新教材高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)對數(shù)的運(yùn)算教學(xué)案新人教A版必修第一冊

4.3.2對數(shù)的運(yùn)算

(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：掌握積、商、幕的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件.掌握換底

公式并能用換底公式進(jìn)行求值、化簡.

教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式.

【知識導(dǎo)學(xué)】

知識點(diǎn)一對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

如果a〉0且aWl,粉0,N>0,那么，

(1)ioga(M)=￡iiogJ/~l~iogW

(3)10ga"=?〃10ga〃(〃GR).

知識點(diǎn)二換底公式

(1)對數(shù)的換底公式：/log/=；°g”(a>0且a—1；c>0且c#l；b>0).

logca

(2)三個(gè)較為常用的推論

①園log,?log：。?log°a=l(a>0,6>0,c>0,且均不為1)；

②的log/=y^—(a>0,6〉0,且均不為1)；

logta

③log麗6=悌/log/Ha〉。，b>0,且均不為1,〃W0).

【新知拓展】

(1)推廣：\oga{NiNi---Nk)=logJW+logJ^H----Flogj\i(y\i>0,"GN*).

(2)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)的基本方法：利用對數(shù)的定義將對數(shù)問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題，再利用

累的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，然后把它還原為對數(shù)問題.

(3)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的實(shí)質(zhì)就是把積、商、募的對數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘運(yùn)算,

使用時(shí)要注意公式的適用條件.

(4)只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時(shí)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)才能成立，注意下列式子不成

,z,zM10ga#?.?

AL：log式惻=logJ/?log/loga(〃土加=logj/±l0gsMlog于=]ogylogj/=Qoga勵(lì).

(5)逆向運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以將幾個(gè)對數(shù)式化為一個(gè)對數(shù)式，有利于化簡，如：1g

5+lg2=lg10=1.

1.判一判（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

⑴兩個(gè)正數(shù)的積、商的對數(shù)可以化為它們對數(shù)的和、差.（）

（2）loga（x。=logaX?loga、（）

(3)log2(-5)2=21og2(—5).()

(4)由換底公式可得log/=髻仁如.()

log(—2)a

答案⑴J(2)X(3)X(4)X

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)log325—log35=.

(2)1g8+lg53=.

(3)若1g5=a,1g7=b,用a,6表示log75=.

答案(1)log35(2)3⑶=

b

題型一對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

例1若公0,且aWl,x>p>0,〃金N*,則下列各式：

①10gaX?10ga7=10ga(x+力；

②10gaX-10gJ=10ga(x-7)；

lOgaXX

③10ga(x力=10gaX?10gaP；④;;

⑤(10ga/=10gaV；⑥10ga￡=-10g(；

@^^二iog%⑧iog，，f^

其中式子成立的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

［解析］對于①，取x=4,y=2,a=2,貝!!log24?log22=2Xl=2,而log2(4+2)=

log26W2,.\logaX。1€^^=1082(入十力不成立；

對于②，取x=8,y=4,a=2,則log28—log24=lWlog2(8—4)=2,loga^r—logay=

loga(x一力不成立；

對于③，取x=4,y=2,a=2,則log2(4X2)=log28=3,ffi］log24?log22=2X1=2^3,

??.10ga(x7)=10gaX?loga7不成立；

-cLL」Og244lOgaXx_^n.

對于④，取X=4,y=2,a=2,則^----=2^1og2-=L------=loga-不成乂；

log222logayy

對于⑤，取x=4,a=2,77=3,貝U(log24)3=8Wlog243=6,

，（loga必”=10ga4不成立;

-1-1

⑥成立，由于一log〕=-loga^=loga(jr)T=logaX；

1

⑦成立，由于10ga《G=10gaX=310gaX；

⑧成立，由于log“H=log(g)T=-log，］-

［答案］A

例2化簡：(l)41g2+31g5一1g±

o

/c、lg如+lg8—31g①

⑵1g1.2;

32

(3)21og2—logs—+log8—510853；

3y3

⑷log2-V8+4J3+logz^S^Js.

240

X0^

［解］(1)原式=lg11g10—4.

-

5

|(lg3+21g2-1)3

=1g3+21g2-1=2,

(3)J^^=21og32-(log332-log39)+31og32-3=51og32-(51og32-2)-3=-l.

(4)原式=log2(，8+4(?78—4小)=log24=2.

金版點(diǎn)睛

對數(shù)式化簡與求值的原則和方法

（1）基本原則

對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡，取決于問

題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.

（2）兩種常用的方法

①“收”，將同底的兩對數(shù)的和（差）收成積（商）的對數(shù)；

②“拆”，將積（商）的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和（差）.

⑶要注意一些常見的結(jié)論，如lg2+lg5=1,1gi=-lga等.

［跟蹤訓(xùn)練1］計(jì)算:

2

(Dig25+-lg8+lg5Xlg20+(lg2)2；

(2)log535—21og52+log57—log5l.8；

⑶log2、原+log212—；log242-1.

