為______，的值為______；(2)當(dāng)時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②如圖3，正方形邊長(zhǎng)為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在與相似？若存在，則的值為______，若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2023·廣東深圳·二模）在四邊形中，（E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)），的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．(1)問題證明：如圖①，若四邊形是正方形，求證：．(2)拓展應(yīng)用：如圖②所示平面直角坐標(biāo)系，在中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，B，C分別在x軸和y軸上，且反比例函數(shù)圖像經(jīng)過上的點(diǎn)D，且，求k的值．(3)深入探究：如圖③，若四邊形是菱形，連接，當(dāng)時(shí)，且，試用關(guān)于的式子來表示的值，則__________．（直接寫出結(jié)果）11．（2023·廣東深圳·二模）（一）、概念理解：在直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某條平行于軸（包括軸）的直線軸對(duì)稱，我們就稱它們?yōu)椤肮哺瘮?shù)”，兩函數(shù)的交點(diǎn)稱之為“共根點(diǎn)”，對(duì)稱軸稱為“共根軸”．例如：正比例函數(shù)和是一對(duì)共根函數(shù)，y軸是它們的共根軸，原點(diǎn)O是共根點(diǎn)．（二）、問題解決：（1）在圖一網(wǎng)格坐標(biāo)系里作出與一次函數(shù)共根點(diǎn)為的共根函數(shù)圖象，并寫出此函數(shù)的解析式__________．（2）將二次函數(shù)水平向右平移一個(gè)單位也可以得到它的共根函數(shù)，在圖二中通過列表、描點(diǎn)、連線先作出圖象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函數(shù)圖象，表格中_________，_________．這對(duì)共根函數(shù)的共根點(diǎn)坐標(biāo)是_________．…01234……8038…（三）、拓展提升（3）在（2）條件下，函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，一條平行于軸的直線與這一對(duì)共根函數(shù)圖象相交，是否存在有兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)，一起構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，如果存在直接寫出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2024·廣東深圳·一模）如圖1，菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，當(dāng)，題干中其余條件均不變，連接．求證：．(3)（2）的條件下，連接．①若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)處時(shí)，的面積為______．②在動(dòng)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，面積的最大值為______．13．（21-22九年級(jí)上·湖北咸寧·階段練習(xí)）如圖1，已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．(1)證明與推斷：②求證：四邊形是正方形；②推斷：的值為___________；(2)探究與證明：將正方形的繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展與運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，則___________．14．（2023·廣東深圳·一模）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)M，邊與邊交于點(diǎn)N．證明：；（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且，，在矩形，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)M，邊與邊交于點(diǎn)N．若，求的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形，在繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)M，邊與邊交于點(diǎn)N．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

15．（2021·廣東深圳·二模）如圖1，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接CD交AB于E．（1）連接BD，若∠CDB＝40°，求的大?。唬?）如圖2，若點(diǎn)B恰好是中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將CD分別沿BC、AC翻折到CM、CN，連接MN，若CD為直徑，請(qǐng)問是否為定值，若是請(qǐng)求出這個(gè)值，若不是，請(qǐng)說明理由；16．（2023·廣東深圳·二模）新定義：若函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，我們稱為該函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．如：一次函數(shù)，無論值如何變化，該函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，則點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的“永恒點(diǎn)”．【初步理解】一次函數(shù)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【理解應(yīng)用】二次函數(shù)落在軸負(fù)半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________，落在軸正半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；【知識(shí)遷移】點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由．17．（2023·廣東深圳·二模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)若，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，作交于點(diǎn)，連接、，求證：為等邊三角形；②如圖2，連接，作，作于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)度；(2)如圖3，連接，若，為邊上一點(diǎn)（不與、重合），連接，以為邊作，且，，作的角平分線，與交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，的最大值與最小值的差為__________．18．（2023·廣東深圳·一模）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），連接．(1)將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖1；②小深通過觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段存在以下數(shù)量關(guān)系：的平方和等于的平方．小深把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成證明該猜想的幾種想法：想法1：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．想法2：將沿翻折，得到，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．…請(qǐng)你參考上面的想法，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系并證明；（一種方法即可）(2)如圖2，若將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．若正方形邊長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．19．（2023·廣東深圳·二模）平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．20．（22-23九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖1，已知：內(nèi)接于圓O，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D．(1)求證：(2)如圖2，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接DE，，，求DE的長(zhǎng)．21．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課中，同學(xué)們遇到這樣的幾何問題：如圖1，等腰直角三角形和共頂點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線，，連接，是的中點(diǎn)，連接和，請(qǐng)思考與具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？

