行列式定義的引入

行列式定義的引入解方程組第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天本課程主要講述：一般形式線性方程組的求解問題(理論)注意實(shí)踐上n與s的取值。第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天第1節(jié)矩陣概念的引入問題1：電腦硬盤容量？≥

500G,1T,2T問題2：如此大的存儲空間作為研究是否夠用？一次地震勘探的數(shù)據(jù)量多達(dá)數(shù)百G。問題3：如何有效組織這些數(shù)據(jù)？最簡單的組織形式就是將數(shù)據(jù)按一維順序形式排列起來，這是一維數(shù)組；其它常見的組織形式還有二維數(shù)組（又稱矩陣），三維與高維數(shù)組，鏈表，樹等形式。每種組織都有其自己的特點(diǎn)，應(yīng)使問題選用合適的組織形式。我們主要研究最基本的一維（向量）與二維數(shù)組（矩陣）形式。第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天矩陣定義：由sn個數(shù)排成如下的的s行n列的陣列就稱為一個s×n

矩陣。其中aij

是數(shù)，稱為矩陣的元素,i=1,2,…,s稱為元素的行指標(biāo)，j=1,2,…,n稱為元素的列指標(biāo)。在記號上，一般用英文大寫字母A，B，C表示矩陣，用小寫字母表示矩陣的元素。第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天矩陣的例子：A＝特殊矩陣（僅從外觀上）1)s=n,如上邊的矩陣A,稱為方陣；

s=1,只有一行的矩陣，稱為行矩陣，又稱行向量；

n=1,只有一列的矩陣，稱為列矩陣，又稱列向量；

s=n=1,該矩陣只含一個元素，因此大多數(shù)情況下直接使用該數(shù)。第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天問題：請在方陣A上定義一個函數(shù)？基本要求：自然地，希望這n2個數(shù)都能被用上，且使每個位置上的數(shù)對所構(gòu)造函數(shù)的貢獻(xiàn)盡量一樣，即它們的位置在函數(shù)的定義中應(yīng)保持某種平衡。針對上面的目標(biāo)，該如何定義這個函數(shù)？或者說應(yīng)有哪些基本原則應(yīng)該遵循？第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天如下原則可能是需要的：可分性，即定義的函數(shù)不應(yīng)是一個不可有效分割的整體；各部分間應(yīng)類似，不應(yīng)出現(xiàn)過多的分部形式；每一部分應(yīng)包含部分?jǐn)?shù)據(jù)；簡單性，應(yīng)避開使用復(fù)雜的函數(shù)形式；應(yīng)存在抵消機(jī)制，即保持所定義的函數(shù)在可控的范圍內(nèi)，而不會輕易出現(xiàn)天文數(shù)字。

…第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天第2節(jié)排列及其奇偶性目的：為了引進(jìn)對方陣函數(shù)定義的正負(fù)抵消機(jī)制。定義：由1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。例如，2431是一個四級排列，54321是一個5級排列。n級排列的總數(shù)是n(n-1)·

·

·2·1=n!排列12·

·

·

n具有自然順序，即數(shù)字按遞增的順序排列起來，稱這樣的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，其它的排列都或多或少地破壞自然順序。第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天定義：在一個排列中，如果一對數(shù)所處的前后位置與其大小次序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序或反序，一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)或反序數(shù)。排列2431的逆序數(shù)是4；排列45321的逆序數(shù)是9。對任一n級排列用表示其逆序數(shù)。從而注意到n級標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)為0，而排列n(n-1)…21任取兩個數(shù)均為逆序，從而具有最大逆序數(shù)，且其逆序數(shù)為n(n-1)/2,故第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天定義：稱逆序數(shù)為偶數(shù)的排列為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列。由知排列2431為偶排列，

45321為奇排列。例

＝第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天逆序數(shù)為故排列的奇偶性與k的奇偶性相同。2)逆序數(shù)為故當(dāng)n=4k,4k+1時，排列為偶排列；當(dāng)n=4k+2,4k+3時，為奇排列。例：計算以下各排列的反序數(shù)，并討論它們的奇偶性第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天在排列中，把任意兩個元素（數(shù)）對調(diào)位置，而其余的數(shù)不動，就得到另一個排列，這種作出新排列的方法（變換）稱為一個對換。定理：對換改變排列的奇偶性。推論：在全部n級排列中，奇偶排列的個數(shù)相等，各占n!/2。定理：任意一個n級排列與標(biāo)準(zhǔn)排列12…n都可以經(jīng)過一系列對換互變；且所作對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。即奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天第3節(jié)行列式的定義定義：n級行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和。第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例：計算行列式例：計算行列式第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例：計算上三角形行列式＝第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天行列式定義的等價形式第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天行列式基本性質(zhì)：行列互換，行列式不變。＝性質(zhì)表明，在行列式中行與列的