第1節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和1

第六章數(shù)列

第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第一部分六年高考體題薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010浙江理)(3)設(shè)S“為等比數(shù)列｛2｝的前〃項和，8%+%=0,則邑=

S]

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通過8a2+%=0，設(shè)公比為4,將該式轉(zhuǎn)化為8%+%/=0,解得q=-2,帶入

所求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,

屬中檔題

2.(2010全國卷2理)(4).如果等差數(shù)列｛4｝中，%+4+%=12，那么q+a2+...+a7=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).

[解析】%+%+%=3a4=12,4=4,/.a｝+a,H--F%=Jr)=7%=28

3.(2010遼寧文)(3)設(shè)S“為等比數(shù)列｛2｝的前〃項和，已知3s3=&-2,3s2=q-2,

則公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

解析：選B.兩式相減得，3a3=2一生，?4=4a3,.,.q=—=4.

4.(2010遼寧理)(6)設(shè)｛a,.)是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，5?為其前n項和。已知染④=1,=7,

則s$=

,、15,、31—33,、17

(A)——(B)——(C)—(D)——

2442

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學(xué)們解決問題的能

力。

【解析】由a.=1可得因此弓=1,又因為S3=q(l+q+/)=7,聯(lián)力兩式

q

1114_(1一,)31

有(一+3)(——2)=0,所以q=—，所以$5=-------3―=—,故選B。

qq24

2

5.(2010全國卷2文)⑹如果等差數(shù)列｛4｝中，%+。4+。5=12,那么%+%+*“+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。

..%+&+/=12.%=4%+%+…+%=97*(%+%)=7%=28

?,??

6.(2010安徽文)(5)設(shè)數(shù)列｛”“｝的前n項和S“=”2，則知的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】G=S8-S7=64-49=15.

(方法技巧】直接根據(jù)a,=Sn-S)1(〃>2)即可得出結(jié)論.

7.(2010浙江文)(5)設(shè)s“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，8a2+%=0則區(qū)=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通過8a2+%=o,設(shè)公比為4,將該式轉(zhuǎn)化為8a2+//=0,解得q=-2,帶入

所求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式

8.(2010重慶理)(1)在等比數(shù)列｛%｝中，電。1。=8。2。。7，則公比q的值為

A.2B.3C.4.D.8

【答案】A

解析：—=/=8.-.q=2

a2001

9.（2010廣東理）4.已知｛〃“｝為等比數(shù)列，S是它的前〃項和。若。2,。3=2%，且應(yīng)與

2%的等差中項為;，則$5=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：設(shè)｛〃“｝的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，=2%，即。4=2。由%

與2%的等差中項為1知，“4+2。7=2*1,即%=5（2X1-4）=5（2X7—2）=w.

q，="=g,即q=；.&=a/=%xg=2,EPa,=16.

10.（2010廣東文）

4.已知數(shù)列憶}為等比數(shù)列，名是它的前〃項和.若％q=%且為與

2a.的等差中項為:，則邑=

A.35B.33C.31D.29

:a?"a?=*a^q=2。］=2

e3、5.351q2

=2x——.+4q=——q=一,可=—?-=—：―=16

422q’1

y

,16（1-A）

故：S}=-----4=32（1-上）=32-1=31,選C

l-l32

一9

11.（2010山東理）

（9）設(shè)｛生｝是等比數(shù)列，則"a：<公是數(shù)列｛生｝是遞噌數(shù)列的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件、

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條化

【答案】C

【解析】若已知aja?<a3，則設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q,因為aJazVa?，所以有a^aiquaiq?,解得q>l,

且a-0,所以數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列；反之，若數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列，則公比q>l且a^O,所以

a^a^ajq2.即a]<a2<a3，所以aja?43是數(shù)列｛a1是遞增數(shù)列的充分必要條件.

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識，屬保分題.

12.（2010重慶文）（2）在等差數(shù)列｛4｝中，％+為=10,則%的值為

（A）5（B）6

（C）8（D）10

【答案】A

解析：由角標(biāo)性質(zhì)得％+%=2%，所以%=5

二、填空題

1.（2010遼寧文）（14）設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前“項和，若S3=3,56=24,則

S3=3qH----d—3

2，解得%=-1

解析：填15.，/.%=q+8d=15.

56=61+殍1=24d=2

2.（2010福建理）11.在等比數(shù)列｛aj中，若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的

通項公式a“=

【答案】4n-'

【解析】由題意知％+4q+16q=21,解得％=1,所以通項%=4"二

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

3.（2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2（x>0）的圖像在點（&,城）處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為k

為正整數(shù)，a?=16,則ai+as+a^

解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。

在點（a,a力處的切線方程為：？一%，=2%5-&）,當(dāng)丁=0時，解得》=今

所以4+i=*,%+。3+。5=16+4+1=21。

三、解答題

1.（2010上海文）21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個

小題滿分8分。

已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S”=〃—5a,-85,nwN”

（1）證明：｛a“一1｝是等比數(shù)歹U；

（2）求數(shù)列｛SJ的通項公式，并求出使得>S”成立的最小正整數(shù)〃.

