滿意度數(shù)學(xué)建模省公開課一等獎全國示范課微課金獎

滿意度數(shù)學(xué)建模

青島理工大學(xué)理學(xué)院胡京爽第1頁

滿意度數(shù)學(xué)建模

以滿意度為目標(biāo)優(yōu)化決議或評價模型,稱之為滿意度數(shù)學(xué)模型.經(jīng)過引入表現(xiàn)滿意度特征數(shù)量指標(biāo),建立對應(yīng)決議數(shù)學(xué)模型,給出符合滿意度要求處理問題方案,稱之為滿意度數(shù)學(xué)建模.第2頁

滿意度數(shù)量指標(biāo)

從決議方案包括到對象體系、系統(tǒng)、過程中提煉出來，能夠與人們主觀上是否滿意相一致數(shù)量指標(biāo)體系，稱之為滿意度指標(biāo)，用S表示，它是決議方案函數(shù).這種指標(biāo)是由兩個方面決定：一是決議方案本身固有、能夠反應(yīng)其突出特征數(shù)值，是由方案本身包括到對象、過程、原因、屬性等組成泛函；第3頁

二是由人們主觀上對于對應(yīng)方案喜好、審美、心理原因、能夠接收極限以及中立標(biāo)準(zhǔn)等反應(yīng)出來特征、規(guī)律決定體系。這里關(guān)鍵是個人或者某個群體對于某種狀態(tài)、特征、表現(xiàn)、行為、規(guī)模、機(jī)會等接收標(biāo)準(zhǔn)、喜好尺度判定。兩方面結(jié)合，形成了對應(yīng)滿意度數(shù)量指標(biāo)。第4頁

滿意度指標(biāo)體系往往由多個指標(biāo)所組成,因?yàn)橐粋€系統(tǒng)或過程本身包括到多方面特征,而主觀上人們又可能關(guān)心多個方面屬性\特點(diǎn),并依據(jù)綜合指標(biāo)進(jìn)行最終判斷。對于形成多個滿意度指標(biāo)，需要將它們合成一個總指標(biāo)。而這種綜合方法最慣用就是層次分析法，利用層次分析建立不一樣指標(biāo)在總滿意度目指標(biāo)下權(quán)重大小，然后再利用這些權(quán)重進(jìn)行線性加權(quán)，組成總滿意度指標(biāo)。

第5頁

在形成指標(biāo)體系時，有時還要對人群進(jìn)行不一樣分類，因?yàn)樵谛纬煞葜笜?biāo)時，不一樣人群滿意度標(biāo)準(zhǔn)不一樣，所以經(jīng)常要進(jìn)行一些因子調(diào)整。滿意度定義方式能夠各種多樣，經(jīng)慣用函數(shù)形式來表示針對考查對象某個方面滿意度,函數(shù)形式能夠是各種多樣,有時能夠是分段函數(shù).

第6頁

滿意度指標(biāo)組成方法

1、比值法2、心理曲線法3、滿意度函數(shù)法4、等級量化法第7頁指數(shù)函數(shù)

雙指數(shù)函數(shù)指數(shù)加線性函數(shù)冪函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

滿意度函數(shù)慣用形式第8頁

滿意度數(shù)學(xué)模型方法1、數(shù)學(xué)規(guī)劃法2、多目標(biāo)優(yōu)化法

第9頁公交車調(diào)度模型

公共交通是城市交通主要組成部分，做好公交車調(diào)度對于完善城市交通環(huán)境、改進(jìn)市民出行情況、提升公交企業(yè)經(jīng)濟(jì)和社會效益，都含有主要意義。下面考慮一條公交線路上公交車調(diào)度問題，其數(shù)據(jù)來自于我國一個特大城市，某條公交線路上客流調(diào)查和運(yùn)行資料。CUMCMB第10頁

該條公交線路共上行共14站，下行方向共13站，下面給出是一個經(jīng)典工作日中兩個運(yùn)行方向各個站上下車乘客數(shù)量統(tǒng)計(jì)。公交企業(yè)配給該線路同一型號大客車，每輛標(biāo)準(zhǔn)載客是100人，客車平均運(yùn)行速度是20公里/小時。依據(jù)運(yùn)行要求，乘客候車時間普通不要超出10分鐘，早高峰時普通不要超出5分鐘，而車輛滿載率120%，普通也不要低于50%第11頁

