2023中考數(shù)學考試試卷試題中考數(shù)學初三真題及答案解析含答案

2023中考數(shù)學考試試卷試題中考數(shù)學初中學業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)A卷（共100分）注意事項：1、答題前，考生務(wù)必將將自己的姓名、學號、班級等填寫好．2、答A卷時，每小題選出答案后，用鋼筆或水筆把答案直接填寫在對應(yīng)題目的后面括號．第Ⅰ卷（選擇題共36分）一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．每小題涂對得3分，滿分36分．1．下列各式正確的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和相反數(shù)的定義對各選項分析判斷即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴選項A不符合題意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項B不符合題意；C、∵|﹣5|＝5，∴選項C不符合題意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項D符合題意．故選：D．2．如圖，AB∥CD，點P為CD上一點，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．3．冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學記數(shù)法表示110納米，則正確的結(jié)果是（）A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：110納米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故選：C．4．在平面直角坐標系的第四象限內(nèi)有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點M的坐標為（）A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用點的坐標特點進而分析得出答案．解：∵在平面直角坐標系的第四象限內(nèi)有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點M的縱坐標為：﹣4，橫坐標為：5，即點M的坐標為：（5，﹣4）．故選：D．5．下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．故選：B．6．如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S＝|k|即可判斷．解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，∵點A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點B在雙曲線線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故選：C．7．下列命題是假命題的是（）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判斷，可求解．解：A、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形是真命題，故選項A不合題意；B、對角線互相垂直的矩形是正方形是真命題，故選項B不合題意；C、對角線相等的菱形是正方形是真命題，故選項C不合題意；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，故選項D符合題意；故選：D．8．已知一組數(shù)據(jù)：5，4，3，4，9，關(guān)于這組數(shù)據(jù)的下列描述：①平均數(shù)是5，②中位數(shù)是4，③眾數(shù)是4，④方差是4.4，其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，再根據(jù)方差公式計算數(shù)據(jù)的方差，然后利用計算結(jié)果對各選項進行判斷．解：數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，它的平均數(shù)為＝5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，數(shù)據(jù)的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正確．故選：D．9．在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．10．對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判定【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不論k為何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程沒有實數(shù)根，故選：B．11．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當x＝1時，y的值最小，此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．12．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點A落在EF上的點A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點N．若直線BA′交直線CD于點O，BC＝5，EN＝1，則OD的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中位線定理可得AM＝2，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A′M＝A′N＝2，過M點作MG⊥EF于G，可求A′G，根據(jù)勾股定理可求MG，進一步得到BE，再根據(jù)平行線分線段成比例可求OF，從而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位線定理得AM＝2，由折疊的性質(zhì)可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2過M點作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共64分）注意事項：1、第Ⅱ卷共4頁，用鋼筆或圓珠筆將答案直接答在試卷上．2、答題前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)函數(shù)可知：,解得：．故答案為：．14.2020年6月23日9時43分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第五十五顆導航衛(wèi)星，標志著北斗三號衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)正式建成．根據(jù)最新數(shù)據(jù)，目前兼容北斗的終端產(chǎn)品至少有7億臺，其中7億用科學記數(shù)法表示為______________【答案】【解析】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為：，其中1≤∣∣﹤10，n為整數(shù)，確定a值和n值即可解答．【詳解】7億=700000000=，故答案為：．【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示，正確確定a的值和n的值是解答的關(guān)鍵．15.已知關(guān)于x的一元二次方程有一實數(shù)根為，則該方程的另一個實數(shù)根為_____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=-1代入原方程得到關(guān)于m的一元二次方程，解得m的值，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m的值．【詳解】解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，

∵(m-1)2≠0，

∴m1．∴m=4.∴方程為9x2+12x+3=0.設(shè)另一個根為a,則-a=.∴a=-.

