2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 數(shù)列

2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)

數(shù)列一．?dāng)?shù)列的概念【知識(shí)梳理】1、一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．其中第1項(xiàng)叫做首項(xiàng)．項(xiàng)數(shù)有限的的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列．2、數(shù)列的一般形式是，，…，，…，簡(jiǎn)記為．由于數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第項(xiàng)，記為．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值，，…，，…就是數(shù)列．3、一般函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性．從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列．特別地，各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列．4、如果數(shù)列的第項(xiàng)與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項(xiàng)公式可以寫(xiě)出數(shù)列的各項(xiàng)．5、或常常用來(lái)表示正負(fù)相間的變化規(guī)律．6、如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)．7、我們把數(shù)列從第1項(xiàng)起到第項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列的前項(xiàng)和，記作，即．顯然，而，于是我們有【針對(duì)性訓(xùn)練】1．?dāng)?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是A． B． C． D．2．下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1是相同的數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 C．任何一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示 D．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的3．若數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，則A．10 B．12 C．28 D．824．下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列，又是遞增數(shù)列的是A． B． C． D．5．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是A． B． C． D．6．已知無(wú)窮數(shù)列15，，，，．（1）求這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)．（2）是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（3）這個(gè)數(shù)列中是否存在等于序號(hào)的2倍的項(xiàng)？如果存在，求出這些項(xiàng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知數(shù)列滿足，且，則這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)是A．2 B． C． D．8．?dāng)?shù)列中，，，，則為A． B． C． D．199．若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于A． B． C．30 D．10．在數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是A． B．的值為常數(shù) C． D．二．等差數(shù)列【知識(shí)梳理】1、一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常熟，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．2、由三個(gè)數(shù)，A，組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做與的等差中項(xiàng)．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，．3、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．4、由于，所以當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的第項(xiàng)是一次函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，即．與此相通，任給一次函數(shù)（，為常數(shù)），則，，…，，…構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為．5、已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，*，且，則．6、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式．把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入公式，可得．7、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可以寫(xiě)成，所以當(dāng)時(shí)，可以看成二次函數(shù)（）當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的圖像是一條開(kāi)口向下的拋物線上的一些點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線上的一些點(diǎn)．8、已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則是等差數(shù)列．9、已知等差數(shù)列的公差為，則，這個(gè)公式可以從直線的斜率這個(gè)角度來(lái)理解．【針對(duì)性訓(xùn)練】11．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，則A．1 B．3 C．6 D．912．已知等差數(shù)列中，，，則的值是A．15 B．30 C．31 D．6413．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．14．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為A．5 B．4 C．3 D．215．已知為遞增的等差數(shù)列，，，若，則A．9 B．10 C．11 D．1216．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．9 B．11 C．15 D．1717．在等差數(shù)列中，，，，若的前項(xiàng)和為，則A．1 B．2 C． D．418．設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，已知，且，．（1）求的取值范圍．（2）數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大？說(shuō)明理由．19．已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求．三．等比數(shù)列【知識(shí)梳理】1、一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（顯然）．2、與等差中項(xiàng)類似，如果在與中間插入一個(gè)數(shù)G，使，G，成等比數(shù)列，那么G叫做與的等比中項(xiàng)，此時(shí)，．3、首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．4、類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由可知，當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列的第項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．與此相通，任給指數(shù)函數(shù)（，為常數(shù)，，，且），則，，…，，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為．5、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，因?yàn)?，所以還可以寫(xiě)成．6、已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的公比為．7、已知，且，對(duì)于*，．【針對(duì)性訓(xùn)練】21．在等比數(shù)列中，若，，則公比的值等于A． B． C．2 D．422．若數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則的值是A．12 B． C． D．23．在等比數(shù)列中，，則A． B．3 C． D．24．已知等比數(shù)列中，，且有，則．25．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公比，，，則A．31 B．36 C．48 D．6326．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．27．一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B．1 C．2 D．328．等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則的最大值為A． B． C．