試依據(jù)這些資料和要求，為該線路設(shè)計(jì)一個便于全天操作公交車調(diào)度方案，包含兩個起點(diǎn)站發(fā)車時刻表；一共需要多少車；這個方案以怎樣程度照料到了乘客和公交企業(yè)利益．

第12頁怎樣將這個調(diào)度問題抽象成一個明確、完整數(shù)學(xué)模型，指出求解模型方法；依據(jù)實(shí)際問題要求，假如設(shè)計(jì)成一個更加好調(diào)度方案，應(yīng)怎樣采取運(yùn)行數(shù)據(jù)。

相關(guān)數(shù)據(jù)第13頁問題分析：

問題目標(biāo)是確定公交車調(diào)度方案，給出公交車全天運(yùn)行時刻發(fā)車表，并確定需要車數(shù)，分析乘客和公交企業(yè)滿意程度．實(shí)際上就是要確定出使得乘客和公交企業(yè)都滿意最正確方案．依據(jù)題目標(biāo)意義可知，公交車調(diào)度方案就是駛發(fā)車站每一次車發(fā)車時刻表，只要發(fā)車時刻定下來以后，每一輛車運(yùn)行情況就會完全確定下來．

第14頁

我們關(guān)心是：乘客和公交企業(yè)滿意度，就是等候超出正常等候時間情況，等候時間越短滿意度越大，或者用超時等候人數(shù)來表現(xiàn)滿意度；而對于公交企業(yè)來說，關(guān)心主要是車滿載率，他們滿意程度可用公交車載客率來表示，實(shí)際上載客率越高，所用車數(shù)越少，公交企業(yè)越滿意．第15頁

所以，處理問題關(guān)鍵在于當(dāng)發(fā)車時刻表確定以后，依據(jù)已知各種條件，確定出每一輛車運(yùn)行過程中，在每一個站上，乘客等車時間；在每個運(yùn)行區(qū)間上汽車上座率，依據(jù)這么數(shù)據(jù)來計(jì)算乘客和公交企業(yè)滿意程度，并從中選出最好方案來。

第16頁模型假設(shè)：

為了計(jì)算和分析方便起見，需要對于問題背景、條件等做出適當(dāng)簡化、規(guī)范，使得我們能夠很好地反應(yīng)出實(shí)際情況，建立起適當(dāng)數(shù)學(xué)模擬形式，能夠方便地進(jìn)行計(jì)算和求解。１、該公交線路是雙停車場，晚上公交車集中停放在兩個發(fā)車場。第17頁２、公交車在路上運(yùn)行速度正常，不考慮路上堵車，以及在各個站上耽擱時間，２０公里／小時速度是全天平均運(yùn)行速度。３、乘客抵達(dá)各個車站時間分布是均勻，即假設(shè)在局部時間段上，乘客抵達(dá)每個車站人數(shù)分布密度是均勻。４、乘客在每個車站下車人數(shù)，在局部時間段上是均勻。第18頁符號說明：１、車站標(biāo)識：j=1,2,…,n;共n個車站２、來客密度：在時刻t抵達(dá)j站乘客密度為３、下車乘客密度：在時刻t從車站j下車乘客密度

第19頁４、站間行車時間：５、每輛車載客量：B；載客上限６、交通高峰時刻等候時間上界，交通平峰時刻等候時間上界７、發(fā)車時刻表：

第20頁

表示第一輛車抵達(dá)起點(diǎn)站j=1時刻

表示是第k輛車駛離起點(diǎn)站j＝１時刻，k=1,2,…m８、第k輛車駛離j站時刻記為：

，

第21頁９、第k輛車駛離j站時侯該車上人數(shù)，記為：k=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1１０、表示從到時段上來客數(shù)；第22頁

表示第k輛車駛到j(luò)站時，該站上等候過h輛車依然未能上車乘客數(shù);

