函數(shù)可積性省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)

P44習(xí)題2.1:2.4.8.P54習(xí)題2.2:8.9.

復(fù)習(xí)：P37—53預(yù)習(xí)：P54—60作業(yè)5/5/20241第1頁第五講函數(shù)可積性一、定積分概念二、可積性條件與可積類5/5/20242第2頁一、定積分概念黎曼積分定義：5/5/20243第3頁記作:積分上限積分下限稱為積分區(qū)間定積分是:積分和式極限5/5/20244第4頁[比如]曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)旅程5/5/20245第5頁[證]5/5/20246第6頁[解]問：這個(gè)做法對不對？關(guān)鍵：定積分存在性5/5/20247第7頁定積分作為黎曼和式極限，其結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，所以想計(jì)算這個(gè)和式極限來研究定積分，實(shí)際上是不可行.另一路徑是先研究其存在性，首先是簡化和式結(jié)構(gòu)，把“兩個(gè)任意”(任分任取)簡化為“一個(gè)任意”(任分)這就是達(dá)布上和與下和來由。三、可積性條件與可積類5/5/20248第8頁1.達(dá)布上和與達(dá)布下和(一)可積條件5/5/20249第9頁定義：（達(dá)布上和與下和）達(dá)布上和

（大和）達(dá)布下和（小和）[注意1]上和、下和是被劃分唯一確定這是上和、下和與積分和主要區(qū)分5/5/202410第10頁[注意2]對同一個(gè)分法，上和與下和關(guān)系是:2.達(dá)布上和、下和性質(zhì)性質(zhì)1：5/5/202411第11頁[證]所以即5/5/202412第12頁性質(zhì)2：（分點(diǎn)增多時(shí)，小和不減，大和不增）其中5/5/202413第13頁[證]只須證實(shí)增加一個(gè)新分點(diǎn)時(shí)，性質(zhì)成立5/5/202414第14頁5/5/202415第15頁性質(zhì)3：（下和總不超出上和）[證]依據(jù)性質(zhì)2，有又對劃分有5/5/202416第16頁性質(zhì)3說明:全體上和所組成數(shù)集與全體下和所組成數(shù)集，都是有界集。任何一個(gè)下和都是全體上和所組成數(shù)集一個(gè)下界；任何一個(gè)上和都是全體下和所組成數(shù)集一個(gè)上界。下積分上積分性質(zhì)4：（下積分不超出上積分）5/5/202417第17頁性質(zhì)5：（達(dá)布定理）對于上、下積分，有[證]195/5/202418第18頁依據(jù)性質(zhì)2，5/5/202419第19頁（三）可積性條件定理1：[證]必要性5/5/202420第20頁5/5/202421第21頁再證充分性存在，且5/5/202422第22頁定理3：證實(shí)思緒：反證法。假設(shè)f(x)在[a,b]上無界，則最少在一個(gè)子區(qū)間上無界，所以黎曼和式無界，與和式極限存在相矛盾.定理2：其中振幅5/5/202423第23頁二、可積函數(shù)類定理1：定理3：定理2：5/5