2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

數(shù)學(xué)（文科）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

A.{0,1,2）B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

?65%

W8Wi*講座前

75%

?那座C

78.

65%

56

居民俄號(hào)

則（）

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.貝”iz+3z-|=（）

A.4-J5B.4-萬(wàn)C.2-J5D.2-J1

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體

的體積為（）

m

A.8B.12C.16D.20

5.將函數(shù)/(x)=sin'd>.x+—\?>0)的圖像向左平移-個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若

I3J2

C關(guān)于y軸對(duì)稱，則出的最小值是()

6,從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片

上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

7.函數(shù)/(x)=(3'-3-')cosx在區(qū)間［-色，色］的圖像大致為()

、，|_22J

8.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)人勸二^足工+^取得最大值-2,則7(2)=()

A.-1B.--C.-D.1

12

9.在長(zhǎng)方體ABCD-中，已知瓦。與平面ABCD和平面羽田田所成的角均為

30。，貝ij()

A.AB=2ADB.A8與平面所成的角為3。。

C.AC=CB}D.3Vo與平面3耳G。所成的角為45。

10.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和

乙體積分別為%和乙.若。甲貝”［甲=(

S,V=2,)

5阮

A.-J5B.2-J1C.-xAoD.

4

11已知橢圓方W）的離心率為:，A4分別為。的左、右頂點(diǎn)，

B為C的上頂點(diǎn).若對(duì)BA2=-1,貝UC的方程為（）

A.—+2^=1B7bC+-1D

18169832

，21

+y=1

2

12.已知9"=10,a=10"'-11,6=8"'-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量（加,3）,Z>=（1,加+1）.若a1■b,貝！I"2=.

14.設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y_l=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在叔M上，貝母M的方程為

15.記雙曲線C:今一一=l（a>0,6>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

無(wú)公共點(diǎn)''的e的一個(gè)值______________.

16.已知△A5C中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=1200,A￡>=2,CD=2BD.當(dāng)，■取

得最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行

情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

2

9n(ad-be)

附：K=-------------—-------------------,

(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

0.1000.0500.010

k|2.7063.8416.635

18.（12分）

記S〃為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知幾=2a〃+l.

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；

⑵若見(jiàn)，%，。9成等比數(shù)列，求S”的最小值.

19.（12分）

小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面A8CD是

邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，△&AA4FBC,GCD,均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面A8CD垂直.

（1）證明：ER〃平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

20.（12分）

己知函數(shù)/（X）=V-x,g（x）=%2，曲線y在點(diǎn)（X[,/Gi））處的切線也是曲線

y=g（x）的切線.

（1）右*Xj=-1,Q:

（2）求。的取值范圍.

21.（12分）

設(shè)拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、D（p,0）,過(guò)廠的直線交。于N兩

點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，心司=3.

（1）求C的方程：

（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為

a.fi.當(dāng)a-￡取得最大值時(shí)，求直線的方程.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

f1A1

X-

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為<6（/為參數(shù)），曲線。2的參數(shù)方程

[y=6

|2+s

為，6(s為參數(shù)).

［y=-S/J

(i)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

2cos?-sin。=0,求C3與孰交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C3與交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,6,c均為正數(shù)，且a?+/+4<?=3,證明：

(1)a+b+2c?3

⑵若b=2c,則1+1...3.

ac

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

數(shù)學(xué)(文科)

參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.A2,B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

_心

13.4##—0.75

14.。-1)2+。+1)2=5

15.2(滿足l<e4石皆可)

16.萬(wàn)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

(一)必考題：共60分.

121

17.(1)A,B兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為13,8

(2)有

18.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)-78.

19.(1)

如圖所示:

分別取A昆的中點(diǎn)連接力亞，因?yàn)锳"昆人咫。為全等的正三角形，所以

￡71^I2^5,F^NIBC,E]\^=FN,又平面平面A3CD,平面EABc平面

ABCD=AB,EML平面E4B,所以EM1■平面A3CD,同理可得月\比平面

ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//產(chǎn)N,而EM=FN,所以四邊形

EMNF為平行四邊形，所以EF//MN,又EFS平面ABCD,MNu平面ABCD,

所以Ef7/平面ABCD.

⑵3

20.(1)3⑵卜L+B)

21.(1)y=4x；

⑵AB:x=Jly+4

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則