表示第k輛車駛到j(luò)站時，該站上等候時間最久乘客候車趟數(shù)。顯然有

第23頁11、：表示第k輛車駛到j(luò)站時，等到該站乘客下完車以后，車上依然留下乘客數(shù)。計(jì)算公式為：

第24頁１２、

表示第k輛車駛到j(luò)站后，等到該站乘客下完后，j站可容納上車乘客人數(shù)上界，顯然有：１３、表示第k輛車駛到第j站后，該車上實(shí)際上車人數(shù)

第25頁

模型建立模型一一段時間內(nèi)公交車上下車乘客數(shù)計(jì)算模型

第k-1輛車駛離j站到第k輛車駛到j(luò)站時間段內(nèi)，該站上乘客來到人數(shù)為：第26頁

第k-1輛車駛離j站到第k輛車駛到j(luò)站時間段內(nèi)，該站上乘客下車人數(shù)為：第27頁模型二第k輛車駛離j站時該車上乘客數(shù)量

第一步，按照先到先上車標(biāo)準(zhǔn)，確定在j站正在等候乘客中，當(dāng)?shù)趉+1輛車抵達(dá)車站時，除了能夠上車乘客以外，依然還要繼續(xù)等候車輛數(shù)最大值記為，這個數(shù)滿足下面問題第28頁

第二步，假如，這表明，此時刻全部些人都能夠上車，所以這個時候該車站上，第k輛車實(shí)際新上車乘客人數(shù)為第29頁

第三步，假如，表明此時車站上全部乘客并不能夠都上車，必定要留下一部分人，所以這個時候，新上車人數(shù)就是原來車上尚余最大空間，既：，同時顯然這個時候，余下人中第k+1輛車抵達(dá)車站以后，還沒有上車人中等車趟數(shù)最大值應(yīng)該是：第30頁

而且有遞推數(shù)量關(guān)系：第31頁

即這個時候第k+1輛車抵達(dá)該站時已等候車數(shù)+1人數(shù)，就是剛上了上輛車后，已經(jīng)上車后剩下人中原來已經(jīng)等了輛車人數(shù)，這個數(shù)就是，

所以能夠計(jì)算出關(guān)鍵數(shù)據(jù)：第k輛車駛離j站時該車上乘客數(shù)量為：第32頁第33頁模型三超時率和載客率計(jì)算模型

第k輛車抵達(dá)j站時，該站上已經(jīng)等候h趟車乘客人數(shù)是：

記交通高峰時期為，而整個時段為他們已經(jīng)等候時間是：第34頁交通高峰時段候車超時率為記為：第35頁交通平峰時段候車超時率為：第36頁滿載率低于50%段數(shù)百分比為=第37頁模型四優(yōu)化模型

為了使得公交企業(yè)與乘客都滿意，就要確保在所選方案中，乘客等車時間超出上限人次數(shù)盡可能最小；同時也要確保公交企業(yè)車輛不滿50%段數(shù)盡可能地小，顯然用段數(shù)作為計(jì)量單位是必要，因?yàn)槿藬?shù)改變、車輛滿載情況是在每個段上衡量。當(dāng)然這里并不關(guān)心總等車時間，而關(guān)心是等車超出上限時間次數(shù)，這也是表現(xiàn)等車基本數(shù)量信息。為了結(jié)構(gòu)滿意度模型，我們能夠用比率模型來表示，而不是用實(shí)際等車時間數(shù)來表示。第38頁求

其中是給定權(quán)重，反應(yīng)是對三個目標(biāo)重視程度第39頁模型計(jì)算

本問題屬于無約束最優(yōu)化問題，能夠用諸如數(shù)值微分等方法計(jì)算。也能夠用離散化計(jì)算方法，依據(jù)問題實(shí)際背景，經(jīng)過僅考慮決議變量部分特殊、符合實(shí)際離散化狀態(tài)，再從中選擇較優(yōu)方案。第40頁

