2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

4.1直線與圓錐曲線的交點(diǎn)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線與橢圓的交點(diǎn)

1.(2021浙江金華曙光學(xué)校階段考試)無(wú)論k為何值,直線y=kx+2和曲線

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.1或2

2.(2020廣東云浮期末)直線1:y=kx+2與橢圓C：y+y2=l有公共點(diǎn),則k的取值

范圍是.

2

3.(2020山東濰坊一中月考)經(jīng)過(guò)橢圓￡+y2=l的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直

線1,交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則瓦？?OF=.

題組二直線與雙曲線的交點(diǎn)

22

4.(2021河北保定第三中學(xué)期中)直線y=kx(k>0)與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn),則k

26

的取值范圍為()

A.[~/+o°)B.(2,+8)

C.[V3,+OO)D.(0,V3)

5.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是()

A.(-V2,-1)B.(1,V2)

C.(-V2,V2)D.(-1,1)

22

6.（2021江西南昌新建二中期中）過(guò)點(diǎn)P（4,3）與雙曲線?白=1只有一個(gè)公共點(diǎn)

的直線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

題組三直線與拋物線的交點(diǎn)

7.（2021江蘇南京天印高級(jí)中學(xué)調(diào)研）與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切

線方程為（）

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+l=0D.2x-y-l=0

8.（2020吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)

點(diǎn)Q的直線1與拋物線有公共點(diǎn)，則直線1的斜率的取值范圍是（）

A.卜制B.[-2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

9.（多選）（2020江蘇淮安期末）與直線x+y-V2=0僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（

A.x2+y2=lB.y+y2=l

C.x2-y2=lD.y2=x

10.（2020廣東佛山統(tǒng)考）過(guò)點(diǎn)（2,-1）的直線與拋物線y=x2只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣

的直線共有多少條？

能力提升練

題組一直線與圓錐曲線的交點(diǎn)

1.（2021重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)月考）斜率存在的直線1過(guò)點(diǎn)（0,-1）且與雙曲線

C:。-x2=l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線1的斜率為（）

4

A.±V3B.±2

C.2或8D.土遮或±2

2.點(diǎn)P在直線l:y=x-1上，若存在過(guò)P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn)，且

|PA|=|AB|,則稱點(diǎn)P為“A點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A,直線1上的所有點(diǎn)都是“A點(diǎn)”

B,直線1上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“A點(diǎn)”

C,直線1上的所有點(diǎn)都不是“A點(diǎn)”

D.直線1上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“A點(diǎn)”

3.侈選）（2020山東德州期末）若原點(diǎn)0到直線1的距離小于1,則直線1與下列

曲線一定有公共點(diǎn)的是（）

A.y=x2-2B.（x-l）'+y2=l

C.y+y-1D.x2-y2=l

4.設(shè)拋物線C:yMx的焦點(diǎn)為F,直線1過(guò)點(diǎn)M（2,0）且與C交于A,B兩點(diǎn)，|BF|=|,

若|制=人|BM|,則入=（）

A.-B.2C.4D.6

2

5.若直線mx-ny=4與圓x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P（m,n）的直線與橢圓=1的

94

交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

6.(2021中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的

直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若存=2而,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

7.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作直線1交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)

若直線MA,MB的斜率分別為L(zhǎng),k2,貝ijk,+k2=.

8.(2020福建漳州期末)已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為件(-2,0),E(2,0),并且

E經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3).

⑴求雙曲線E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線1與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線1的方程.

9.已知橢圓C:^+^=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-2,0),上頂點(diǎn)B(0,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2+y2=l

上，求m的值.

