專題03 等式與不等式-2024年高考數(shù)學母題題源解密（全國）含解析

專題03等式與不等式-2024年高考數(shù)學母題題源解密（全國通用）含解析專題03等式與不等式考向一基本不等式的應用【母題來源】2022年新高考全國II卷【母題題文】若x，y滿足，則（）A.B.C.D.【答案】BC【試題解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．【命題意圖】本題考查基本不等式及其應用，屬于中高檔題目．【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度有易有難，是歷年高考的熱點，考查學生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）利用不等式比較大??；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的條件【得分要點】對原不等式進行化簡、變形；符合基本不等式的條件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；判斷等號成立的條件；（4）利用“1”的合理變換是解題.考向二線性規(guī)劃【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）【母題題文】若x，y滿足約束條件則的最大值是（） B.4 C.8 D.12【答案】C【試題解析】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，上下平移直線，可得當直線過點時，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃及其應用，屬于比較容易題目．【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度較小，是歷年高考的熱點，考查學生的基本作圖能力和運算能力．常見的命題角度有：（1）線性規(guī)劃求最值；（2）利用線性規(guī)劃求參數(shù)的值；【得分要點】1.正確畫出可行域；2.確定目標函數(shù)平移的方向決定取得最大值或最小值一、單選題1．（河北省保定市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學試題）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．2．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．83．（2022·四川達州·高一期末（理））已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．4．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖南·高二階段練習）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A．且 B．C． D．二、填空題9．（2022·四川瀘州·三模（理））已知x、，且，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中一定成立的結論是______(寫出所有成立結論的編號)．10．（2022·上海市川沙中學高二期末）若關于x的不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍___________.11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期末）已知實數(shù)，，則的最小值為___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））關于函數(shù)有下列四個命題：①，使關于軸對稱．②，都有關于原點對稱．③，使在上為減函數(shù)．④若，，使有最大值．其中真命題的序號是____________．三、解答題13．（2021·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）設：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足(1)若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．14．（2022·江西撫州·高二期中（文））已知a，b都是正數(shù)．(1)若，證明：；(2)當時，證明：．15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函數(shù)，的解集為或．(1)求實數(shù)、的值；(2)若時，求函數(shù)的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24屆冬季奧林匹克運動會，又稱2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.本屆奧運會共設7個大項，15個分項，109個小項.北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目和自由式滑雪大跳臺，延慶賽區(qū)承辦雪車?雪橇及高山滑雪項目，張家口賽區(qū)承辦除雪車?雪橇?高山滑雪和自由式滑雪大跳臺之外的所有雪上項目，冬奧會的舉辦可以帶動了我國3億人次的冰雪產(chǎn)業(yè)，這為冰雪設備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機遇，某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）.經(jīng)計算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時，則這x千件產(chǎn)品成本.每千件產(chǎn)品售價為100萬元，為了簡化運算我們假設該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？專題03等式與不等式考向一基本不等式的應用【母題來源】2022年新高考全國II卷【母題題文】若x，y滿足，則（）A.B.C.D.【答案】BC【試題解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．【命題意圖】本題考查基本不等式及其應用，屬于中高檔題目．【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度有易有難，是歷年高考的熱點，考查學生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）利用不等式比較大??；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的條件【得分要點】對原不等式進行化簡、變形；符合基本不等式的條件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；判斷等號成立的條件；（4）利用“1”的合理變換是解題.考向二線性規(guī)劃【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）【母題題文】若x，y滿足約束條件則的最大值是（） B.4 C.8 D.12【答案】C【試題解析】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，上下平移直線，可得當直線過點時，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃及其應用，屬于比較容易題目．