故答案為:-．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定義．16.如圖，在矩形ABCD中，，，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則的最小值為___________________．【答案】【解析】【分析】如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，四邊形為矩形，，，即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查利用軸對稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟）17.計算：【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式和零次冪的運算法則分別對每項進行化簡，再進行加減計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算、熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式和零次冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．18.如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）AB＝CD（2）70°【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B=∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF，∠A＝∠D．∴△AEB≌△DFC．∴AB＝CD.（2）∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．19.我市某中學舉行“法制進校園”知識競賽，賽后將學生的成績分為A、B、C、D四個等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題．（1）成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有名；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)為，圖中m的值為；（3）學校決定從本次比賽獲得“A等級”的學生中選出2名去參加市中學生知識競賽．已知“A等級”中有1名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率．【答案】（1）5（2）72°；40（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)“A等級”的人數(shù)及占比求出學生總?cè)藬?shù)，再減去各組人數(shù)即可求出成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)；（2）根據(jù)“D等級”的占比即可求出其圓心角度數(shù)，根據(jù)“C等級”的人數(shù)即可求出m的值；（3）根據(jù)題意畫樹狀圖，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】（1）學生總?cè)藬?shù)為3÷15%=20（人）∴成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有20-3-8-4=5（人）故答案為：5；（2）“D等級”扇形的圓心角度數(shù)為m=，故答案為：72°；40；（3）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∴P（女生被選中）=．【點睛】此題主要考查統(tǒng)計調(diào)查的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出學生總?cè)藬?shù)及概率的求解方法．20.為了維護我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【答案】（1）B處到燈塔P的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【解析】【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度數(shù)，證得△ABP為等腰三角形，即可解決問題；

（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．【詳解】（1）過點P作PD⊥AB于點D，由題意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，

∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B處到燈塔P的距離為60海里；

（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，

∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，

PD=BPsin60°60（海里），∵，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．21.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設(shè)OE交⊙O于點F，若，求線段EF的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）EF=4；（3）【解析】【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得到CD=BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，則∠OBE=∠OCE；再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得BE與⊙O相切；

（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30o角的直角三角形邊角關(guān)系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120o,然后利用代入數(shù)值即可求解．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

∴OE為BC的垂直平分線，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，

∵CE為⊙O的切線，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∴∠OBE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE與⊙O相切．（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=∵OD2+BD2=OB2，

∴，解得R=4，

∴OD=2，OB=4，

∴∠OBD=30°，

∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30o，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30o和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60o，∴∠BOC=120o，又BC=，OE=8，∴=,【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、扇形面積的計算、含30o角的直角三角形邊角關(guān)系、勾股定理等知識，熟練掌握每個知識點是解答的關(guān)鍵．B卷（共60分）四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22.分解因式：_____________【答案】【解析】【分析】先根據(jù)十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．【詳解】故答案為：．【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的方法．23.若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的積為_____________【答案】40【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出a5且a≠3，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出a>0，找出0<a5且a≠3中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：分式方程的解為x=且x≠1，∵分式方程的解為非負數(shù)，∴且≠1.∴a5且a≠3.解不等式①，得.解不等式②，得y<a.∵關(guān)于y的不等式組的解集為，∴a>0.∴0<a5且a≠3.又a為整數(shù)，則a的值為1，2，4，5.符合條件的所有整數(shù)a的積為.故答案為：40.【點睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標系中，點A（-2，0），直線與x軸交于點B，以AB為邊作等邊，過點作軸，交直線l于點，以為邊作等邊，過點作軸，交直線l于點，以為邊作等邊，以此類推……，則點的縱坐標是______________【答案】【解析】【分析】如圖，過A1作A1C⊥AB與C，過A2作A2C1⊥A1B1于C1，過A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根據(jù)直線方程與x軸交于點B（-1，0），且與x軸夾角為30o，則有AB=1，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30o的直角三角形的性質(zhì)，分別求的A1、A2、A3、的縱坐標，進而得到An的縱坐標，據(jù)此可得A2020的縱坐標，即可解答．【詳解】如圖，過A1作A1C⊥AB與C，過A2作A2C1⊥A1B1于C1，過A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根據(jù)直線方程與x軸交于點B（-1，0），與y軸交于點D（0，），∴OB=1,OD=,∴∠DBO=30o由題意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30o,∠B1A1B=∠B2A2B1=60o∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90o，∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n