題組二與交點(diǎn)有關(guān)的最值（或范圍）問(wèn)題

10.已知雙曲線三-。=1的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有

124

一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是（）

L

V3一,y]B.[-V3,V3]

Ac.L3

@

/

f3

vD.（-V3,V3）

11.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期中）已知雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)

F且傾斜角為60°的直線1與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離

心率e的取值范圍是（）

A.[2,+8)B.(1,2)

C.(2,+8)D.(1,2]

12.若點(diǎn)（%n）在橢圓9x2+*9上,貝哈的最小值為（）

D26rV3八3^2

AD.-----C.--U.一--------

.當(dāng)324

13.（2022重慶第八中學(xué)校月考）已知圓x2+y2=4與x軸的交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是

直線1:y=-x+6上的任意一點(diǎn),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P,則橢圓C的離心率

e的取值范圍為（

A.B-(OT

C.

國(guó)）叱，1)

14.（2020江西省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知直線y=kx-l與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

22

亡一+卷口（b>。）總有公共點(diǎn),則橢圓C的離心率的取值范圍是

4b2--------

22

15.（2021黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）點(diǎn)M是橢圓高+\=1上的任意點(diǎn),則點(diǎn)M到直線

x+y-7=0的距離的最大值為.

16.（2021江蘇南京金陵中學(xué)月考）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅

是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以

圓周率JI等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，

橢圓C：g+^=l（a>b>0）的面積為2V3n,兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角

形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P（l,0）的直線1與C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求AOAB面積的最大值.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.D因?yàn)橹本€y=kx+2過(guò)定點(diǎn)（0,2）,且橢圓三+：=1的上頂點(diǎn)也為（0,2）,所以當(dāng)

94

直線的斜率為0時(shí),直線與橢圓相切,僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不為零（或不

存在）時(shí),直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).故選D.

2.答案（-8,-日U償茶8）

32

三+y2=1,消去丫，并整理得（2k2+i）x2+8kx+6=0.

（y=kx+2,

因?yàn)橹本€1與橢圓C有公共點(diǎn)，

所以A=（8k）-24（2k2+l）^0,

解得kN當(dāng)或kW-日.

故答案為（-8,-闿U

3.答案4

解析若直線1經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)（1,0）,則其方程為y=x-1,代入橢圓方程

y+y2=l,并整理得3X2-4X=0,解得x=0或x=p所以兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0,-

i),所以a-詁=q；同理,若直線1經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，也可得彼-05=-

綜上所述,0A?0^=-|.

4.C解法一：由［上工:1得6-9卜2=1,由題知此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,則］?W0,解

(26—

得kW-百或k^V3.又k>0,所以k^V3.故選C.

解法二:如圖，

雙曲線的漸近線方程為y=±V3x,若直線y=kx(k>0)與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則k^V3.

5.D當(dāng)直線1:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時(shí),k=±1,此時(shí)，

直線與雙曲線的左支或右支只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

y二f

因?yàn)橹本€l：y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k

的取值范圍為故選D.

6.B因?yàn)殡p曲線的方程為三白1,所以a=4,b=3,其漸近線方程為y=±fx,易知

1694

點(diǎn)P(4,3)在直線y=1x上,如圖所示：

4

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,3)的直線與直線y=4x平行或與x軸垂直(過(guò)右頂點(diǎn))時(shí),與雙曲線只

4

有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以這樣的直線有2條.故選B.

7.D因?yàn)榍芯€與直線2x-y+4=0平行,所以可設(shè)切線方程為2x-y+m=O(m/4),聯(lián)

立方程『"J\m=°,消去y得x2-2x-m=0,所以△=4+4m=0,解得m=-l,所以切線

方程為2x-y-l=0,故選D.

8.C因?yàn)閥2=8x,所以Q(-2,0).

由題意可知直線1的斜率存在，

設(shè)直線1的方程為y=k(x+2).

當(dāng)k=0時(shí),滿足題意；

當(dāng)kWO時(shí)，因?yàn)?與拋物線有公共點(diǎn)，

所以方程組y=曹二“有解，

(y=k(x+2)

即k2x2+(4k-8)x+4k=0有解，

所以A=(4k2-8)2-16k4^0,即k2^l,所以TWkWl,故選C.