【模型構(gòu)建】小穎提出且并給出了自己思考，以是中點(diǎn)入手，如圖2，通過延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，證明，得到，隨后通過得，即，又，所以且．(1)請(qǐng)結(jié)合小穎的證明思路利用結(jié)論填空：當(dāng)，時(shí)，___________；___________．【類比探究】(2)如圖3，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），請(qǐng)分析此時(shí)上述結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)寫出證明過程，如果不成立，請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】(3)若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為___________．22．（2023·廣東深圳·一模）過四邊形的頂點(diǎn)A作射線，P為射線上一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．(1)如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點(diǎn)P在何處，總有，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．(2)如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．23．（2024·廣東深圳·一模）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測(cè)量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的相關(guān)數(shù)據(jù)．在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽略空氣阻力），科研人員測(cè)量出小鋼球離地面高度（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）的幾組數(shù)據(jù)如下表：運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）離地面高度（米）(1)在上圖平面直角坐標(biāo)系中，描出上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接：科研人員發(fā)現(xiàn)，小鋼球離地面高度（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）成二次函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）．(2)在彈射小鋼球的同一時(shí)刻，無人機(jī)開始保持勻速豎直上升，無人機(jī)離地面高度（米）與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為．在小鋼球運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)無人機(jī)高度不大于小鋼球高度時(shí)，無人機(jī)可以采集到某項(xiàng)相關(guān)性能數(shù)據(jù)，則能采集到該性能數(shù)據(jù)的時(shí)長(zhǎng)為______秒；彈射器間隔秒彈射第二枚小鋼球，其飛行路徑視為同一條拋物線．當(dāng)兩枚小鋼球處于同一高度時(shí)，求此時(shí)無人機(jī)離地面的高度．24．（2024·廣東深圳·二模）（1）問題呈現(xiàn)：如圖1，和都是直角三角形，，且．連接，，求的值．（2）類比探究：如圖2，是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，求的長(zhǎng)；（3）拓展提升：如圖3，在等邊中，，是邊上的中線，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，連接，以為邊長(zhǎng)，在的上方作等邊，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．25．（2023·廣東深圳·一模）在矩形中，．點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且滿足，連接交于點(diǎn)．

(1)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①求證：；②求證：；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)．①這個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；②當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．26．（2023·廣東深圳·一模）船在航行過程中，船長(zhǎng)常常通過測(cè)定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？

(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，是的外角，（填“”，“”或“”），（填“”，“”或“”）；(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門米，米，米，，．該球員在射門角度（）最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）27．（2023·廣東深圳·三模）折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)操作判斷：在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，過M作交、、于點(diǎn)E、F、N，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接，如圖①，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，是___________三角形，___________；(2)遷移探究：如圖②，若，且，求正方形的邊長(zhǎng)．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，若（），直接寫出的值為___________．28．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)在探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)經(jīng)歷以下幾個(gè)學(xué)習(xí)過程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象草圖（在備用圖①中描點(diǎn)并畫圖）．（Ⅲ）根據(jù)圖象解決以下問題：（1）觀察圖象：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變化得到？答：．（2）探究發(fā)現(xiàn)直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，F(xiàn)，，，則不等式的解集是______．（3）設(shè)函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（B位于A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求直線的解析式；②探究應(yīng)用：將直線沿y軸平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)m的值．29．（2024·廣東深圳·一模）項(xiàng)目學(xué)習(xí)主題：設(shè)計(jì)遮陽篷紊材1武漢是我國(guó)火爐城市之一，夏季高溫多雨，日照時(shí)間長(zhǎng)，平均年日照時(shí)數(shù)2000小時(shí)左右，大門朝南的臨街商鋪都搭建了遮陽篷．北半球在一年中，冬至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線與地平面的夾角最??；夏至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線與地平面的夾角最大．素材2圖1是武漢市區(qū)一家商店，大門朝南，設(shè)計(jì)了遮陽篷．圖2是其示意圖，設(shè)計(jì)了垂直于墻面的遮陽?（橫截面為直角）．表示大門高度．夏至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線與地平面的最大夾角為；冬至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線與地平面的最小夾角為．任務(wù)1如圖2，設(shè)素材2中，米，米，夏至正午太陽光與地面夾角為α，冬至正午太陽光與地面夾角為β，設(shè)遮陽篷為直角．遮陽篷要滿足兩個(gè)條件既讓夏天的陽光剛好不射入室內(nèi)；又能讓冬天的太陽光剛好全部射入室內(nèi)．（1）在中，用含β、m的式子表示遮陽篷高的長(zhǎng)：______．（2）在中，用含α、h、m的式子表示遮陽篷高CB的長(zhǎng)：___．（3）用含α、β、h的式子表示遮陽篷CD的長(zhǎng)：_________．任務(wù)2武漢冬至日正午太陽光與地平面的夾角是，夏至日正午太陽光與地平面的夾角是．若素材2中的商店門高為3米，還要求夏天正午時(shí)刻，門前設(shè)計(jì)能有1米寬的陰影．圖3是其示意圖，求遮陽篷的長(zhǎng)．（精確到米）參考數(shù)據(jù)：、、；，，．任務(wù)3在任務(wù)1，2的基礎(chǔ)上，考慮遮陽篷兼帶遮雨功能，所以考慮遮陽篷往下傾斜，如圖4，即把遮陽篷改造為橫截面如的樣子，與水平面夾角為，那么遮陽篷的最小寬度約是___________．（精確到米）參考數(shù)據(jù)：，，．30．（2024·廣東深圳·一模）在中，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，，，連接，．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，．若，則，；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，點(diǎn)E為正方形的邊上的三等分點(diǎn)，以為邊在上方作正方形，點(diǎn)O為正方形的中心，若，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)．31．（2024·廣東深圳·一模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】【項(xiàng)目主題】如何調(diào)整電梯球、落葉球的發(fā)球方向.【項(xiàng)目素材】素材一，如圖1是某足球場(chǎng)的一部分，球門寬，高，小梅站在A處向門柱一側(cè)發(fā)球，點(diǎn)A正對(duì)門柱（即），，足球運(yùn)動(dòng)的路線是拋物線的一部分．素材二，如圖，當(dāng)足球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q時(shí)，高度為，即，此時(shí)水平距離，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．【項(xiàng)目任務(wù)】任務(wù)一：足球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式，此時(shí)足球能否入網(wǎng)？任務(wù)二：改變發(fā)球方向，發(fā)球時(shí)起點(diǎn)不變，運(yùn)動(dòng)路線的形狀不變，足球是否能打到遠(yuǎn)角E處再入網(wǎng)？上述任務(wù)1、任務(wù)2中球落在門柱邊線視同球入網(wǎng)；根據(jù)以上素材，探索完成任務(wù).32．（2024·陜西西安·一模）問題提出：（1）如圖①，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為__________．問題探究：（2）如圖②，在正方形中，，點(diǎn)為上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，求的最小值．問題解決：（3）如圖③，某地要規(guī)劃一個(gè)五邊形藝術(shù)中心，已知，，，，點(diǎn)處為參觀入口，的中點(diǎn)處規(guī)劃為“優(yōu)秀”作品展臺(tái)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的最小距離．33．（23-24九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）“轉(zhuǎn)化”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，通過構(gòu)造圖形全等或者相似建立數(shù)量關(guān)系是處理問題的重要手段．（1）【問題情景】：如圖（1），正方形中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，求的度數(shù)．以下是兩名同學(xué)通過不同的方法構(gòu)造全等三角形來解決問題的思路，①小聰：過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線的垂線；②小明：在上截取，使得；請(qǐng)你選擇其中一名同學(xué)的解題思路，寫出完整的解答過程．（2）【類比探究】：如圖（2）點(diǎn)是菱形邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得（），則的度數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）（3）【學(xué)以致用】：如圖（3），在（2）的條件下，連結(jié)，與相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，求的值．34．（2024·廣東深圳·一模）綜合與探究【問題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在與中，，，．求證：．【類比探究】（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．連接，，，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊外兩點(diǎn)，連接并取的中點(diǎn)M，且，．試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（4）如圖4，在四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．35．（2023·重慶·中考真題）如圖，在等邊中，于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，，與所在直線交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．36．（2023·重慶·中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．37．（2023·廣東深圳·中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個(gè)正方形裝置的間距的長(zhǎng)；