將上行和下行兩個運(yùn)行方向運(yùn)行分開分別計(jì)算，求出兩個方向各自在一個運(yùn)行周期中全部發(fā)車時間表、發(fā)車次數(shù)，求出可能發(fā)車次數(shù)以后，再進(jìn)行配車，將發(fā)車次數(shù)計(jì)算與車輛陪給數(shù)分開計(jì)算是合理和必要。只要知道了一天要運(yùn)行次數(shù)，就能夠求出所用車輛數(shù)。這也是運(yùn)輸問題建模主要方法。第41頁

計(jì)算結(jié)果

ＣTotalUp-busDown-bus(3,2,2)0.23744202222(4,3,3)0.27443011515(5,2,3)05,3,3)0.26462651515(6,2,2)042頁

可見，很好方案是：交通平峰時發(fā)車時間間隔為５分鐘；而早交通高峰時發(fā)車時間間隔為２分鐘，晚交通高峰時發(fā)車間隔時間為３分鐘；需要車輛數(shù)為４４輛車。第43頁

彩票中數(shù)學(xué)建模

近年來，彩票颶風(fēng)席卷中國大地，巨額誘惑使越來越多人加入到了彩民行列。當(dāng)前流行彩票主要有傳統(tǒng)型和樂透型兩種。

傳統(tǒng)型采取10選6+1模式，先從6組0~9號球中搖出六個基本號，每組搖出一個，然后再從0~4號中搖出一個尤其號碼，組成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選六個基本號碼（能夠重復(fù)），在從0~4中選一個尤其號碼，組成一注。依據(jù)單注號碼與中獎號碼相符合個數(shù)多少以及次序確定中獎等級。以中獎號碼為abcdef+g為例說明中獎等級，表中x表示未選中號碼；ＣＵＭＣＭ２００２Ｂ

第44頁中獎等級

10選6+1（6+1/10）基本號碼尤其號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef選7中（6）三等獎abcdexxbcdef選7中（5）四等獎abcdxxxbcdexxxcdef選7中（4）五等獎abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef選7中（3）六等獎abxxxxxbcxxxxxcdxxxxxdexxxxxef

選7中（2）第45頁

樂透型有各種不一樣形式，比如33選7方案：先從01~33個號碼球中一個一個搖出7個基本號，再從剩下26個號碼球中搖出一個尤其號。得到一個中獎號。而投注者任選7個組成一注（不可重復(fù)），依據(jù)單注號碼中與中獎號碼相符個數(shù)多少確定出中獎等級，不考慮號碼次序。第46頁

又如36選6+1方案，先從01~36個號碼球中一個一個搖出6個基本號，再從剩下30個號碼球中搖出一個尤其號，組成中獎號碼。然后，彩民從01~36個號碼中任選7個組成一注，（不可重復(fù)），依據(jù)單注號碼與中獎號碼相符個數(shù)多少來確定中獎等級。不考慮號碼次序。第47頁

中獎號碼數(shù)據(jù)彩票規(guī)則：以上兩種類型總獎金百分比普通為銷售總額50%，投注者單注金額為2元，單注假如以得高級別獎就不在兼得低級別獎?，F(xiàn)在常見銷售規(guī)則以及對應(yīng)獎金設(shè)置方案見表，其中一、二、三等獎為高項(xiàng)獎，后面為低項(xiàng)獎。低項(xiàng)獎數(shù)額一定，高項(xiàng)獎按照百分比進(jìn)行分配，一等獎保底獎金為60萬元，封頂金額為500萬，

第48頁

高項(xiàng)獎計(jì)算方法為[（當(dāng)期銷售總額×總獎金百分比）-低項(xiàng)獎總額]×單項(xiàng)獎百分比（1）依據(jù)這些方案詳細(xì)情況，綜合分析各種獎項(xiàng)出現(xiàn)可能性、獎項(xiàng)和獎金額設(shè)置以及對彩民吸引力等原因評價各個方案合理性。（2）設(shè)計(jì)一個更加好方案及對應(yīng)算法，并拒此給彩票管理部門提出提議（3）給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。第49頁