∴A1C=AB=×1，A1縱坐標為×1=；A2C1=A1B1=，A2的縱坐標為×1+===；A3C2=A2B2=,A3的縱坐標為×1++===；…由此規(guī)律可得：AnCn-1=,An的縱坐標為=，∴A2020=，故答案為：【點睛】本題是一道點的坐標變化規(guī)律探究，涉及一次函數(shù)的圖象、等邊三角形的性質(zhì)、含30o角的直角三角形的性質(zhì)，數(shù)字型規(guī)律等知識，解答的關(guān)鍵是認真審題，觀察圖象，結(jié)合基本圖形的有關(guān)性質(zhì)，找到坐標變化規(guī)律．25.已知拋物線（如圖）和直線．我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為和．若，取和中較大者為M；若，記．①當時，M的最大值為4；②當時，使的x的取值范圍是；③當時，使的x的值是，；④當時，M隨x的增大而增大．上述結(jié)論正確的是____（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)題目中的較大者M的定義逐個分析即可．【詳解】解：對于①：當時，，，顯然只要，則M的值為，故①錯誤；對于②：當時，在同一直角坐標系內(nèi)畫出的圖像，如下圖所示，其中紅色部分即表示M，聯(lián)立的函數(shù)表達式，即，求得交點橫坐標為和，觀察圖形可知的x的取值范圍是，故②正確；對于③：當時，在同一直角坐標系內(nèi)畫出的圖像，如下圖所示，其中紅色部分即表示M，聯(lián)立的函數(shù)表達式，即，求得其交點的橫坐標為和，故M=3時分類討論：當時，解得或，當時，解得(舍)，故③正確；對于④：當時，函數(shù)，此時圖像一直在圖像上方，如下圖所示，故此時M=，故M隨x的增大而增大，故④正確．故答案為：②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像性質(zhì)及交點坐標，本題的關(guān)鍵是要能理解M的含義，學會用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）26.我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進行這樣的分解：（m，n是正整數(shù)，且），在x的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是x的最佳分解．并規(guī)定：．例如：18可以分解成，或，因為，所以是18的最佳分解，所以．（1）填空：；；（2）一個兩位正整數(shù)t（，，a，b為正整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54，求出所有的兩位正整數(shù)；并求的最大值；（3）填空：①；②；③；④．【答案】（1）；1；（2）t為39，28，17；的最大值；（3）【解析】【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；（2）由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，得到b?a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；（3）根據(jù)的定義即可依次求解．【詳解】（1）6＝1×6＝2×3，∵6?1＞3?2，∴＝；9=1×9=3×3，∵9?1＞3?3，∴=1，故答案為：；1；（2）由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，∴b?a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t為39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴＝；17＝1×17，∴；∴的最大值．（3）①∵=20×21∴；②=28×30∴；③∵=56×30∴；④∵=56×60∴，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式，再由數(shù)的特點求解是解題的關(guān)鍵．27.如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到BQ，連結(jié)QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結(jié)CQ，求證：；（2）若，求的值；（3）求證：．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)知△PBQ為等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，進而證明△APB≌△CQB即可；(2)設(shè)AP=x，則AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC為等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再證明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，進而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，證明△PFA≌△QGC，進而得到PF=QG，然后再證明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，進而求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ，在△APB和△CQB中，，∴△APB≌△CQB(SAS)，∴AP=CQ．(2)設(shè)AP=x，則AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，△ABC為等腰直角三角形，∴BC=，Rt△PCQ中，由勾股定理有：，且△PBQ為等腰直角三角形，∴，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，∴△BQE∽△BCQ，∴，代入數(shù)據(jù)：，∴BE=，∴CE=BC-BE=，∴，故答案為：．(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，如圖所示：∵∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有△PFA≌△QGC(SAS)，∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，∴∠DFP=∠QGE，∵DABC，∴∠DFP=∠CEQ，∴∠QGE=∠CEQ，∴△QGE為等腰三角形，∴GQ=QE，故PF=QE．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)的綜合，具有一定的綜合性，本題第(3)問關(guān)鍵是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA這條輔助線．28.如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，點D（x，y）為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）當?shù)拿娣e為3時，求點D的坐標；（3）過點D作，垂足為點E，是否存在點D，使得中的某個角等于的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．【解析】【分析】（1）根據(jù)點A、B、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式可求與BC平行的經(jīng)過點D的y軸上點M的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求DM的解析式，再聯(lián)立拋物線可求點D的坐標；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC兩種情況考慮：①當∠DCE＝2∠ABC時，取點F（0，?2），連接BF，則CD∥BF，由點B，F(xiàn)的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BF，CD的解析式，聯(lián)立直線CD及拋物線的解析式組成方程組，通過解方程組可求出點D的坐標；②當∠CDE＝2∠ABC時，過點C作CN⊥BF于點N，交OB于H．作點N關(guān)于BC的對稱點P，連接NP交BC于點Q，由△OCH∽△OBF求出H點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線CN的解析式，聯(lián)立直線BF及直線CN成方程組，通過解方程組可求出點N的坐標，利用對稱的性質(zhì)可求出點P的坐標，由點C、P的坐標，利用