解(1)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+lg5)+(lg2)2=21g10+(lg5+lg2)2=

2+(lg10)2=2+1=3.

9

(2)原式=log(5X7)—2(log7—log3)+log7—log-=log5+log7—21og7+21og3

55555u5555

+log57—21og53+log55=2.

V7X121

3

-23

=log22=—-7.

題型二換底公式的應(yīng)用

例3計(jì)算：(1)(log43+log83)—；

(2)(Iog2125+log425+log85)(log52+log254+logi258).

］g3lg3)lg2lg3lg2lg3.lg2_11_5

［解］(1)原式=lg3+31g2*lg3~2±3~&

⑵解法一：原式=

log25log25V.logsSA

321g5logs4

log25-|-log4log28)1°

2log5125j

log525

21og25log25V2log52310g52)

31og254310g22人log524-21og5531og55j

21og22

3+l+-Jlog25-31og52

131og25,-----=13.

log25

解法二：原式=

1g1251g251g5)Qg21g41g8

1g2+1g4十1g8)［lg5十1g25十1g125

=Qlg521g51g5221g231g2)

一(lg2十21g2十31g2人1g5十21g5十31g5)

_131g531g2

-31g2?1g5

解法三：原式=

32123

(Iog25+log225+log235)(log52+log522+1Og5s2)

=(31og25+log25+^log25j(log52+log52+log52)

3+l+§)log25-31og52

13

=yX3

=13.

金版點(diǎn)睛

換底公式在求值中的應(yīng)用

利用對數(shù)的換底公式能夠?qū)⒉煌椎膶?shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)或同底的對數(shù)，即可

用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來解決對數(shù)的求值問題，同時(shí)要注意換底公式的逆用和變形應(yīng)用.

［跟蹤訓(xùn)練2］計(jì)算：

(1)log23Xlog34Xlog45Xlog56Xlog67Xlog?8；

logs/xlog79

210g2(^/3+^/5—小一乖）.

.??1g31g41g5ig61g71g81g83ig2

解⑴原式=弓1X曰飛><適N><垣行又運(yùn)五*亞丁=適另=斤百萬=3.

題型三對數(shù)式的條件求值問題

6

例4已知logi89=a,18=5,試用a,6表示log3645.

［解］解法一：??T8"=5,.??logi85=6,

又logis9—<3,

?1匚logi84510gl8(9X5)〉ogi89+logi85匹+6

??log3645=logi836=—"=21ogi818—logi89=U

10gl8-

1g9

解法二：Vlogi89=-~~—=5,1g9=alg18,

lgio

同理得1g5=Mg18,

.1g451g(9X5)>g9+lg5

..log364b-lg36—182-21g18-lg9

alg18+Mg18a+b

=21g18—alg18=2一目

18

解法三：：logi89=a,logw2—1—logis2=

??logis2—1a.

??T8‘=5,?,?logi85=b,

.Iogi84510gl89+logi85a+6

=

..log3645=logi836=i+logl822^

a

解法四:Vlogi89=a,18=9.

又18'=5,A45=5X9=18^18a=18a+b.

令log3645=x,貝！J36x=45=18a+\

1818=9eI*

??T8a=9,：A82x=(18ay?18a+b=18ax?isa+b=18ax+a+b.

..z+6目口a-\~b

??2iX—~o,x\Q\by??x—~~z,艮［Jlog3645-74?

2—a2—a

金版點(diǎn)睛

指數(shù)式與對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵

對數(shù)式的證明和對數(shù)式的化簡的基本思路是一致的，就是根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公

式對對數(shù)式化簡，此題巧妙引入輔助量，順利完成指數(shù)與對數(shù)之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

帶有附加條件的代數(shù)式求值問題，需要對已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化，原則是化

為同底的對數(shù)，以便利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).要整體把握對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用指數(shù)式

與對數(shù)式的互化.

［跟蹤訓(xùn)練3］已知a,b,c是不等于1的正數(shù)，且，="=/,-+-+-=0,求abc的

xyz

值.

解解法一：設(shè)己'="=/=方，x=logat,y=logbt,z=logc方，

?」+:+：=彳1?+［1什11==log田+log力+logQ=logt（LZ?C）=0,

xyzlogatlog高logct

abc=/=1,即abc=1.

解法二：Ta,b,。是不等于1的正數(shù)，且d=Zf=/,

lgt1gt1gt

令a=B=c=方>0,'lgaylg6Zlgc

I4I4Ilgalg5lgclga+lg5+lgc

xyzlglglgflgt?

111l

,/-+-+-=0,且lg力WO,

xyz

/.lga+lgZ?+lgc=lg{abc）=0,abc=l.

1.若於0,且aWl,x￡R,yeR,且xy>0,則下列各式不恒成立的是（）

①logaf=21ogaX；②loga?=21oga|x|；③loga（9=1