問題分析：評價一個方案好壞，主要看對于彩民以及政府管理部門來講，該方案是不是有利于這項(xiàng)工作發(fā)展。設(shè)計(jì)方案好不好，關(guān)鍵一點(diǎn)是看它能不能吸引更多人參加其中，而這顯然取決于方案對于廣大彩民吸引力，也就是廣大彩民對于方案滿意程度，所以本問題根本目標(biāo)依然是關(guān)于滿意度問題。怎樣定義滿意度指標(biāo)是問題關(guān)鍵所在，滿意程度本質(zhì)上是個心理表現(xiàn)度量，現(xiàn)在要用一個或幾個數(shù)值來表現(xiàn)這種度量，怎樣定義對應(yīng)度量指標(biāo)？第50頁

實(shí)際上，滿意度指標(biāo)一個基本性質(zhì)是：它是決議方案泛函數(shù)，是由方案中或者與方案相關(guān)數(shù)量來決定。顯然，每個方案中，彩民最關(guān)心就是：高等獎獎金百分比、彩民中得各項(xiàng)獎概率有多大？一等獎獎金數(shù)大小。怎樣用這些數(shù)據(jù)來定義一個函數(shù)值，作為反應(yīng)方案好壞指標(biāo)？實(shí)際上，關(guān)鍵是平均每買一注時，彩民對它滿意程度，不然話不好比較，彩民滿意度就是投一注時，所產(chǎn)生感覺和判斷。吸引力關(guān)鍵還是獎金數(shù)大小，以及中獎百分比數(shù)，這是關(guān)鍵指標(biāo)，現(xiàn)在怎樣利用這些數(shù)據(jù)？獎金數(shù)產(chǎn)生吸引力能夠用它某種函數(shù)來表示，因?yàn)榧偃绨血劷饠?shù)與中獎百分比直接進(jìn)行結(jié)合話，因?yàn)樗鼈償?shù)值大小相差太大，對于不一樣方案，不易區(qū)分好壞，所以就需要對于獎金數(shù)進(jìn)行函數(shù)處理。第51頁

這里引進(jìn)心理曲線概念，這個函數(shù)是,其中x就是錢數(shù)，而是與平均收入相關(guān)實(shí)力因子，或者叫做調(diào)整因子，因?yàn)檫@個數(shù)值模型作為反應(yīng)彩民滿意程度，必定要反應(yīng)出特殊情況下狀態(tài)，顯然：中間情況：要確保當(dāng)人們收入處于平均數(shù)時候，滿意程度為1/2，即中間狀態(tài)。那么，中獎金額數(shù)值要與什么數(shù)進(jìn)行比較呢？普通而言，要與一定時期內(nèi)總收入進(jìn)行比較。第52頁

每個等次獎都有吸引力，全部獎吸引力大小要進(jìn)行加權(quán)平均處理，形成平均吸引力。自然用每等獎中獎百分比來作為權(quán)重，以表達(dá)出對應(yīng)獎金數(shù)產(chǎn)生吸引力在總吸引力中作用。模型假設(shè)：1、彩票搖獎是公正2、各個號碼出現(xiàn)是隨機(jī)3、彩民購置彩票是隨機(jī)獨(dú)立事件第53頁符號引入：1、表示第j等獎?wù)几唔?xiàng)獎總額百分比，j=1,2,32、表示第i等獎金額平均數(shù)，3、表示彩民中第i等獎概率，4、表示彩民對于某個方案第i等獎獎金數(shù)吸引力，5、表示某地域平均收入和消費(fèi)水平相關(guān)因子，稱之為實(shí)力因子。6、F:表示彩票方案合理性指標(biāo)，即方案設(shè)置對于彩民吸引力綜合指標(biāo)。第54頁模型一

