考向25 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（重點）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向25平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1．（2021·全國高考真題）已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.2．（2021·天津高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．【答案】1【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：1；.1.平面向量數(shù)量積的類型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡.2.平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?2)用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．(2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．(4)解三角形．利用向量的坐標(biāo)運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題.5．用向量法解決物理問題的步驟如下：(1)抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題.6．常見的向量表示形式：(1)重心．若點G是的重心，則或(其中P為平面內(nèi)任意一點)．反之，若，則點G是的重心．(2)垂心．若H是的垂心，則.反之，若，則點H是的垂心．(3)內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則.反之，若，則點I是的內(nèi)心．(4)外心．若點O是的外心，則或.反之，若，則點O是的外心.1．平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中θ是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影的概念設(shè)非零向量與的夾角是θ，則()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長是向量的長度.（3）數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積.2．平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則①交換律：；②數(shù)乘結(jié)合律：；③分配律：.【知識拓展】1.設(shè)非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角：.（4）垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.【注】當(dāng)與同向時,；當(dāng)與反向時,.（5）性質(zhì)：|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?2.平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：(1)求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．(3)由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用.1．（2021·內(nèi)蒙古高三二模（理））在平行四邊形ABCD中，已知兩鄰邊滿足AD＝2AB＝2，且，E為BC的中點，是中點，則（）A．1 B． C． D．32．（2021·山東菏澤市·高三二模）（多選題）已知平面向量，，，若，是夾角為的兩個單位向量，，，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．3．（2021·湖南高三其他模擬）已知向量，，在上投影為，則___________.4．（2020·新疆高三三模（文））已知向量，，若，則實數(shù)的值是________．1．（2021·廣東高一期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．（2021·湖南高三其他模擬）已知平面向量與的模長之比為，且夾角為，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．（2021·密山市第一中學(xué)高一其他模擬）設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C．與垂直 D．4．（2021·福建高三其他模擬）向量，．若，則（）．A． B． C． D．25．（2021·四川雙流中學(xué)高三三模（理））在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．（2021·全國高三其他模擬（理））如圖，在矩形中，，，為邊的中點，為的中點，則（）A． B． C． D．7．（2021·四川高三二模（文））圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小的正方形拼成個大的正方形，某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計出一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，如圖2，若，，那么（）A．2 B． C．6 D．8．（2021·河南高二其他模擬（理））已知單位向量，互相垂直，且，，若，則___________.9．（2021·上海高三其他模擬）已知向量，，則向量在方向上的投影為___________.10．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三二模（理））已知向量的夾角為120°，，若，則實數(shù)λ=___________.11．（2021·全國高三其他模擬（理））已知向量，則___________.12．（2021·浙江高三其他模擬）已知單位向量與，滿足，則與的夾角為__________；若向量滿足，則的取值范圍是__________．1．（2021·浙江高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2．（2020·全國高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．3．（2020·全國高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．4．（2021·北京高考真題），，，則_______；_______．5．（2020·北京高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．6．（2021·全國高考真題（文））若向量滿足，則_________.7．（2021·浙江高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.8．（2021·全國高考真題（理））已知向量．若，則________．9．（2020·浙江高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．10．（2020·全國高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.1．【答案】C【分析】用為基底，表示，然后由數(shù)量積運算計算．【詳解】因為E為BC的中點，是中點，所以，，，則，所以．故選：C．2．【答案】AC【分析】首先由數(shù)量積夾角公式得，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算后，得向量的坐標(biāo)滿足圓，利用圓的性質(zhì)，判斷AB選項，利用向量夾角的余弦公式，結(jié)合基本不等式判斷CD.【詳解】因為是夾角為的兩個單位向量，所以，①設(shè)，則，，設(shè)，將代入①得，即因此向量的坐標(biāo)滿足圓，而圓上的點到原點的最大距離為，A正確；由①知，當(dāng)時等號成立，故C正確.故選：AC．3．【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上投影為，解得.故答案為：.4．【答案】4【分析】將平方，可得，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】因為，故，展開得到，因為，故，，故答案為：4.1．【答案】C【分析】利用向量垂直列方程，化簡求得與的夾角.【詳解】依題意，所以，即，由于，所以，解得，由于，所以.故選：C2．【答案】B【分析】由向量與的夾角為，可得，由與的模長之比為，可得，然后求出，的值，代入夾角公式可得答案【詳解】解：因為向量與的夾角為，所以，所以，因為向量與的模長之比為，所以，所以，所以，所以，所以，因為兩個向量的夾角范圍為，所以與的夾角為，故選：B3．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，逐項判定，即可求解.【詳解】因為向量，，由，，所以A不正確；由，所以B不正確；由，所以，所以C正確；由，所以與不平行，所以D不正確.故選：C.4．【答案】C【分析】解法一：利用向量的坐標(biāo)運算求得，的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的條件建立方程，解之可得選項.解法二：根據(jù)向量垂直的條件得出，再運用向量數(shù)量積的運算律求得，從而可得選項.【詳解】解法一：，，因為，所以，即，解得．解法二：因為，所以，所以，所以，所以．故選：C.5．【答案】A【分析】注意到，根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運算法則和線性運算法則可得到，進而得到結(jié)論.【詳解】∴BA⊥AC,∴△ABC為直角三角形，故選：6．【答案】B【分析】以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，.故選：B.7．【答案】D【分析】由已知圖形可得，展開后代入向量的數(shù)量積公式求值．【詳解】解：由題意可知，，，又，，，，．故選：D．8．【答案】【分析】由題意不妨令，，由可得，求出，從而可求出的坐標(biāo)，進而可求出其?！驹斀狻坎环亮?，，則，，由得，解得，則，.故答案為：9．【答案】【分析】根據(jù)向量，的坐標(biāo)及向量投影的計算公式，即可求出在方向上的投影的值.【詳解】∵，，∴向量在方向上的投影為：.故答案為：.10．【答案】【分析】由，可得，化簡后結(jié)已知條件可求得答案【詳解】解：因為向量的夾角為120°，，且，所以，即，所以，解得，故答案為：11．【答案】【分析】由題設(shè)有，結(jié)合已知條件可得關(guān)于的一元二次方程，解方程求即可.【詳解】由題設(shè)，知：，∵，∴，解得或(舍)∴.故答案為：12．【答案】；[1，2].【分析】依題意求得，進而可得，從而可得與的夾角；將平方可得，結(jié)合可得的取值范圍.【詳解】依題意知，由得，解得，則，又，所以；將平方，得，因為，所以.故答案為：①；②.1．【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當(dāng)時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件故選：B.2．【答案】D【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.3．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.4．【答案】03【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接計算即可.【詳解】，，，.故答案為：0；3.5．【答案】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考