1 D．229．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)，的最小值與最大值的比值為．30．已知是公比大于1的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求．四．?dāng)?shù)學(xué)歸納法【知識(shí)梳理】1、一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)（*）時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)（*，）時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．2、記是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫(xiě)如下： 條件：（1）為真；（2）若（*，）為真，則也為真． 結(jié)論：為真．3、數(shù)學(xué)歸納法常見(jiàn)的應(yīng)用公式：①；②；③．【針對(duì)性訓(xùn)練】31．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，的過(guò)程，由到時(shí)左邊增加了A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)32．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步驗(yàn)證等于A．1 B．2 C．3 D．033．如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立，則下列結(jié)論正確的是A．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正整數(shù)都成立 B．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正偶數(shù)都成立 C．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正奇數(shù)都成立 D．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的自然數(shù)都成立34．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是．35．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意正偶數(shù)均有，在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成A．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 B．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 C．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 D．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立36．用數(shù)學(xué)歸納法證明，下列說(shuō)法不正確的是A．當(dāng)時(shí)，等式左邊為 B．當(dāng)時(shí)，等式左邊為 C．當(dāng)時(shí)，等式左邊在的基礎(chǔ)上增加的項(xiàng)是 D．當(dāng)時(shí)，等式左邊在的基礎(chǔ)上增加的項(xiàng)是37．記是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，當(dāng)時(shí)命題為真可以推出當(dāng)時(shí)命題也為真．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題為假，那么下列結(jié)論正確的是．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）①當(dāng)時(shí)，該命題一定為假；②當(dāng)時(shí)，該命題一定為真；③當(dāng)時(shí)，該命題一定為假；④至少存在一個(gè)自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，該命題為真．38．在數(shù)列中，．（1）求出，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．39．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是A． B． C． D．40．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之?dāng)?shù)列參考答案與試題解析一．?dāng)?shù)列的概念1．?dāng)?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】把數(shù)列中的每一項(xiàng)的分母分解為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積，即可判斷該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是什么．【解答】解：因?yàn)?，，，，，所以?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1是相同的數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 C．任何一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示 D．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列的函數(shù)特性【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；綜合題【分析】根據(jù)數(shù)列的概念可判斷；根據(jù)通項(xiàng)公式的概念可判斷；不難找到一些規(guī)律性不強(qiáng)的數(shù)列，找不到通項(xiàng)公式，故錯(cuò)誤，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可能是有限的可判斷．【解答】解：數(shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1不是同一個(gè)數(shù)列，故錯(cuò)誤；數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列通項(xiàng)公式是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，故正確；并不是所有數(shù)列中的項(xiàng)都可以用通項(xiàng)公式來(lái)表示，比如所有質(zhì)數(shù)從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；數(shù)列1，2，3，4，5只有5項(xiàng)，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念，考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義，屬基礎(chǔ)題．3．若數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，則A．10 B．12 C．28 D．82【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法【分析】由已知直接利用數(shù)列遞推式求解．【解答】解：由，且當(dāng)時(shí)，，得，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列，又是遞增數(shù)列的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法【專題】閱讀型【分析】要找既是無(wú)窮數(shù)列必須是項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列，又是遞增數(shù)列必須是后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)大的數(shù)列．依據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)從四個(gè)答案中判斷正確選項(xiàng)即可．【解答】解：首先，，，四個(gè)選項(xiàng)中的項(xiàng)數(shù)都是無(wú)限的，所以都是無(wú)窮數(shù)列．而選項(xiàng)中的數(shù)列中的項(xiàng)是越來(lái)越小的，不屬于遞增數(shù)列；中數(shù)列的項(xiàng)成周期變化，也不是遞增數(shù)列；中數(shù)列的項(xiàng)有正有負(fù)，故不是遞增數(shù)列；而中的數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足所有條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生對(duì)無(wú)窮數(shù)列和遞增數(shù)列概念的理解能力．5．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于，選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列；對(duì)于選項(xiàng)，，數(shù)列是遞增數(shù)列；對(duì)于選項(xiàng)，，數(shù)列不是遞增數(shù)列．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．6．已知無(wú)窮數(shù)列15，，，，．（1）求這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)．（2）是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（3）這個(gè)數(shù)列中是否存在等于序號(hào)的2倍的項(xiàng)？如果存在，求出這些項(xiàng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）．（2）第21項(xiàng)．（3）存在，其值等于序號(hào)的2倍．