2020-2021學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知點(diǎn),4（2「3）,B（-3「2）,直線/方程為丘+>-左一1=0,且與線段A8相交，求直線乙的

斜率k的取值范圍為（）

313—1

A.k>-^k<-4B,k>-tik<—

444

33

C.-4<^<-D.-<k<4

44

2.若直線Z的方向向量3=（1,2,—1）,平面a的一個(gè)法向量記=（—2,—4,k）,若［1a,則實(shí)數(shù)k=（）

A.2B.-10C.-2D.10

3.已知點(diǎn)4（4,—2）,F為拋物線必=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)*+|MF|取最小值時(shí)，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（1,—2V2）C.（2,-4）D.（I，-2）

4.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為%,且與+。3=6,。4+。6=",則粼=（）

.2023cc2021、__..

A.—B.1011C.—D.1010

5.已知等差數(shù)列{5}的前n項(xiàng)和分,59=-18,S13=-52,等比數(shù)列{'}中,b5=a5,b7=a7,

那么為5的值為（）.

A.64B.-64C.128D.—128

6.某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷(xiāo)售量》（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為P=160-2%,生產(chǎn)x件

所需成本為C（元），其中C=（500+300元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷(xiāo)售量x的取

值范圍是（）.

A.{工［20W』W；"）,1WN+}B,{?2（）℃5.工WN+}

C,{?15ch上WN+}D,{1|15"W45.』eN+}

7.兩圓鷺,:::小■此鏟一■!，=%和，領(lǐng)::遙此/■---：￥，=雹的位置關(guān)系是（）

A.相交B.外切C.內(nèi)切D.外離

8.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線*=軌的焦點(diǎn)，直線心y=g（久-1）與拋物線交于2,B兩點(diǎn),

點(diǎn)4在第一象限，若|/川=3|FB|.則小的值為（）

A.3B.83D.|

9.已知等差數(shù)列｛a九｝的前?1項(xiàng)和為%,若以+^5=2,則品等于（）

A.8B.9C.10D.11

10.已知向量K(1.-3.2),b=(-2,1,1),則|2K+17()

A.50B.14C.5V2D.V14

11.已知。：/+*=1和點(diǎn)p（-Lb）,4、B是圓。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝UN4PB的最大值為（）

A71n""兀c7r

%B.-C.-D.-

12.己知雙曲線l（a>0,6>0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為值，且離心率為2,則該雙曲線的

實(shí)軸長(zhǎng)為（）

A.1B.V3C.2D.273

二、單空題（本大題共8小題，共40.0分）

13.已知向量萬(wàn)=（1,1,0）,3=（—1,0,2），且k五+3與2濟(jì)一。的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)k的取值范圍

為.

14.直線kx-y+k-1=0與圓/+y2+2ax+2y+2a2=0恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

15.在數(shù)列｛&J中，at=2,an+1=an+ln（l+，），則&3=.

16.若雙曲線片—^=1的離心率為包，則根的值是____.

4m2

17.若線段4B的端點(diǎn)4,B到平面a的距離分別為a,6,且4B在a的同側(cè)，則線段4B中點(diǎn)M到平面

a的距離是.

18.已知tana=-2,拋物線f=2p久（p>0）的焦點(diǎn)為尸（-s譏acosa,0）,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與拋物線

交于4B點(diǎn)，且|陰=4,則線段48的中點(diǎn)到直線x=-扣勺距離為.

1

19.無(wú)窮等比數(shù)列｛an｝（neN*）的前n項(xiàng)的和是分,且他熱Sn=天則首項(xiàng)的的取值范圍是.

20.已知橢圓次+尤=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為公，4,P為橢圓上不同于4，&的任意一點(diǎn)，則直線

94

p4,P4的

斜率之積為.

三、解答題(本大題共4小題，共50.0分)

21.已知圓嬲的圓心在直線富:一駕.#可=既上，且與雷軸交于兩點(diǎn)戲?噬頸，遛a啜.