(3)如圖，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為，求的長(zhǎng)．

38．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，①若，過作交于點(diǎn)，求證：；②若時(shí)，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

39．（2022·廣東深圳·中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．40．（2023·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．41．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫出的值（用含的式子表示）．42．（2022·湖北武漢·中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在處開始減速，此時(shí)白球在黑球前面處．小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度（單位：）、運(yùn)動(dòng)距離（單位：）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運(yùn)動(dòng)時(shí)間01234運(yùn)動(dòng)速度109.598.58運(yùn)動(dòng)距離09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成一次函數(shù)關(guān)系，運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間成二次函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為時(shí)，求它此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度；(3)若白球一直以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，問黑球在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)不會(huì)碰到白球？請(qǐng)說明理由．43．（2023·廣東深圳·二模）【定義1】如圖1所示，像這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角；【定義2】站在某一位置觀察測(cè)物體時(shí)，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點(diǎn)對(duì)矩形觀測(cè)，會(huì)有不同的視角．(1)【判斷】如圖3，連接，_____．（，，）(2)【問題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，P為直線l上一點(diǎn)，連接，求的最大值．(3)【拓展應(yīng)用】學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生春游，一條北偏東走向的路上經(jīng)過紫色大廈時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色大廈時(shí)的最大視角為，小明認(rèn)為，可以通過將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，可以計(jì)算出此時(shí)公路距離紫色大廈的最近距離的長(zhǎng)度．請(qǐng)你協(xié)助小明完成計(jì)算，直接寫出答案．

44．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．45．（2024·廣東深圳·一模）綜合與應(yīng)用為促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學(xué)在“大課間”開展“集體跳繩”運(yùn)動(dòng)．跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線的部分圖象，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時(shí)兩人手離地面均為米；已知小麗身高1.575米，在距離搖繩者A的水平距離米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂．

【閱讀理解】（1）求圖中拋物線的解析式；（不需要求自變量取值范圍）【問題解決】（2）體育龍老師身高米，請(qǐng)問他適合參加本次運(yùn)動(dòng)嗎？說明理由；（3）若多人進(jìn)入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米，試計(jì)算最多可供幾人齊跳.46．（2022·浙江溫州·中考真題）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．47．（2023·廣東深圳·二模）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接、，并以為斜邊在其上方作，連接．

(1)特例探究：如圖1，當(dāng)，時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為___________；(2)問題探究：如圖2所示，在旋轉(zhuǎn)的過程中，①（1）中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)，時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；(3)拓展提升：若正方形改為矩形，且，其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3所示，若，，直接寫出的長(zhǎng)度．（用含的式子表示）48．（2023·廣東深圳·二模）（1）如圖，在正方形中，、分別為、邊上的點(diǎn)且，延長(zhǎng)至使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖，在矩形中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，且點(diǎn)落在上，求的值；（3）如圖，在四邊形中，，，，，連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．

49．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的頂點(diǎn)分別在軸，軸上，點(diǎn)坐標(biāo)是為邊上一點(diǎn)，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在軸上的點(diǎn)處，的延長(zhǎng)線與軸相交于點(diǎn)(1)如圖，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，若是上一動(dòng)點(diǎn)，交于交于，設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在的條件下，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由50．（2023·廣東深圳·三模）在四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，落在對(duì)角線上．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得落在直線上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N．(1)【特例探究】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四邊形是正方形，且旋轉(zhuǎn)角小于時(shí)，會(huì)有，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；(2)【再探特例】如圖2，當(dāng)四邊形是菱形，且旋轉(zhuǎn)角小于時(shí)，若，．連接交于點(diǎn)．求的長(zhǎng)；

圖1

圖2(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，當(dāng)?shù)近c(diǎn)、點(diǎn)的距離，兩段距離比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