9.ACA.易得圓心(0,0),半徑r=l,因?yàn)閳A心(0,0)到直線x+y-V2=0的距離

d=^l=r,所以直線和圓相切,所以僅有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意;B.聯(lián)立

(x+y-V2=0,

\X27消去y,可得3X2-4/X+2=0,所以△1=32-24=8>0,所以直線與橢圓

ly+y2=1，

有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意;C.因?yàn)閤2-y2=l的漸近線方程為y=±x,所以直線x+y-

V2=0平行于漸近線且不與漸近線重合,所以直線x+y-V2=0與雙曲線僅有一個(gè)公

共點(diǎn),符合題意;D.聯(lián)立卜2+/-/二0'消去x,可得y2+y-V2=0,所以△2=1+4企＞0,

y=x,

所以直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.故選AC.

10.解析①當(dāng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,與拋物線

y=x?有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②當(dāng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)的直線的斜率存在,且與拋物線相切時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)

網(wǎng)”2)，消去y得2-+2k+l=0,則

交點(diǎn)，設(shè)直線方程為y+l=k(x-2),xkx

△=k2-4(2k+l)=0,解得k=4±2a即過(guò)點(diǎn)(2,-1)的切線有2條.

綜上,過(guò)點(diǎn)(2,-1)且與拋物線y=x2有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有3條.

易錯(cuò)警示直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)包括兩種情況，一種是與拋物線相切,

另一種是與拋物線的對(duì)稱軸平行.

能力提升練

1.D由題意,設(shè)直線1的方程為y=kx-l,代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)可得MT”?-

2kx-3=0,當(dāng)k=4,即k=±2時(shí)-，Ik?-4)x2-2kx-3=0只有一解,滿足直線1與雙曲線

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k#±2時(shí)-,令A(yù)=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±8,此時(shí)方

程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,滿足直線1與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).綜上,k=±2

或k=±V3.故選D.

2.A如圖，

l:y=x-1

設(shè)點(diǎn)A,P的坐標(biāo)分別為(m,n),(x,x-1),

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2m-x,2n-x+l).

IA,B在拋物線y=x2±,

.(n=m2,

''[2n-x+1=(2m-x)2,

消去n,并整理得x'(4m-l)x+2m"-1=0①，

△=(4m-1)-4(2m-1)=8m-8m+5>0恒成立,

???方程①恒有實(shí)數(shù)解,故選A.

3.AC原點(diǎn)(0,0)到直線1的距離小于1,故直線1一定經(jīng)過(guò)圓x2+y2=l內(nèi)的點(diǎn)，如

圖所示.故與直線1一定有公共點(diǎn)的曲線是A,C,故選AC.

4.C由題意得拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=T,由|BF|=|及拋物線的

定義知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為點(diǎn)代入拋物線方程得B(|,±V2),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,不

，2J2

妨取則1的方程為y=^(x-2),聯(lián)立y=丁(X-2),得A(8,4-，則

y2=4x

|AM|=2g,|BM|=孚于是人=黑=4,故選C.

2\BM\

5.答案2

解析由題意知，圓心(0,0)到直線mx-ny-4=0的距離d=7七>2,整理得

22

m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)，又因?yàn)闄E圓三+一=1中

a=3,b=2,所以P(m,n)在橢圓內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓三+。=1有2個(gè)交

94

點(diǎn).

6.答案(2,±2V2)

解析由題意可知,拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+l,由

仁=T+1'消去x得產(chǎn)4my+。,

V=4x,

設(shè)A(xi,y,),B(x2,y2)，:.yi+y2=4m,yiy2=-4,

???族=2麗，.??-％=2y2,即丫2二-多，???yiyz二一qy廣-4,解得y尸，xi二受二2,點(diǎn)

224

A的坐標(biāo)為⑵2V2)或(2,-2a).