(1)求圓E球的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)卷:乳源:的圓噩的切線方程；

(3)己知颯:-禽哪，點(diǎn)部在圓翻上運(yùn)動(dòng)，求以,初，，承為一組鄰邊的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)鰻

軌跡方程.

22.如圖所示，4M為梯形ABCD底邊BC的高，沿著4M把平面力MB折起來(lái)，使得平面力MB1平面

AMCD,AD=BM=^MC=1,AM=V3.

(I)求4。與8D的夾角；

(H)求平面2MB與平面BCD所成銳二面角的余弦值.

23.設(shè)等差數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和為無(wú),已知的=-7,a3+S5=-6.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛(-1嚴(yán)啕｝的前2n項(xiàng)和公.

24.已知橢圓C：2+《=1(0[>6>0)的離心率為?，右焦點(diǎn)為(百,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)原點(diǎn)。作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于4,B兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)。到直線4B的距離為定值;

(3)在(2)的條件下，求AOAB的面積的最大值.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題考查直線的相交的應(yīng)用，由直線方程可知I過(guò)定點(diǎn)Q1).畫(huà)出圖形，由題意得得到所求直線I的斜

率k滿足k>kpB或k<kPA,

用直線的斜率公式求出MB和加4的值，即可求出直線I的斜率k的取值范圍.

解：Z：k(久一1)+(>-1)=0,即直線I過(guò)定點(diǎn)(1,1).

由題意得，所求直線I的斜率k滿足k2kpB或kW際4，

即k>［或k<4.

故選A.

2.答案：A

解析：

本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)、直線的方向向量，平面的法向量等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

由Z1a,得到L〃記,由此能求出k.

解：???直線1的方向向量方=(1,2,—1),

平面a的一個(gè)法向量記=(-2,-4,k),11a,

???a//m,

故選A.

3.答案：D

解析：解：由拋物線方程可知，2P=8,

拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為％=-2,

設(shè)M在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為M',

???點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與M到焦點(diǎn)距離相等，

\MA\+\MF\=\MA\+

當(dāng)x=4,代入拋物線方程求得y=±4V2,

???4D點(diǎn)拋物線的內(nèi)部，

當(dāng)M',M,4三點(diǎn)共線時(shí),\MA\+|M'M|的值最小，此時(shí)|M4|+\M'M\=\AM\=6.

此時(shí)M的縱坐標(biāo)為一2,x=|,即M的坐標(biāo)為G，—2).

故選：D.

先由拋物線的方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，把光=4代入拋物線方程判斷4點(diǎn)在拋物線內(nèi)

部，設(shè)M在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為M',根據(jù)拋物線的定義可知|M*+\MF\=\MA\+分析

M',M,4三點(diǎn)共線時(shí)，+的值最小，求得其最小值，進(jìn)而求得|M2|+取最小值.

本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義，是中檔題.

4.答案：A

解析：解：?.?數(shù)列是等差數(shù)列，

刖71項(xiàng)和大jS”，且Gt]+CI3=6,GI4+Gtg=12,

(ar+/+2d=6

+3d+的+5d=12'

角犁得的=2,d=1.

???Sn=2n+?St),

n2

,T=2+亭

52020=2+2°2。-1_2023

2020—2~2

.S2020_2023

"2020-2

故選：A.

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列出方程組，求出的=2,&=1.從而％=2八+硬沿，進(jìn)而*=2+展，

由此能求出粼.

本題考查等差數(shù)列的前2020和與2020的比值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：

本題考查了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式、性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟練記憶及靈活運(yùn)用公式是正確

解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

由等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式和性質(zhì)可得$9=9的=一18,S13=13%=一52,故可求得。5、。7，即求

出生、厲，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出q2,進(jìn)而求出瓦

g13

尚牛：,?*S9=~C^i+。9)=9a5=-18,S13=+。13)=13a7=-52,

附=-2，。7=-4，

又Z75=。5，力7=。7，

???Z)5=-2，b7=—4,

設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

28

Q=~=2,6曾=b7-q=-4X16=-64.