圖3

備用圖51．（2023·四川成都·三模）已知矩形，點(diǎn)E、F分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，連接、，記、交于點(diǎn)P．-

(1)如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若，，求；(3)如圖3，連接，若，，，求的長(zhǎng)度．52．（2021·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．53．（20-21九年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）（1）如圖1，正方形和正方形（其中），連接交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形和矩形，，將矩形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交于點(diǎn)H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出理由；若不成立，請(qǐng)寫出線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形和矩形，，將矩形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．54．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，已知線段與直線l，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，易，可知點(diǎn)P對(duì)線段的視角最大．

(1)問題提出如圖②，已知的外接圓為，與相切于點(diǎn)P，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．②若，，求的長(zhǎng)．(2)問題解決如圖③，一大型游樂場(chǎng)入口設(shè)在道路邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路夾角為的射線方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）確定一個(gè)位置C，并架設(shè)斜桿，在斜桿的中點(diǎn)P處安裝一攝像頭，對(duì)入口實(shí)施監(jiān)控（其中點(diǎn)A、B、D、P、C、M、N在同一平面內(nèi)）．已知米，米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大時(shí)監(jiān)控效果最好，請(qǐng)問在射線上是否存在一點(diǎn)C，使得達(dá)到最大？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)C在上的位置及斜桿的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．55．（2023·廣東深圳·三模）（1）【問題情境】如圖，正方形中，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，．易證（不需寫出證明過程），此時(shí)的值是______；（直接填結(jié)果）

（2）【問題解決】如圖，矩形中，，，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；

（3）【變式探究】如圖，菱形中，，對(duì)角線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、分別是線段和上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．

（4）【拓展延伸】如圖，點(diǎn)為等腰的斜邊的中點(diǎn)，，，連接，作，其中，，連接，求四邊形的面積的最大值為______．（直接寫出結(jié)果）

56．（2024·廣東深圳·二模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)落地窗的遮陽篷項(xiàng)目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度，為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù)．方案1：直角形遮陽篷如圖1，小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角形遮陽篷，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上(1)若，，則支撐桿m．(2)小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽光與地平面的最小夾角為a，最大夾角為β．小明查閱資料，計(jì)算出，，為了讓遮陽篷既能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)(太陽光與平行)，又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光(太陽光與平行)．請(qǐng)求出圖2中的長(zhǎng)度．方案2：拋物線形遮陽篷(3)如圖3，為了美觀及實(shí)用性，小明在(2)的基礎(chǔ)上將邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，段可伸縮)，且，，的長(zhǎng)保持不變．若以C為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸．①求該二次函數(shù)的表達(dá)式．②若某時(shí)刻太陽光與水平地面夾角的正切值使陽光最大限度地射入室內(nèi)，求遮陽蓬點(diǎn)D上升的高度最小值(即點(diǎn)到的距離)57．（2023·廣東深圳·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角中，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，則有下列命題：①；②；③；請(qǐng)你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫出證明過程；【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰中，，，點(diǎn)D，O分別為邊，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，若，求的值；【拓展應(yīng)用】（3）在等腰中，，，，點(diǎn)D，O分別為射線，上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)E，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)（用a，b表示）．58．（2023·廣東深圳·二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對(duì)球門的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時(shí)的最大張角．問題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有．小明證明過程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說明理由．問題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為___________米．問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門，是球場(chǎng)邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）59．（22-23九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）【問題初探】（1）如圖1，等腰中，，點(diǎn)為邊一點(diǎn)，以為腰向下作等腰，．連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．猜想并證明線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【深入探究】（2）在（1）的條件下，如圖2，將等腰繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【拓展遷移】（3）如圖3，等腰中，，．在中，，．連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為：__________；②若，，當(dāng)點(diǎn)在等腰內(nèi)部且的度數(shù)最大時(shí)，線段的長(zhǎng)度為__________．60．（2023·廣東深圳·二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率．如圖1，在中，，頂角的張率記作底邊腰．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的，所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義的張率，例如，，，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問題：如圖2，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，以，，為邊分別在的同側(cè)作等邊三角形，，，連接和．(1)【理解應(yīng)用】①若等邊三角形，，的邊長(zhǎng)分別為，，，則，，，三者之間的關(guān)系為；②；(2)【猜想證明】如圖3，連接，，猜想的值是多少，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖4，連接，，若，，則的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)的長(zhǎng)為多少？（可直接寫出上述兩個(gè)結(jié)果）61．（2023·廣東深圳·二模）【綜合與實(shí)踐】我國(guó)海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，總面積達(dá)多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)個(gè)．位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖1所示．如圖2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線m，小島面對(duì)海岸線一側(cè)的外緣近似看作，經(jīng)測(cè)量，的長(zhǎng)可近似為海里，它所對(duì)的圓心角的大小可近似為．(注：在m上的正投影為圖中線段，點(diǎn)O在m上的正投影落在線段上．)(1)求的半徑r；(2)因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問題，擬在海岸線上，建造一個(gè)淡水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水．為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣的距離最近(即要求補(bǔ)給站與上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值)；請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，在圖2中畫出補(bǔ)給站位置及最短運(yùn)輸路線(保留畫圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明)．(3)如圖3，若測(cè)得長(zhǎng)為海里，長(zhǎng)為海里，試求出（2）中的最小距離．62．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，利用這個(gè)推論可以解決很多數(shù)學(xué)問題．(1)【知識(shí)理解】如圖1，圓的內(nèi)接四邊形中，，，①________；________（填“”，“”，“”）②將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則線段的數(shù)量關(guān)系為________．(2)【知識(shí)應(yīng)用】如圖2，是圓的直徑，，猜想的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)【知識(shí)拓展】如圖3，已知，分別是射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊往外構(gòu)造等邊，點(diǎn)在內(nèi)部，若，直接寫出四邊形面積的取值范圍．63．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·一模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)G，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)．若，求的值．【拓展提高】(3)如圖3，在中，，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若平分，求的長(zhǎng)．64．（2023·廣東深圳·二模）如圖1，對(duì)于平面上小于或等于的，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在的內(nèi)部或邊上，作于點(diǎn)，于點(diǎn)F，則將稱為點(diǎn)P與的“點(diǎn)角距”，記作．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，x、y正半軸所組成的角記為．(1)已知點(diǎn)、點(diǎn)，則，．(2)若點(diǎn)P為內(nèi)部或邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，在圖2中畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形．(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，射線的函數(shù)關(guān)系式為．拋物線經(jīng)過，與射線交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q是A，D兩點(diǎn)之間的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q可與A，D兩點(diǎn)重合），求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．65．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【問題情境】（1）愛探究的小明在做數(shù)學(xué)題時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：如圖，是的直徑，是上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則面積的最大值為．請(qǐng)幫小明直接填空；【模型歸納】（2）小明在完成填空后，對(duì)上面問題中模型進(jìn)行如下歸納：如圖，是的弦，是優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，最大．請(qǐng)幫助小明完成這個(gè)結(jié)論的證明；【模型應(yīng)用】（3）如圖是四邊形休閑區(qū)域設(shè)計(jì)示意圖，已知，，休閑區(qū)域內(nèi)原有一條筆直小路的長(zhǎng)為米，現(xiàn)為了市民在該區(qū)域內(nèi)散步方便，準(zhǔn)備再修一條長(zhǎng)為米的小路，滿足點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在小路上．按設(shè)計(jì)要求需要給圖中陰影區(qū)域（即與四邊形，小路寬度忽略不計(jì)）種植花卉，為了節(jié)約成本且滿足設(shè)計(jì)需求，陰影部分的面積要盡可能的?。?qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的方案？若存在，請(qǐng)直接寫出陰影部分面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．66．（2024·廣東深圳·二模）在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來圖形變化規(guī)律和性質(zhì)．【操作探究】(1)如圖1，已知，，將繞著直角邊中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)D恰好落在的斜邊上時(shí)，斜邊與交于點(diǎn)H．