中獎概率計(jì)算模型全部方案能夠劃分成四類：實(shí)際上就是給出了中獎隨機(jī)事件界定，隨機(jī)試驗(yàn)就是從所給號數(shù)中隨機(jī)進(jìn)行摸球試驗(yàn)，然后要求屬于中獎事件。10選6+1(6+1/10）

n選m型有尤其號型

n選m+1(m+1/n)

n選m無尤其號型

模型建立：

第55頁計(jì)算中獎概率公式是：10選6+1(6+1/10）

第56頁計(jì)算說明:三等獎：abcdexxbcdef四等獎：abcdxxxbcdexxxcdef五等獎：abcxxxxbcdxxxxcdexxxxdef第57頁六等獎：

abxxxx

xbcxxx

xxcdxxxxxdexxxxxef第58頁其中：abxxxx和xxxxef能夠有共同形式：abxxef,中間能夠有種可能組合；

abxxxx和xxxdex能夠有共同形式：abxdex,能夠有種可能組合；

xbcxxx和xxxxef能夠有共同形式：xbcxef,能夠有種可能組合；

abxxxx與xxxdef有共同形式abxdef,共種可能；

xxxxef與abcxxx有共同形式abcxef,共種可能；第59頁故,中六等獎概率是:

n選m型（m/n）考慮到事件對立特征,即除了本身具備以外,還要考慮到其它組成成份不一樣情況第60頁

：n選m+1(m+1/n)第61頁

n選m（m/n）無尤其號型第62頁模型二

彩民對于獎金額滿意度模型依據(jù)普通含糊數(shù)學(xué)原理，以及人們心理改變規(guī)律，能夠定義彩民對于彩票方案滿意程度指標(biāo)，由此反應(yīng)出方案對彩民吸引力，轉(zhuǎn)換到吸引力觀點(diǎn)上。彩民對于一次取得獎金x滿意度能夠定義：

其中是實(shí)力調(diào)整因子，它詳細(xì)取值將會使該模型完整全方面地反應(yīng)各種對x滿意度實(shí)際情況。第63頁模型三彩民對于彩票方案綜合滿意度模型（1）計(jì)算高等獎獎金數(shù)平均值依據(jù)規(guī)則，低等獎獎金數(shù)是固定，所以能夠用每次摸獎可能得到獎金數(shù)平均數(shù)來代替獎金數(shù).假設(shè)共賣了m注，則高等獎平均每注獲獎獎金數(shù)應(yīng)該為：=第64頁（2）彩民對于摸彩方案綜合滿意度因?yàn)槊總€人購置數(shù)量不一樣，所以我們考慮彩民對于每買一注滿意度,設(shè)滿意度為第65頁

模型四方案設(shè)置優(yōu)化模型各種方案綜合比較分析優(yōu)化模型能夠化為下面非線性規(guī)劃問題求

s.t第66頁

m，n為正整數(shù)第67頁模型計(jì)算：（1）依據(jù)各個地域不一樣收入水平（在一定時限內(nèi)平均收入水平對應(yīng)吸引力應(yīng)該是0.5）來求出滿意度函數(shù)中調(diào)整因子，對于不一樣地域而言，這個數(shù)值是不一樣。

（2）對于不一樣方案，依據(jù)非線性規(guī)劃計(jì)算方法，利用Matlab能夠得到下面結(jié)果

計(jì)算結(jié)果第68頁

玫瑰有約滿意度數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)有多名城市大齡青年,男女各n人。每人基本條件和要求對方條件分成若干等級，現(xiàn)在對他們進(jìn)行牽線搭橋?；疽螅耗星嗄曛炼啾扰嗄甏?歲，而女青年至多比男青年大兩歲，而且最少滿足個人條件要求中5項(xiàng)，才有可能配對成功。第69頁

要求建立數(shù)學(xué)模型，處理以下問題：（1）在盡可能滿足個人要求前提下，給出一個最正確配對方案，使得配對成功率盡可能地高？（2）給出一個n對男女青年可同時配正確最正確方案，使得全部配對成功可能性最大？

第70頁

問題分析：

問題（1）：配對成功率高低取決于男女雙方相互滿意程度大小，所以處理問題關(guān)鍵是要引入滿意度概念，用滿意度描述配正確屬性特征。也就是說要給予“配對”進(jìn)行量化描述，就要確定配正確數(shù)量特征，怎樣才能夠使得配對成功率高？要引入男女之間相互滿意度，用滿意度表示配正確可能性。

第71頁

問題（2）：同時配對成功意義在于在全部配對中選擇滿意度乘積最大配對方案，就是同時配對成功概率最高配對方案。