故選8.

6.答案：B

解析：

本題主要考查了一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中認(rèn)真審題，列出關(guān)于x的一元二次不等

式，結(jié)合一元二次不等式的解答求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于

中檔試題.

設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意，求得利潤(rùn)為y的函數(shù)關(guān)系式，得到一元二次不等式-27+

130%-500>1300,即可求得，得到答案.

解：設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為y元，

則y=(160-2%)-%-(500+30%)=-2x2+130%-500,0<x<80,WN-,

根據(jù)題意，可得—2/+130N一50021300,解得20<xW45,

故當(dāng)20WXW45,且H€N+時(shí),每天獲得的利潤(rùn)不利于1300元.

故選3.

7.答案：C

解析：試題分析：圓，■的圓心為螭的虬頤，半徑瀛=工；圓線的方程可以變形為O-③更#/*=螂,

其圓心為，%圓，順，半徑礴=置圓心距|，嗯|=筮=礴-叫，所以圓鰥I內(nèi)切于圓竭.

考點(diǎn)：平面內(nèi)兩圓的位置關(guān)系.

8.答案：C

解析：解:拋物線于=4久的焦點(diǎn)為(1,0),

設(shè)直線I為x=ky+l(k>0),代入拋物線方程可得必—4ky—4=0,

設(shè)2(%1，%)，8(%2，、2)，

貝+%=4k,yry2=-4,

由|2F|=3|BF|,可得、1=-3%，

由代入法，可得/=%

故選：C.

求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線2為尤=ky+l,代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和［4/|=3|BF|,解得k,

即可得到小的值.

本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，主要考查韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.答案：A

解析：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知+。5=的+48=2,

則58=出野=4X2=8.

故選：A.

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可直接求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

10.答案:c

解析：

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其模的計(jì)算公式即可得出.

解：???2a+b=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5).

\2a+b\—VO+52x2=5V2.

故選C.

11.答案：C

解析：解：由題意，乙4PB取最大值時(shí)，P4PB是圓的切線，

v\OA\=1,\OP\=2,

???^OPA=

6

???乙4PB的最大值為2x(=泉

故選C.

由題意，乙4PB取最大值時(shí)，PA,PB是圓的切線，即可得出結(jié)論.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，確定乙4Pg取最大值時(shí)，P4PB是圓的切線是關(guān)鍵.

12.答案：C

22

解析：解：根據(jù)題意，雙曲線京-1(口>0/>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為百，

則b=V3.

又由雙曲線的離心率2,即6=￡=2,即c=2a,

a

則有力=Vc2—a2=V3a=V3，

解可得a=1,

則雙曲線的長(zhǎng)軸2a=2；

故選：C.

根據(jù)題意，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得b的值，又由雙曲線的離心率分析可得c=2a,聯(lián)立兩式分

析可得a的值，由雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2Q計(jì)算可得答案.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離就是b的值.

13.答案：(―8,—2)u(—2彳)

解析：

本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于中檔題.

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得五7,再兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得k

的范圍.

解：；向量五=(1,1,。)，b=(-1,0,2)s：.a-b=-1，且五、3不平行.

ka+9與2五—方的夾角為鈍角，設(shè)k五+3與2a—石的夾角為氏

k五十E與2五一3不共線且cos。<0,

即5。三，且(々方+b)?(2五一b)V0，

即上。一2，且2憶五2+(2一左)五?一一12<0?

\a\=y/2,\b\=通，

即kW-2,且4/c-(2-fc)-5<0,

求得k<I，且/cW—2.

故k的取值范圍為(—8,—2)U(—2,看)，

故答案為(一8,—2)U(—2,§.