①猜想：_________②證明：．【問題解決】(2)在（1）的條件下，已知，，求的長(zhǎng)．【拓展提升】(3)如圖2，在菱形中，，，將菱形繞著中點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)E分別恰好落在菱形的邊和對(duì)角線上時(shí)，菱形的邊與邊相交于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

67．（2024·廣東深圳·一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．68．（2020·遼寧鞍山·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．①如圖1，若點(diǎn)E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；②如圖2，若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點(diǎn)，連接，，，求的最小值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4）點(diǎn)B（4，8），利用待定系數(shù)法代入拋物線即可求解；（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線可知坡頂坐標(biāo)為，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，若與坡頂距離超過米，即，由此即可求出b的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，8）代入拋物線得，，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式；（2）∵運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米，∴，解得：（不合題意，舍去），，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米；（3）∵點(diǎn)A（0，4），∴拋物線，∵拋物線，∴坡頂坐標(biāo)為，∵當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時(shí)，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題屬二次函數(shù)應(yīng)用中的難題.解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題．2．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明即可；（2）過B作于E，證明，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論；（3）過C作交延長(zhǎng)線于E，過D作于F，于G，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到：；證明四邊形為矩形，進(jìn)而推出為等腰直角三角形，勾股定理得到，聯(lián)立兩個(gè)等式，求出的值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）證明：過B作于E，如圖：∵，∴，∵的面積為6，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：過C作交延長(zhǎng)線于E，過D作于F，于G，如圖：設(shè)，∵，∴x，由勾股定理得：①，∵的面積為，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得：②，將①代入②中得：，∴③，將③代入①得：，解得：或，∵x，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（1），．（2）①見解析；②【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)題意證明出，得到，，進(jìn)而求解即可；（2）①延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，根據(jù)題意證明出，得到，，然后由矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；②設(shè)，根據(jù)題意表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：，．

理由：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，正方形，，，正方形，，，，在和中，，，，，，，故答案為：，；（2）①證明：如圖2中，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)．

