剪力方程彎矩方程法省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

剪力方程、彎矩方程法

繪制剪力圖、彎矩圖基礎(chǔ)教學(xué)部力學(xué)教研室第1頁(yè)剪力圖、彎矩圖普通情況下，梁橫截面上剪力和彎矩隨截面位置不一樣而改變，而最大剪力和最大彎矩所在截面往往是梁危險(xiǎn)截面。所以，在進(jìn)行梁設(shè)計(jì)時(shí)，就需要知道內(nèi)力沿梁改變規(guī)律，方便依據(jù)最大剪力和最大彎矩進(jìn)行梁強(qiáng)度計(jì)算。第2頁(yè)剪力圖、彎矩圖定義將剪力和彎矩沿梁軸線改變情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。作圖時(shí)，取梁軸方向?yàn)闄M坐標(biāo)，表示各截面位置；縱坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)位置上各截面內(nèi)力（剪力或彎矩）。通常把正值畫在橫坐標(biāo)上方，負(fù)值畫在下邊。第3頁(yè)剪力圖、彎矩圖（續(xù)）基本方法畫剪力圖和彎矩圖基本方法有二種：

1．剪力、彎矩方程法

2．微分關(guān)系法

第4頁(yè)剪力、彎矩方程法剪力、彎矩方程取梁一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上位置，則各橫截面上剪力和彎矩能夠表示x為函數(shù)，即上述函數(shù)表示式稱為梁剪力方程和彎矩方程。依據(jù)剪力方程和彎矩方程即可畫出剪力圖和彎矩圖。第5頁(yè)剪力、彎矩方程法畫圖步驟1)首先要建立Q-x和M-x坐標(biāo)。普通取梁左端作為x坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)Q和M坐標(biāo)向上為正。2)依據(jù)截荷情況分段列出Q(x)和M(x)方程。①由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷起止點(diǎn)處，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生改變，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程分段點(diǎn)。②求出分段點(diǎn)處橫截面上剪力和彎矩?cái)?shù)值（包含正負(fù)號(hào)），并將這些數(shù)值標(biāo)在Q-x、M-x坐標(biāo)中對(duì)應(yīng)位置處。③分段點(diǎn)之間圖形可依據(jù)剪力方程和彎矩方程函數(shù)性質(zhì)繪出。

3）最終注明IQImax和IMImax數(shù)值。第6頁(yè)例題

簡(jiǎn)支梁受力如圖a所表示。試寫出梁剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。第7頁(yè)解：（1）求支座反力由平衡方程和分別求得，利用平衡方程對(duì)所求反力進(jìn)行校核。（2）建立剪力方程和彎矩方程以梁左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立x坐標(biāo)，如圖a所表示。因在C處罰布載荷集度發(fā)生改變，故分AC和CB二段建立剪力方程和彎矩方程。

第8頁(yè)AC段：

CB段：

第9頁(yè)3．繪Q、M圖①Q(mào)圖：AC段內(nèi)，剪力方程是x一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個(gè)端截面剪力值:QA右=3ql/8，Qc左=-ql/8，分別以a、c標(biāo)在坐標(biāo)中，連接a、c直線即為該段剪力圖。

CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面內(nèi)力值，比如QB左=-ql/8，連一水平線即為該段剪力圖。梁AB剪力圖如圖b所表示。第10頁(yè)②M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程是x二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，求出兩個(gè)端截面彎矩：MA=0，MC=ql2/16，分別以a、c標(biāo)在坐標(biāo)中。由剪力圖知在d點(diǎn)處Q=0，該處彎矩取得極值。令剪力方程Q1(x)=0，解得x=3l/8，求得M1(3l/8)=9ql2/128.以d點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)中。據(jù)a、d、c三點(diǎn)繪出該段彎矩圖。

CB段內(nèi)，彎矩方程是x一次函數(shù)，分別求出兩個(gè)端點(diǎn)彎矩，以c、b標(biāo)在坐標(biāo)中，并連成直線。AB梁M圖如圖c所表示。

第11頁(yè)練習(xí)與作業(yè)設(shè)已知圖示各梁載荷P、q、m和尺寸a，（1）列出梁剪力方程