14.答案：［0,1)

解析：解：要使方程久2+y2+2。％+2y+2a2=o表示圓，必有(2a/+2?-4X2小>。，今一1<

a<1

由于直線I：kx—y+k—1=0過(guò)定點(diǎn)4(—1,—1)，

由題意可得點(diǎn)4在圓內(nèi)或點(diǎn)4在圓上，故有(一1)2+(-1)2-2a-2+2a230

解得：0WaW1,

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0Wa<L

故答案為：［0,1)

要使方程/+y2+2a比+2y+2a2=0表示圓，必有(2a)2+2?—4x2a2>。，=>—1<a<1

由于直線1：kx—y+k—1=0過(guò)定點(diǎn)4(—1,—1),由題意可得點(diǎn)A在圓內(nèi)或點(diǎn)2在圓上，故有(―I)2+

(—1)2—2a—2+2a2<o,求得a的取值范圍.

本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線和圓的位置關(guān)系，求出直線1過(guò)定點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

15.答案：2+Zn3

-i

解析：解：,??在數(shù)列中，的=2,an+1=an+ln(l+-),

???。2=2+ln2,

a3=2+ln2+In-=2+ln3.

故答案為：2+Zn3.

利用遞推思想先求出。2，由此能求出

本題考查數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，考查遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸

與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

16.答案:3

解析：

本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用雙曲線的離心率公式是關(guān)鍵.

利用雙曲線的離心率公式，建立方程，即可求出山的值.

解：???雙曲線次-”=1的離心率為"，

4m2

.4+m_7

,,—―，

44

m=3.

故答案為：3.

17.答案：詈

解析：解：線段4B的端點(diǎn)4B到平面a的距離分別為a,b,且4B在

a的同側(cè)，

過(guò)4作441la,垂足為過(guò)B作B/la,垂足為2,

過(guò)M作MM】平面a,垂足為

連結(jié)4/1，則%是4/1的中點(diǎn)，

.??線段4B的中點(diǎn)M到平面a的距離MM1=詈.

故答案為：詈.

過(guò)力作4411a,垂足為過(guò)B作BBi1a,垂足為過(guò)M作MM11平面a,垂足為連結(jié)4把「

則%是4/1的中點(diǎn)，由此能求出線段4B的中點(diǎn)M到平面a的距離.

本題考查線段中點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.答案:g

解析：

本題考查拋物線方程，考查拋物線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

利用tana=—2,拋物線y?=2p久(p>0)的焦點(diǎn)為F(-s譏acosa,0),求出p,利用直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且

與拋物線交于力、B點(diǎn)，且|AB|=4,可得的+久2+(=4,即久i+久2=￡，從而求出線段4B的中點(diǎn)

到直線％=-3勺距離.

解：vtana=-2,拋物線y?=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F(—s譏acosa,0),

???嗚。)，

???P=~4,

???直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于/、B點(diǎn),且|4引=4,

4

:?與+%2+g=4,

16

+%2=三，

???線段4B的中點(diǎn)到直線％=，的距離為g+；器

故答案為：|^.

19.答案：(O,j)u(|,l)

解析：解：設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列｛廝｝的公比為q,@<1且(？力()，

-1

由limS"=

九一82

又無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式limS”=三，

n->oo1—Q

即q=1-2a1，

即有|1-2ali<1且|1-2aliH0,

解得ai6(0,》uG，l).

故答案為：(0,|)U?,l).

根據(jù)所給的前n項(xiàng)和的極限的值，做出首項(xiàng)和公比之間的關(guān)系，根據(jù)公比的范圍，得到首項(xiàng)的范圍,

解不等式即可.

本題考查了無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，極限的運(yùn)算法則及其不等式的解法問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵

是運(yùn)用無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式來(lái)解題.

20.答案：-三

解析：解：設(shè)PQ0,y。），則詈^熬=居，

而橢圓毯+羽=1,

94

???yo=4（i-妥，

即戶二-々

好-99

???女出2=一［?