【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；整體思想【分析】（1）由題意可知，數(shù)列的通項(xiàng)，令即可求出結(jié)果．（2）令求出的值即可．（3）若存在，則，即，求出的值即可．【解答】解：（1）由題意可知，數(shù)列的通項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)為．（2）令，解得，是這個(gè)數(shù)列的第21項(xiàng)．（3）若存在，則，即，整理得，解得或（舍去）．故存在，其值等于序號(hào)的2倍．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知數(shù)列滿足，且，則這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)是A．2 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式逐步求解即可．【解答】解：數(shù)列的第1項(xiàng)，以后的各項(xiàng)由公式且給出，可得，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題．8．?dāng)?shù)列中，，，，則為A． B． C． D．19【答案】【考點(diǎn)】：數(shù)列遞推式【專題】11：計(jì)算題【分析】由題中的遞推公式可以求出數(shù)列的各項(xiàng)，得出正確結(jié)果．【解答】解：數(shù)列中，，所以，由于，，所以，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推公式的簡(jiǎn)單直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于A． B． C．30 D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)項(xiàng)和和之間的關(guān)系，利用進(jìn)行求解即可．【解答】解：，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)當(dāng)時(shí)，進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10．在數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是A． B．的值為常數(shù) C． D．【答案】【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先求出的值，再根據(jù)遞推公式可得數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列，分別是以3為公比的等比數(shù)列，問(wèn)題得以解決．【解答】解：，，，即，，，，數(shù)列的奇數(shù)列和偶數(shù)列，分別是以3為公比的等比數(shù)列，，，，故正確；，故不正確；，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析能力與計(jì)算能力．屬于中檔題．二．等差數(shù)列11．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，則A．1 B．3 C．6 D．9【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】函數(shù)思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：在等差數(shù)列中，公差，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．12．已知等差數(shù)列中，，，則的值是A．15 B．30 C．31 D．64【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】解法一：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，再由，，建立，的方程，再分別求解，，最后代入通項(xiàng)公式即可求解；解法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，再由，，建立，的方程，將兩方程對(duì)減即可得解．【解答】解：解法一：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得，解得，，，解法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得，兩式相減得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．13．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，公差，則，解得，故首項(xiàng)為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為A．5 B．4 C．3 D．2【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】寫(xiě)出數(shù)列的第一、三、五、七、九項(xiàng)的和即，寫(xiě)出數(shù)列的第二、四、六、八、十項(xiàng)的和即，都用首項(xiàng)和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)和的問(wèn)題也可以這樣解，讓每一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)減去前一奇數(shù)項(xiàng)，有幾對(duì)得到幾個(gè)公差，讓偶數(shù)項(xiàng)和減去奇數(shù)項(xiàng)和的差除以公差的系數(shù)．15．已知為遞增的等差數(shù)列，，，若，則A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，結(jié)合可求得、，然后求得，最后結(jié)合求得值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，又且為遞增的等差數(shù)列，解得：，；，又，，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．9 B．11 C．15 D．17【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，，解得，，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．在等差數(shù)列中，，，，若的前項(xiàng)和為，則A．1 B．2 C． D．4【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，由此能求出．【解答】解：在等差數(shù)列中，，，，，解得，等差數(shù)列的公差，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，已知，且，．（1）求的取值范圍．（2）數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大？說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）數(shù)列的前6項(xiàng)和最大．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想【分析】（1）根據(jù)題意，由，，．可得，，．即可解出公差的取值范圍．（2）根據(jù)題意，由，，分析可得：，．即可得出．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列中，有，，．則，，，變形可得，，．即，，．解可得：．故公差的取值范圍是，；（2）根據(jù)題意，數(shù)列的前6項(xiàng)和最大，理由：由，．可得：，．故數(shù)列的前6項(xiàng)和最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．19．已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】定義法；邏輯推理；方程思想；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題【分析】（1）由可得，進(jìn)一步結(jié)合即可證明是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；（2）先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)一步兩邊同時(shí)乘以即可得到的通項(xiàng)公式．【解答】（1）證明：由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，（2）解：由（1）可知，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，考查學(xué)生歸納推理與運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求．【答案】（1），（2）．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；綜合法【分析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，由此可得，解可得與的值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分與兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，又由，，則有，解可得，故，（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和計(jì)算，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．三．等比數(shù)列21．在等比數(shù)列中，若，，則公比的值等于A． B． C．2 D．4【答案】【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算．【解答】解：在等比數(shù)列中，由，，所以，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型．22．若數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則的值是A．