7.答案-2

解析由題知Fg,0).設(shè)直線1的方程為x=my+*將其與拋物線的方程y2=2px聯(lián)

22

立，消去x并整理，得y-2pmy-p=0.設(shè)A(xbyj,B(x2,y2),則%y2Ap：所以

2

k]+k「yi-P?J2-P_2P(yi-p)j2p(y2-P)_2P(yi-p)?2P(丫2￥)_2P.y2-p\2p/J__

322

,X1+7x2+12pxr+p2px2+pyl-y-i.y2寵-y/2丫r為Vyi丫2)yi，21丫2

功也=—2.

rc=2,

v2-,24Q

.解析⑴設(shè)雙曲線的方程為則解得

8E(a>0,b>0),uo’=1,

<c2=a2+b2,

Fl=?所以雙曲線E的方程為x2-^=l.

lb"=3,3

(y=kx+1,

⑵顯然直線1的斜率存在,則設(shè)直線1的方程為y=kx+l,聯(lián)立2y21得(3-

5==1

k2)x2-2kx-4=0(*),當(dāng)3-k2=0,即k=百或k=S時(shí),方程(*)只有一解,直線1與雙

曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),直線1的方程為y=±V3x+l.當(dāng)3-kVO,即

kW土遮時(shí)，要使直線1與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則A=(-2k)2-4(3-

k2)X(-4)=0,解得k=±2,此時(shí)，直線1的方程為y=±2x+L

綜上所述,直線1的方程為y=±V3x+l或y=±2x+l.

易錯(cuò)警示解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí)，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲

線的方程消元得到的方程是不是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)是不是0.直線與雙

曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況.

9.解析⑴由題意可得c=2,b=2,由a2++c2得a2=22+22=8,

22

故橢圓C的方程為？+一=1.

84

(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(xbyj,y2),線段MN的中點(diǎn)G(x。,y0),

y=x+m,

X2y2消去y得3x2+4mx+2m2-8=o,貝0A=96-8m2>0,所以一2g<m<2g,

----1----=1

{84

myr.,4mrrHix±+x22m,m

因?yàn)閄i+X2=—,所以Xo=-2-yo=Xo+m=y,

又因?yàn)辄c(diǎn)G(x。,y。)在圓x2+y2=l上，

所以(號(hào))Y斗

解得m=±哈滿足-2日m<2g,

所以m的值為土言.

10.A雙曲線二學(xué)1的漸近線方程是y=土"x,右焦點(diǎn)為F(4,0).當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直

1243

線與雙曲線的兩條漸近線平行時(shí),與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么斜率

故選A.

11.A若直線1與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小

于或等于漸近線的斜率的絕對(duì)值〉..”=亨三4,'eA.故選A.

12.D求弋的最小值即求點(diǎn)(m,n)與點(diǎn)(3,0)連線的斜率的最小值,設(shè)過(guò)點(diǎn)(m,n)

m-3

(y=k(%-3),

和點(diǎn)⑶0)的直線方程為y=k(x-3),聯(lián)立2y2(9+k2)x2-6k2x+9(k2-l)=0,

z

(lxH——9=1

易知當(dāng)A=0時(shí)，直線斜率取最小值，即A=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-l)]=0=k22故

8

當(dāng)k=-平時(shí),斜率取最小值,即9的最小值為-乎.故選D.

4m-34

13.B由題可知c=2,不妨設(shè)A(-2,0),B(2,0),由P是直線1上的點(diǎn),可知P到A、

B兩點(diǎn)距離之和的最小值為B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)B'與A的距離，

—=1_.

設(shè)B'(m,n),可得；：+2解得匕=2所以B'(6,4),所以

71十u=_m十/1$1m=6,

22'

IAB'|力(6+2)2+(4-0)2=4遍,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4遙,所以a的最小值為

2遍，

所以橢圓的離心率的最大值為親=?,故橢圓C的離心率e的取值范圍為(0,?]

故選B.

14.答案(0當(dāng)

解析因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以故4,

因?yàn)閎>0,所以0<b<2.

因?yàn)橹本€y=