廣義函數(shù)介紹省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

3廣義函數(shù)大意第1頁(yè)

定義1（基本空間）設(shè)是上無(wú)限次可微且在某有限區(qū)間以外為0函數(shù)全體.按照通常加法和數(shù)乘，它成為線性空間，在其中定義極限概念以下：設(shè)若（1）存在一個(gè)與n無(wú)關(guān)公共有限區(qū)間，使在外為0，n=1,2,…;（2）在對(duì)每一非負(fù)整數(shù)q，函數(shù)列一致收斂于。則稱(chēng)在中收斂于,記為,稱(chēng)為基本空間.空間這種收斂性不能容納在距離空間收斂性之中，即我們無(wú)法定義一個(gè)距離d使等價(jià)于.定義2（廣義函數(shù)）上連續(xù)線性泛函稱(chēng)為廣義函數(shù).記為,或,或簡(jiǎn)記為.例1局部可積函數(shù)是廣義函數(shù).我們把在任何區(qū)間上都L可積函數(shù)稱(chēng)為局部可積函數(shù)，其全體記為.設(shè)則可用定義一個(gè)上連續(xù)線性泛函：對(duì)任何，對(duì)應(yīng)，因?yàn)?在某有限區(qū)間外為0,故上述積分有意義.它顯然是上連續(xù)線性泛函.我們還能夠證實(shí)，對(duì)對(duì)應(yīng)廣義函數(shù)是一對(duì)一地，即假如且對(duì)一切成立，則a.e.于R。這么，局部可積函數(shù)就能夠一對(duì)一地嵌入上連續(xù)線性泛函空間，作為它一部分，即是廣義函數(shù).第2頁(yè)例2現(xiàn)在我們能夠給本節(jié)開(kāi)始時(shí)引進(jìn)一個(gè)嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。假如上連續(xù)線性泛函由下式給定：對(duì)一切，對(duì)應(yīng)數(shù)值，稱(chēng)這一泛函為，換句話說(shuō)，對(duì)一切，有。

這一定義正是嚴(yán)格化。為上連續(xù)線性泛函是不難驗(yàn)證：；當(dāng)時(shí)，這意味著在任何有限區(qū)間上各階導(dǎo)數(shù)（包含零階導(dǎo)數(shù)）一致收斂，當(dāng)然更有，即。這么一來(lái)，我們確實(shí)得到了一個(gè)新概念，它包含通常局部L可積函數(shù)在內(nèi)，又包含超出通常函數(shù)概念在內(nèi)。最終，讓我們介紹廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)。按照分部積分法，對(duì)通常一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，在外為0，所以=，則有：

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于是受此啟發(fā)可定義廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)為下述廣義函數(shù)：.因?yàn)槭菬o(wú)限次可微，有意義，而且意味著各階導(dǎo)數(shù)都一致收斂于對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)，自然也有，所以由是連續(xù)線性泛函知也是連續(xù)線性泛函。一樣可定義二階以至任意階導(dǎo)數(shù)。這么一來(lái)，基本空間中函數(shù)優(yōu)良性質(zhì)就能夠轉(zhuǎn)移到廣義函數(shù)上了。例3設(shè)在x＜0時(shí)為0，在x≥0時(shí)恒為1，這時(shí)，作為廣義函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，這是因?yàn)橐粯涌沈?yàn)證。

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假若我們定義為