12 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，結(jié)合得到答案．【解答】解：數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則，故，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．23．在等比數(shù)列中，，則A． B．3 C． D．【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，可得，由此即可求解．【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)得，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．24．已知等比數(shù)列中，，且有，則1．【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，化為，解得．．故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．25．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公比，，，則A．31 B．36 C．48 D．63【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項(xiàng)與公比，再結(jié)合【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，為等比數(shù)列，，，或，當(dāng)時(shí)，或（舍去），當(dāng)時(shí)，（舍去），故，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．26．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和，求出，，，再由，能求出．【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．27．一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B．1 C．2 D．3【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的前三項(xiàng)，由等比數(shù)列的定義可得關(guān)于的方程，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，必有，解可得或0（舍；則；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，注意等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題．28．等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則的最大值為A． B． C．1 D．2【答案】【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】分別把奇數(shù)項(xiàng)之和，偶數(shù)項(xiàng)之和以及表示出來(lái)即可得．【解答】解：設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，由題意得，，，所以，所以，故當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，最大值為2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．29．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí)，的最小值與最大值的比值為．【答案】．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，先求出，再分是否為偶數(shù)，依次求出最大值、最小值，即可求解．【解答】解：在等比數(shù)列中，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，則，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，故，故的最小值為，最大值為，最小值與最大值的比值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題．30．已知是公比大于1的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前項(xiàng)和；數(shù)列的求和【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用求和公式求出數(shù)列的和．【解答】解：是公比大于1的等比數(shù)列，，．所以，解得．故．（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．四．?dāng)?shù)學(xué)歸納法31．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，的過(guò)程，由到時(shí)左邊增加了A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【考點(diǎn)】：數(shù)學(xué)歸納法【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；11：計(jì)算題；49：綜合法【分析】時(shí)，最后一項(xiàng)為，時(shí)，最后一項(xiàng)為，由此可得由變到時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)．【解答】解：由題意，時(shí)，最后一項(xiàng)為，時(shí)，最后一項(xiàng)為，由變到時(shí)，左邊增加了故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．32．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步驗(yàn)證等于A．1 B．2 C．3 D．0【答案】【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【專題】閱讀型【分析】數(shù)學(xué)歸納法第一步應(yīng)驗(yàn)證的最小值時(shí)，命題是否成立．【解答】解：多邊形的邊數(shù)最少是3，即三角形，第一步驗(yàn)證等于3．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若成立（奠基）假設(shè)成立，可以推出成立（歸納），則對(duì)一切大于等于的自然數(shù)都成立33．如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立，則下列結(jié)論正確的是A．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正整數(shù)都成立 B．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正偶數(shù)都成立 C．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正奇數(shù)都成立 D．如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的自然數(shù)都成立【答案】【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；推理和證明【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合命題對(duì)成立，它對(duì)也成立，即可求解．【解答】解：命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立，如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正奇數(shù)都成立，故錯(cuò)誤，正確，如果對(duì)成立，那么對(duì)所有的正偶數(shù)都成立，故正確，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．34．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是．【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【專題】證明題【分析】利用即可判斷出．【解答】解：，，，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】正確理解數(shù)學(xué)歸納法由歸納假設(shè)到增加的項(xiàng)數(shù)不一定是一項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．35．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意正偶數(shù)均有，在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成A．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 B．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 C．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立 D．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立【答案】【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【專題】轉(zhuǎn)化法；推理和證明；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的步驟，即可求解．【解答】解：要證明的是對(duì)任意正偶數(shù)均有，在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．36．用數(shù)學(xué)歸納法證明，下列說(shuō)法不正確的是A．當(dāng)時(shí)，等式左邊為 B．當(dāng)時(shí)，等式左邊為 C．當(dāng)時(shí)，等式左邊在的基礎(chǔ)上增加的項(xiàng)是 D．當(dāng)時(shí)