【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度較小，是歷年高考的熱點，考查學生的基本作圖能力和運算能力．常見的命題角度有：（1）線性規(guī)劃求最值；（2）利用線性規(guī)劃求參數(shù)的值；【得分要點】1.正確畫出可行域；2.確定目標函數(shù)平移的方向決定取得最大值或最小值。一、單選題1．（河北省保定市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學試題）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可以利用特殊值進行排除，以及利用不等式的性質(zhì)進行判斷.【詳解】當時，，則A錯誤；當時，，則B錯誤；當時，，則C錯誤；當時，，當時，，當時，，則D正確.故選：D.2．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.3．（2022·四川達州·高一期末（理））已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義即可求解最小值.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域（如圖），可看成可行域內(nèi)的點與定點的距離，由圖可知：當過點的直線與垂直時，距離最小，此時最小距離為：.故選：B4．（2022·江蘇·宿遷中學高二期末）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求的最值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：B5．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】化簡，再利用基本不等式得解.【詳解】解：由題得.（當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?故選：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】討論和兩種情況，即可求解.【詳解】當時，不等式成立；當時，不等式恒成立，等價于．綜上，實數(shù)的取值范圍為．故選：B．7．（2022·湖南·高二階段練習）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，.把原不等式轉(zhuǎn)化為或即可解得.【詳解】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范圍是.故選：D.8．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.【詳解】因為，故不等式的解集為且，故不等式成立的一個充分不必要條件所構成的集合應是且的真子集，顯然，滿足題意的只有.故選：D.二、填空題9．（2022·四川瀘州·三模（理））已知x、，且，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中一定成立的結論是______(寫出所有成立結論的編號)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判斷①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判斷②，取特殊值y＝可判斷③．【詳解】對于①，∵，∴由得，，即，解得(當且僅當時取等號)，故①一定成立；對于②，當3時，成立，但不成立，故②不一定成立；對于③，當時，由得，則，即，故③不一定成立；④將兩邊平方得，∴，由①可知：，∴，當且僅當時取等號，因此④一定成立﹒故答案為：①④﹒【點睛】本題①和④利用基本不等式即可求解，需要熟練運用基本不等式求范圍.對于②和③，取特殊值驗算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中學高二期末）若關于x的不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)可得，代入求解．【詳解】根據(jù)題意可得∵∴，即，則或故答案為：．11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期末）已知實數(shù)，，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】依題意利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，，所以當"取等號“綜上所述：的最小值為；故答案為：12．（2020·云南德宏·高三期末（理））關于函數(shù)有下列四個命題：①，使關于軸對稱．②，都有關于原點對稱．③，使在上為減函數(shù)．④若，，使有最大值．其中真命題的序號是____________．【答案】②③④【解析】【分析】對①②，判斷的奇偶性即可；對③④，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】由題，因為，且，故為奇函數(shù)，①錯②對；當時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，在上為減函數(shù)，故③正確；又當時，若，則在處取得最大值，故④正確；故答案為：②③④三、解答題13．（2021·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）設：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足(1)若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時實數(shù)x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據(jù)是的必要不充分條件可得，再根據(jù)集合包含關系，根據(jù)區(qū)間端點列不等式求解即可(1)當時，，解得，即p為真時，實數(shù)x的取值范圍為．由，解得，即q為真時，實數(shù)x的取值范圍為．若為真，則，解得實數(shù)x的取值范圍為．(2)若p是q的必要不充分條件，則且．設，，則，又．由，得，因為，則，有，解得因此a的取值范圍為．14．（2022·江西撫州·高二期中（文））已知a，b都是正數(shù)．(1)若，證明：；(2)當時，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，再結合化簡，利用基本不等式證明即可（2）根據(jù)證明的不等式逆推即可(1)證明：由，得，即，當且僅當時“=”成立．所以．(2)要證，只需證，即證，即證，因為，所以上式成立，所以成立．15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函數(shù)，的解集為或．(1)求實數(shù)、的值；(2)若時，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）分析可知、是方程的兩個根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可求得、的值；（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.(1)解：因為關于的不等式的解集為或，所以，、是方程的兩個根，所以，，解得.(2)解：由題意知，因為，由基本不等式可得，當且僅當時，即時，等號成立故函數(shù)的最小值為.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24屆冬季奧林匹克運動會