四邊形、四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，．②設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，面積最小，最小面積是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在判斷三角形全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證明對(duì)應(yīng)角相等及利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．4．(1)(2)①；②0(3)①見解析；②【分析】（1）由函數(shù)圖象及方程可得當(dāng)時(shí)，自變量x的值，則可看作直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，進(jìn)而問題可求解；（2）①由題意可看作直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)的問題，進(jìn)而問題可求解；②由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對(duì)稱，即可求解；（2）①由函數(shù)圖象平移可直接進(jìn)行求解；②結(jié)合函數(shù)圖象可求解x的范圍問題．【詳解】（1）解：由題意及圖象可看作直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，如圖所示：∴方程的解為；故答案為：；（2）解：①由題意可看作直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)的問題，如圖所示：∴由圖象可得若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是；故答案為：；②由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對(duì)稱，假設(shè)方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，從小到大分別為、、、，∴，∴；故答案為：0（3）解：①由題意得：將函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象，則平移后的函數(shù)圖象如圖所示：；②由圖象可得：當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．5．(1)(2)發(fā)出后的排球能越過球網(wǎng)，不會(huì)出界，理由見解析(3)m的最大值與最小值的差為6【分析】本題考查二次函數(shù)與實(shí)際問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．（1）根據(jù)拋物線L的最高點(diǎn)設(shè)拋物線L的函數(shù)解析式為，把點(diǎn)代入即可求得a的值，從而解答；（2）把代入拋物線解析式中，求得排球經(jīng)過球網(wǎng)時(shí)的高度，從而根據(jù)球網(wǎng)高度即可判斷排球能否越過球網(wǎng)；把代入拋物線解析式中，求得點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)邊界點(diǎn)K的位置即可判斷排球是否出界；（3）根據(jù)拋物線的形狀與拋物線L相同，且最大高度為．可設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入可求得拋物線解析式為，從而得到排球反彈后排球從最高處開始下落，護(hù)欄在距離原點(diǎn)處，就會(huì)被排球砸到，即，在排球著地點(diǎn)A處砸到護(hù)欄，把代入解析式，求解可得到，從而可解答．【詳解】（1）∵排球經(jīng)過的路徑是拋物線L的一部分，其最高點(diǎn)為，∴拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線L的解析式為：，∵拋物線L過點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴發(fā)出后的排球能越過球網(wǎng)．∵當(dāng)時(shí)，，解得：，舍，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，∵∴不會(huì)出界．綜上，發(fā)出后的排球能越過球網(wǎng)，不會(huì)出界；（3）∵拋物線的形狀與拋物線L相同，且最大高度為．設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線過點(diǎn)，∴．解得：（不合題意，舍去），，∴，∴拋物線的最高點(diǎn)坐標(biāo)為∵排球從最高處開始下落，護(hù)欄在距離原點(diǎn)24m處，就會(huì)被排球砸到．∴；∵排球落地時(shí)，砸到點(diǎn)A．把代入函數(shù)，得，解得：（不合題意，舍去），．∴．∴m的最大值與最小值的差為：．6．(1)(2)(3)(4)不改變，【分析】（1）證明可得，同理再由可得結(jié)論；（2）由（1）得，，，所以，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得，證明求得的周長(zhǎng)為6，設(shè)則在用勾股定理列方程求出即可；（4）連接，過點(diǎn)D作，，證明，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步得出的周長(zhǎng),從而可得結(jié)論【詳解】（1）平分，，在和中，,；同理可得，，；（2）由（1）得：，，，∴（3）將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，從而有．∴，，，∵四邊形是正方形∴，，∴∴B、P、F三點(diǎn)共線∵∴∴即∵，，∴

∴設(shè)，，，∴

解得：即（4）的周長(zhǎng)不改變

如圖，連接，過點(diǎn)D作，，∵，，D為邊上中點(diǎn)∴，，∴，在中，，∴，又∴，∴∴

∵，∴∴∵且∴∴，

將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至，由背景知識(shí)可得：的周長(zhǎng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵7．(1)(2)(3)見解析，【分析】（1）證明，推出，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到；設(shè)，利用勾股定理分別表示出和，即可求解；（2）證明四邊形是平行四邊形，推出與互相平分，證明四邊形是矩形，得到，設(shè)，則，通過計(jì)算即可求解；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使，連接，再延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，證明，推出，得到，由菱形相似，得到，推出，得到，再證明，據(jù)此即可得出．【詳解】（1）解：如圖1中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H．

∵四邊形，四邊形都是正方形，∴，∴∵，∴，∴，∵，∴∵，∴連接，設(shè)，則，∵，∴．∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：（1）中的值有變化．理由：如圖2中，連接交于點(diǎn)O，連接交于．

∵，∴，∵，∴O，G，F(xiàn)共線，∵∴∵，，∴∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分，∵∴點(diǎn)M在直線上，∵，∴四邊形是矩形．∴，∵，∴，設(shè)，則，∴∵∴；（3）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使，連接，再延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，

∵，∴∴，∴，，∵，∴∵菱形菱形，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴∴，∴，∵∴∵且，∴且∴是直角三角形且．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似多邊形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．8．(1)，(2)①，②或【分析】（1）根據(jù)定義可得，勾股定理求得，即可求解；（2）①根據(jù)題意求得，根據(jù)新定義得出，設(shè)，)則，解方程即可求解，當(dāng))時(shí)，，應(yīng)舍去；②延長(zhǎng)交于，連接，作于．設(shè)，，證明，得出，即，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，∴，由勾股定理得，，故答案是，∵點(diǎn)是點(diǎn)，的三倍銳角點(diǎn)，∴，且，由勾股定理得，故答案是：（2）①當(dāng)時(shí)，∴∴，，∵點(diǎn)是，的三倍銳角點(diǎn)，∴，設(shè)，∴∴，當(dāng)，∴當(dāng)，∴當(dāng)時(shí)，，應(yīng)舍去．綜上所述：②如圖4，