故答案為：

已知橢圓＜t=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為4,A2，首先不妨設(shè)POO,y°）,再由直線的斜率公式得到左也

94

的表達(dá)式；根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到y(tǒng)0關(guān)于狗的表達(dá)式，進(jìn)而得出最終答案.

這是一道考查橢圓的題目，解題的突破口是對(duì)直線的斜率進(jìn)行應(yīng)用；

21.答案：⑴0#駕2口（尸鬻=2?;⑵編#般-容=（?；（3）磐普0-骸=獺,除去點(diǎn)（T霞和

解析：試題分析：（1）先聯(lián)立直線，嚼?的中垂線方程與直線方程富-&臚書(shū)碑=勵(lì)，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)即

圓心魏?的坐標(biāo)，然后再計(jì)算出原胃￡搬到，最后就可寫(xiě)出圓巡?的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線

問(wèn)題，先判斷點(diǎn)您在圓嬲上還是在圓搬外，若點(diǎn)芯在圓搬上，則所求直線的斜率為由

%

點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線的方程，若點(diǎn)卷在圓嬲外，則可設(shè)切線方程朋-囂=典常：（此時(shí)注意驗(yàn)證斜

率不存在的情形），然后由圓心?嫄到切線的距離等于半徑，求出曼即可求出切線的方程；（3）先設(shè)點(diǎn)

然靠,威小翼禽G噓:，然后利用平行四邊形.幽踴的對(duì)角線互相平分與中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到

+黑制T斗溫.

』罷"既即號(hào)的=最后代入圓蠹的方程，即可得到點(diǎn)矮的軌跡方程.

|避=也魅，揭:=朋一嗎

試題解析：⑴因?yàn)閳A嬲與富軸交于兩點(diǎn).遙-圖顧:，/U醺所以圓心在直線和=T上

=—罷-蜜=—我

由叫一"?,「、得蕓,即圓心嬤的坐標(biāo)為（-2,1）

［聲叫.-嗎=財(cái)v/=l.

半徑歲=爐評(píng)=廊

所以圓整的方程為g#瀚3帶（般一:十=瞬3分

（2）由您坐標(biāo)可知點(diǎn)您在圓嬤上，由也破=士得切線的斜率為一如

故過(guò)點(diǎn)G:口渝:的圓避的切線方程為概.:#.F-S=?5分

（3）設(shè)鍛賓4M箕:煙，黑》，因?yàn)?儂辭為平行四邊形，所以其對(duì)角線互相平分

又更在圓豳上，代入圓的方程得鯉:-囂*③更小0-琳-:玻=?

即所求軌跡方程為d凝=?，除去點(diǎn)（T霞和《一常哪9分

考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.

22.答案:解：（I）因

為MC、MA.MB兩

兩垂直，

建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

AC=(3,-V3,0),SD=(1,V3,-1),

因?yàn)榍?前=3-3-0=0，所以力C與BD的夾角為90。.

(11)因?yàn)榍?(3,0,-1),JD=(1,V3,-1)，

設(shè)平面BCD的法向量為訪=(x,y,z),

，黑巴一3：片一°n，令%=用m=(V3,2,3V3),

(BD-m=x+V3y—z=0

平面4MB的法向量為元=(1,0,0),

所以平面4MB與平面BCD所成銳二面角的余弦值為普普=熹=萼.

\m\-\n\V34-134

解析：（1）先求》?前=0,進(jìn)而求2C與BD的夾角；（U）用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值.

本題考查了異面直線成角問(wèn)題，考查了二面角的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.

23.答案：解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

a】=—7,%+S5=-6,

?t.—7+2d+5X（-7）+10d=-6,

解得d=3,

*'?CLn=-7+3（71—1）=372—10;

_九（3九一10-7）_九（3九一17）

...(一1嚴(yán)%=(_])n+in(3nT7)

n+1n（317）

設(shè)6n=（-l）"-,

則72n=（瓦+b2'）+（必+bQ+