2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-強化練8 定點、定值及探究性問題

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

專題強化練8定點、定值及探究性問題

1.(2022河南開封五校聯(lián)考)設(shè)點M為拋物線C:y2=4x的準線上一點(不在x軸上)，

過拋物線C的焦點F且垂直于x軸的直線與C相交于A,B兩點，設(shè)直線MA,MF,MB

的斜率分別是L,k2,k3,則空與的值為()

A.4V2B.4C.2V2D.2

2.(2022皖中名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知某直線與拋物線y2=4x交于A,B兩點,且兩交點

縱坐標之積為T6,則直線恒過點()

A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(8,0)

22

3.(2022河南省實驗中學(xué)月考)已知橢圓^+9=1上的兩個動點P區(qū),),Q(X2,y),

4Zyi2

且X1+X2=2.若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點，則此定點坐標為()

A.Q,0)B.(1,0)

C.(2,0)D.(-1,0)

4.(2022河南中原名校聯(lián)考)已知點P(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線1與拋物線

y=2x交于不同的兩點A,B,若x軸是NAPB的平分線所在直線,則直線1一定過點

()

A.(|,0)B.(1,0)

C.(2,0)D.(-2,0)

22

5.(2021重慶巴蜀中學(xué)期中)如圖，已知P為橢圓C：V+2=l(a>b>0)上的點，點

A,B分別在直線y=|x與y=-|x上，點。為坐標原點，四邊形OAPB為平行四邊形，

若平行四邊形OAPB四邊長的平方和為定值,則橢圓C的離心率為

6.（2022河南安陽月考）過點P（.,O）的直線交橢圓C：y+y2=l于E,F兩點，則

4+；的值為

\EP\\FP\-------------------

7.（2021陜西西安中學(xué)二模）在平面直角坐標系xOy中，過點M（4,0）且斜率為k的

Y2C

直線交橢圓丁+y"=l于A,B兩點.

（1）求k的取值范圍；

⑵當(dāng)k#0時,若點A關(guān)于X軸的對稱點為P,直線BP交X軸于點N,求證：|ONI為

定值.

22

已知雙曲線弋—「經(jīng)過點(一條漸近線的傾斜角為

8.5az3bz=16>0,0)2,3),60°,

直線1交雙曲線于A,B兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵若1過原點,P為雙曲線上異于A,B的一點,且直線PA,PB的斜率kPA,kpB均存在,

求證:kpA,kpB為定值;

(3)若1過雙曲線的右焦點儲,在x軸上是否存在點M(m,0),使得直線1繞點B無

論怎樣轉(zhuǎn)動,都有加?MB=0成立?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理

由.

9.(2022浙江杭州重點高中期中)已知圓C的方程為x2+(y+l)2=r2(r>0).

⑴過點M6，-1)的直線1交圓C于A,B兩點，若r=l,|AB|=g,求直線1的方程;

⑵如圖,過點N(-1,1)作兩條直線分別交拋物線y=x2于點P,Q,并且都與動圓C相

切,求證:直線PQ經(jīng)過定點，并求出定點坐標.

答案全解全析

1.D不妨設(shè)點A在x軸上方,如圖:

由題意知,拋物線的準線方程為x=-l,焦點F(l,0),將x=l代入拋物線C的方程得

y=±2,所以A(1,2),B(1,-2).

設(shè)點M的坐標為(-1,y0)(yo#O),貝ljk2=^,k3=^,所以吟=2.故選D.

222K.2

2.C易知直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為x=my+n,A(xbyi),B(x2,y2).

,(x=my+n,

由［y2=4x,付y-94my-4n=0,

所以yiy2=-4n=-16,所以n=4,所以x=my+4,

所以直線恒過點(4,0).故選C.

=1,

3.A當(dāng)X1WX2時，由

=1,

得%丫2二_1,尢1+久2—1

'久廠久22y1+y2y^y-i

設(shè)線段PQ的中點為N(l,n),所以kpQ=——;，

xr-x22n

所以線段PQ的垂直平分線的方程為y-n=2n(x-l),即y=2n(%-|),該直線恒過點

&。)；

當(dāng)xkX2時,線段PQ的垂直平分線也過點C，0).

故線段PQ的垂直平分線恒過點?，0).故選A.

4.B設(shè)直線1的方程為y=kx+b(kWO),A(xi,yj,B(x2,y2).

,(y=kx+b,,、,

由"2c得k9x?9+(2kb-2)x+b=0,

\y=2x,

所以A-4(kb-l)2-4k2b2>0,即kb<|,

,2~2kbb2

X1+X2--——,X1X2——.

kzkz

因為X軸是NAPB的平分線所在直線，

所以kAP=-kPB,所以二尸-2，

即"也=_丑生，整理，得2kxiX2+(k+b)(Xi+x2)+2b=0,所以

Xr+1x2+l

2k?與+(k+b)?三釁+2b=0,

化簡，得k+b=0,所以y=kx+b=kx-k=k(xT),

所以直線1過定點(1,0).故選B.