延長(zhǎng)交于，連接，∵點(diǎn)是的三倍直角點(diǎn)，∴，∴是的直徑，∴，作于．設(shè)，∴，∴=∵∴∵，∴，∴∴∵，∴，當(dāng)，當(dāng)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，勾股定理，直角所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．9．(1)等腰直角三角形，；(2)①成立，理由見解析；②存在，．【分析】（1）如圖，連接，當(dāng)時(shí)，利用正方形及等腰三角形性質(zhì)可求得，，易得是等邊三角形即即可求出結(jié)合即可證得是等腰直角三角形，在與中，求得可證得即可得到；（2）①如圖連接，當(dāng)時(shí)，求得，從而得到即可證明是等腰直角三角形，在與中求得可證得即可得到；②如圖，當(dāng)時(shí)，由①可證得，及，，易證從而易證得是等腰直角三角形得，再證得，在中，，由①可知得，即，則有在中勾股定理解可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，當(dāng)時(shí)，，，，是等邊三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，同理，在中，，，，，故答案為：等腰直角三角形，；（2）①成立，理由如下，如圖連接，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，同理，在中，，，，，故結(jié)論成立；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，由①可知，，，，同理可證，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在中，，由①可知，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，與三角形有關(guān)的角的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．10．(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）可證得，，從而證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)A分別作軸，軸，垂足分別為E、F，由題意易得是正方形，同理（1）可知，連接，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，然后可得，，進(jìn)而根據(jù)k的幾何意義可進(jìn)行求解；（3）由題意易證，，則有，連接，交于點(diǎn)H，然后可得，進(jìn)而可得，最后問題可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，即：，是的外角，，，；（2）解：過點(diǎn)A分別作軸，軸，垂足分別為E、F，如圖所示：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴，∴四邊形是正方形，∴，∵，即，∴同理（1）可得，∴，即，∴，連接，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，∴，∴，∴，∵，∴，，設(shè)，則有，∴，∴，解得：；（3）解：四邊形是菱形，，，，即：，，，是的外角，，，,，，∵，，，∵，，連接，交于點(diǎn)H，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，即，∵，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（1）；（2）作圖見解析，，；（3）存在，【分析】（1）先設(shè)一次函數(shù)共根點(diǎn)為共根函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)一次函數(shù)共根點(diǎn)為的共根函數(shù)為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得出，然后根據(jù)描點(diǎn)法畫出圖象，以及平移后的圖形，根據(jù)圖象可知共根軸為，進(jìn)而求得共根點(diǎn)坐標(biāo)是；（3）平行于軸，設(shè)與這一對(duì)共根函數(shù)圖象相交的能構(gòu)成平行四邊形的兩點(diǎn)分別為，當(dāng)為平行四邊形時(shí)，則，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)一次函數(shù)共根點(diǎn)為的共根函數(shù)為，則解得：∴一次函數(shù)共根點(diǎn)為的共根函數(shù)為；故答案為：．（2）解：如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性可得列表如下，描點(diǎn)，連線如圖所示，將向右平移1個(gè)單位得到，根據(jù)圖象可知共根軸為，由，令，解得：∴這對(duì)共根函數(shù)的共根點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：，．（3）根據(jù)（2）可知當(dāng)時(shí)，或，設(shè)∴,∵平行于軸，設(shè)與這一對(duì)共根函數(shù)圖象相交的能構(gòu)成平行四邊形的兩點(diǎn)分別為，當(dāng)為平行四邊形時(shí)，則，根據(jù)題意，，解得：，；解得：，如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可知，只有一種情形滿足題意，即解得：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．(1)，(2)證明見詳解(3)①；②【分析】（1）由是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，可得沿翻折后可得到，可求，，再由三線合一定理得到，，求出的度數(shù)，即可求出答案；（2）過作，交的延長(zhǎng)線于，在中，可求，再證得到，則，在中，，由此即可證明結(jié)論；（3）連接交于，連接，可證、、、四點(diǎn)共圓，為圓心，在上，再證，可求，，從而可求，在中，，即可求解；②過作，交于，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，與交于，可得，當(dāng)取最大時(shí)，最大，所以當(dāng)與重合時(shí)，即，最大，即可求解.【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，沿翻折后可得到，，，，是的中點(diǎn)，，，即，，∴．故答案：，．（2）證明：如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于，

，四邊形是菱形，，四邊形是正方形，，，由（1）得：，，，在中，，；，

，，在和中，（），，．在中，，∴，∴

（3）解：①如圖，連接交于，連接，

由（2）得：，，、、、四點(diǎn)共圓，為圓心，四邊形是正方形，，在上，，是的中點(diǎn)，，

，，，，，，，，，，，

由（2）得：，，，，在中，，，，，由（1）折疊得：，．②如圖，過作，交于，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，與交于，

，，，當(dāng)取最大時(shí)，最大，如圖，當(dāng)與重合時(shí)，即，最大，

，，，，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，對(duì)稱和折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)①見解析；②；(2)；見解析；(3)．【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形是矩形，再由即可得出；②由正方形性質(zhì)知：、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接，只需證即可得；（3）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，求出的值，則可得出答案．【詳解】（1）解：①四邊形是正方形，，，、，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形；②由①知四邊形是正方形，，，，，，故答案為：；（2）解：連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，在和中，、，，，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：由（2）知，∵B、E、F三點(diǎn)在一條直線上，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，設(shè)，則，則由得，，則，，，，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．14．（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等即可；（2）過點(diǎn)O作的平行線交于點(diǎn)E、交于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作垂線交于點(diǎn)Q，構(gòu)造相似三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例求，然后根計(jì)算即可；（3）過點(diǎn)O作的垂線交于點(diǎn)H，用勾股定理求出，證、，結(jié)合與重疊部分的面積是的面積的，設(shè)列出方程求出m，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，；（2）解：如圖2，過點(diǎn)O作的平行線交于點(diǎn)E、交于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作垂線交于點(diǎn)Q，