5.答案f

解析設(shè)P(x。,y?),則直線PA的方程為y=-1x+^+yo,直線PB的方程為y=|x-^+y0.

1X

(二二力加得A(?y°，H號

1X

(二丁0+人得伶

則1PA12+1PB刻管「戶⑤于+停+小戶伶+芳2二涓+沸

又加+“譯?+詔)為定值，點P在橢圓上，

所以與4所以備亨。所以e咚

az4az42

6.答案3

解析當(dāng)直線EF的斜率為0時，點E,F為橢圓長軸的端點，不妨設(shè)

E(-V2,0),F(V2,0),

11

則?=3.

2-t:2

當(dāng)直線EF的斜率不為0時,設(shè)直線EF的方程為x=ty+*E（t%+乎，yj，F(xiàn)?2+

V6\

='、2），

-V6

:一‘三，消去X,得*+2)/+學(xué)y3=0,

由

y+y2=i,

所以△=|t2+y(t2+2)-8t2+y>0恒成立,

2V6t4

yi+y2=--3(t2+2)>yiy23(t2+2)'

11117i+近（71+、2）之一2y,2

因此,------5*+------7=------------+----------------------------------------------------

\EP\[FP\(l+t2)7i(1+12)兆(1+尸)光禿(1+")無瓷

st2816(1+/)

2

3仕2+2)2+3(/+2)3(亡2+2)

T6—X—=3.

(i+t2)----^一(i+t2)?316

9(t2+2)29(t2+2)2

11

綜上所述,7=3(定值).

\EP\\FP

7.解析（1）過點M（4,0）且斜率為k的直線方程為y=k（x-4）.

y=k(X-4),

22

由x22+-jx-8kx+16k^-l=0,

”4+y-，

因為直線與橢圓有兩個交點,

所以A=(-8k2)2-4(k2+(16k2-l)>0,

解得-?〈k〈》所以k的取值范圍是(-?，?).

(2)證明:設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則P(xb-yi),

由題意知X1WX2,yi^y2,

2

./.XzBI8k216/C-1

由(1)得Xi+x=—X1X2=,1.

2kz+-kz+-

44

直線BP的方程為口=山，

x2-xiy2+yi

令y=0,得點N的橫坐標為22+xi,

72+71

又yi=k(xi-4),y2=k(x2-4),

(

故ION閆也9+月生”也及2kx1x2~4k,x1+x2)

-

I72+71I?72+71/c(x1+x2)8k

16k2-l

2k?

=1,即|0N|為定值1.

k?8k28k

8.解析(1)由題意得

c

???雙曲線C的方程為x2-^-=l.

⑵證明：設(shè)A點坐標為(xo,y0),則由對稱性知B點坐標為(-xo,-y0).

設(shè)P(x,y),則kpA?kpB二"也?2=*<.

人人Qa/VI人Q人入Q

fX2-d=1

將點A,P的坐標代入曲線C的方程，得°3'

卜，L

2_2

y2"yo=3(x2-^o)>kPA?kpB=^^7=3.

(3)由(1)得％(2,0).

當(dāng)直線1的斜率存在時,設(shè)直線1的方程為y=k(x-2),A(x1,%),

B(x2,y2).

(2_竺_i

由3—L消去y得『3)x2-4k2x+4k2+3=0,

y=k(%-2),

.,4k24k2+3

??X1+X2—,X1X2—-.

fc2-3fc2-3

假設(shè)存在M(m,0),使得加-MB=Q恒成立，

MA?MB=(xi-m)(x2-m)+yiy2

2

=(xi-m)(x2-m)+k(Xi-2)(x2-2)

2222

=(k+l)XiX2-(2k+m)(Xi+x2)+m+4k

2222

(k+l)(4k+3)_4k(2k+m)+m2+4k2

fc2-3fc2-3

222

3(l-m)+k(m-4m-5)=0.

fc2-3

/.3(l-m2)+k2(m2-4m-5)=0對任意的k,33恒成立,

(l-m2=0,

lm2-4m-5=0,解得m=-l.

J存在M(T,0),使得也-MB=Q恒成立.

當(dāng)直線1的斜率不存在時,不妨令A(yù)⑵3),B(2,-3),易知M(T,0)也滿足題意.

綜上,存在M(-1,0),使得加?加=0.

9.解析⑴當(dāng)r=l時，圓C的方程為x2+(y+l)2=l.

當(dāng)直線1的斜率不存在時,直線1的方程為x1,此時圓心(0,-1)到直線1的距離

d="所以|AB|=2Vr2-d2=2顯然成立；

274

當(dāng)直線1的斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(%-0-|,即2kx-2y-k-5=0,

因為|AB|=遮,而|AB|=2尸0=2萬涯，

所以d2=