∵四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，過點(diǎn)O作的垂線交于點(diǎn)H，

設(shè)，則，設(shè)，則，，，，，，，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，是直角三角形，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，與重疊部分的面積是的面積的，平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形的面積，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形、矩形、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．15．（1）70°；（2）見解析；（3）是定值，【分析】（1）由圓周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（2）證明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明CB=CE，則可得出結(jié)論；（3）由折疊的性質(zhì)可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，過點(diǎn)C作CQ⊥MN于點(diǎn)Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，連接BP，則∠ABP=90°，證明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB=NQ=MN，則可得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴∠CAB=∠CDB=40°，∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，∴α=×(180°?40°)=70°；（2）證明：∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴，∴∠DCB=∠A，∵∠ABC=∠CBE，∴△BCE∽△BAC，∴，∴BC2=BE?BA，∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，∴CB=CE，∴CE2=BE?BA；（3）是定值，．∵將CD分別沿BC、AC翻折得到CM、CN，∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，∴∠MCN=2∠ACB=2α，如圖3，過點(diǎn)C作CQ⊥MN于點(diǎn)Q，則MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，連接BP，則∠ABP=90°，∵，∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，在△ABP和△NQC中，∴△ABP≌△NQC（AAS），∴AB=NQ=MN，∴，為定值．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【初步理解】；【理解應(yīng)用】，；【知識(shí)遷移】是，２【分析】【初步理解】解析式變形為，求解即可;【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，求解即可;【知識(shí)遷移】由題意可得：，，作輔助線如解析圖，則，，，，，，構(gòu)建相似三角形，找出比例關(guān)系即可；【詳解】解：【初步理解】由一次函數(shù)變形為，，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，故一次函數(shù)必過一定點(diǎn)．故答案為：．【理解應(yīng)用】由二次函數(shù)變形為，，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，當(dāng)時(shí)，無論值如何變化，故二次函數(shù)必過定點(diǎn)，．所以二次函數(shù)落在軸負(fù)半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是，落在軸正半軸的定點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為：，．【知識(shí)遷移】由題意得∴，由上一小題得：，作軸交直線于點(diǎn)，作軸交直線于點(diǎn)，則，，，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足為、，則，，，，，∵，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒過定點(diǎn)的直線，拋物線以及相似三角形．本題主要理解新定義，構(gòu)建相似三角形解題，有一定的難度．17．(1)①見解析；②或(2)【分析】（1）①由，得平行四邊形是菱形，推出為等邊三角形，得到，再證明得到，即可得到結(jié)論；②作于，則，由，，得到，推出，列得，由此求出，再分當(dāng)落在左側(cè)時(shí)，；當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，；（2）作，且，連接，證明，得到，再證明，得到，根據(jù)，求出，利用兩點(diǎn)之間線段最短，得，，即，由此得到當(dāng)D、N、G在一條直線上時(shí)，取最大值是，取最小值是，計(jì)算可得兩者之差．【詳解】（1）①在平行四邊形中，，平行四邊形是菱形，平分，為等邊三角形，在菱形中，則，為等邊三角形．②作于，則在中，，在，，，∵，，當(dāng)落在左側(cè)時(shí)，當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，綜上，的長(zhǎng)度是或；（2）如圖，作，且，連接，在中，，，平分，∴，又∵，∴，∴又∵，∴∴∵，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，得，，∴，當(dāng)D、N、G在一條直線上時(shí)，取最大值是，取最小值是，∴兩者之差為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確理解各判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(1)①見解析；②，證明見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②想法1：過作，使，連接，由正方形的性質(zhì)得出，，，證明，得出，證出，證明，得出，證出，在中，由勾股定理即可；想法2，證明，在在中，由勾股定理即可，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）過作，使，連接，由證得：，得出，再由證得：，得出，，證出，得出，在中，由勾股定理即可得得出，根據(jù)題意得出，代入結(jié)論，解方程即可求解．【詳解】（1）解：①補(bǔ)全圖形，如圖1所示：②；理由如下：想法1：過作，使，連接，如圖2所示：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，在中，，∴；想法2，如圖所示，∵四邊形是正方形，將沿翻折，得到，∴，，∵，∴∴∴在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴；（2）解：如圖所示，過作，使，連接，∵直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，交直線于點(diǎn)，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴．∵正方形邊長(zhǎng)為，∴，∵，設(shè)，則∴解得：∴設(shè)，則，∵．∴，解得：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．19．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；（2）由題意可得，是的角平分線，且，故延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證，要證，而，即證明即可，延長(zhǎng)交于N，過E作于P，先證明，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明即可解決；（3）如圖3，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到，所以，則，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，所求線段和的值最小，利用，解即可解決．【詳解】（1）解：∵，如圖1，∴，E為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）證明：如圖2，設(shè)射線與射線交于點(diǎn)M，由題可設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延長(zhǎng)交于N，∴，過E作于P，則，在與中，

，∴，∴，過E作于Q，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，∴，在與中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等邊，同理以為邊構(gòu)造等邊，∴，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為線段BN的長(zhǎng)度，如圖4，過N作交其延長(zhǎng)線于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了線段的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”在證明三角形全等中的應(yīng)用，同時(shí)要注意基本輔助線構(gòu)造方法，比如第（2）問中的線段既是角平分線，又是垂線段，延長(zhǎng)相交構(gòu)等腰就是本題的突破口，再結(jié)合線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短來構(gòu)造全等，還考查了多條線段和的最值問題，利用旋轉(zhuǎn)變換來轉(zhuǎn)化線段是解決此問的關(guān)鍵．20．(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）連接、，證明是線段的垂直平分線，問題得證；（2）先證明，進(jìn)而證明，即可證明；（3）連接，先求出，，再證明，得到，設(shè)，則，分別得到，，，證明，得到，求出，從而得到，根據(jù)，即可求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，∵，，∴點(diǎn)都在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，連接，∵，，∴是線段的垂直平分線，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