解析：⑴當(dāng)時，a=—14；當(dāng)〃22時，a,尸SLS_I=—5a“+5a,i_i+l,所以a“-1=*(《,_]-1),

6

又團(tuán)-1=-15關(guān)0,所以數(shù)列｛a,T｝是等比數(shù)列;

n-1

(2)由⑴知：an-l=-15-^,得見=1-15?弓)I,從而

S“=75(3+n-90(/TEN*)；

由SGS”得⑶<-,?>log,—+1=14.9,最小正整數(shù)ml5.

2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分）

已知｛a,,｝是公差不為零的等差數(shù)列，&=1,且d,as,辦成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項；（H）求數(shù)列｛2巧的前。項和S.

解（I）由題設(shè)知公差拄0,

山&=1,研，a,晶成等比數(shù)列得匕2=匕留，

11+24

解得仁1,d=。（舍去），故｛4｝的通項8=1+（/?-1）X\=n.

（II）lU（I）知2,—二2〃，由等比數(shù)列前n項和公式

SM=2+22+2：'+…+2三20—2)-2田-2.

1-2

3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）

已知｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

4+。2=2(---1---),%+。4+。5=64(—I----1—)

a\a2“3a4a5

(I)求｛4｝的通項公式;

(n)設(shè)打=&+—)2,求數(shù)歹ij也,｝的前〃項和7；o

a?

【解析】本題考查了數(shù)列通項、前九項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。

(1)設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于.與“的方程求得《與"，可求得數(shù)列的通項公式。

(2)由(1)中求得數(shù)列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分

成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。

4.(2010江西理)22.(本小題滿分14分)

證明以下命題：

(1)對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c),使得b2,成等差數(shù)列。

(2)存在無窮多個互不相似的三角形△),，其邊長6，b?,%為正整數(shù)且a；,c,,2

成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

(1)考慮到結(jié)構(gòu)要證=2/,；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值『,52,72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整

數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角

形，再證明互不相似，且無窮。

證明:當(dāng)個，%q：成等差數(shù)列，則

分解得：依+)依-an)=(c,+bn)(cn-b“)

選取關(guān)于n的一個多項式，4〃(〃2一1)做兩種途徑的分解

4〃(〃2-1)=(2/2-2)(2〃2+2n)=(2/-2〃)(2〃+2)4n(n2-1)

an=-2〃-1

2

對比目標(biāo)式，構(gòu)造（bn=n+\（H>4）,山第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

%="2+2〃-1

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正.整數(shù)m,n,若△m,△n相似：則三邊對應(yīng)成比例

m2-2m-1_+1_機(jī)？+2m-1

n2-2n-\n2+1n2+2^-1

由比例的性質(zhì)得：'二!■="土1=>機(jī)=〃，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

n-\〃+1

5.（2010安徽文）（21）（本小題滿分13分）

設(shè)￡,。2,…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線

y=j-x相切，對每一個正整數(shù)〃，圓G都與圓C,l+I相互

外切，以/；,表示C“的半徑，已知｛/｝為遞增數(shù)列.

（I）證明：為等比數(shù)列；

（H）設(shè)6=1,求數(shù)列｛-｝的前〃項和.

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括

能力以及推理論證能力.

【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為（4,0）,得4=27同理得

4+1=2乙用，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即匕,｝中《用

與乙的關(guān)系，證明化,｝為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項公式，代入數(shù)列上n,

然后用錯位相減法求和.

解：⑴將直線y=@x的傾斜角記為，則有tan外也,sin?！?，

332

設(shè)G的圓心為（4，0），則由題意得知?=L得4=2%;同理

42

=2rn+l,從而4+]=4+r0+rn+1=2rn+1,將4=2%代入,

解得1=39

故卜n|為公比q=3的等比數(shù)列。

（II）由于七=1,q=3,故rn=3"T,從而R=n*3i,

rn

記Sn=1---F+-,則有

nr,r?

-1-21-

Sn=1+2*3+3*3+……n*3"

S

胃=1*3-1+2*3-2+…+（〃—1）*3一，+〃*3-"

①-②，得

2S

。=1+37+3-2+...+3~-〃*3-"

3

3

..S=四22

"4224

【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)

于數(shù)列相鄰項4與%+i之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通

項公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成

的數(shù)列時，通常是利用前n項和S“乘以公比，然后錯位相減解決.

6.（2010重慶文）（16）（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分.）

已知｛%｝是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，S“為｛《｝的前〃項和.

（I）求通項及S,；

（II）設(shè)是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列｛a｝的通項公式及其前〃

項和卻

解：(I)因為I?！故鞘醉棡榕c=種,公差d=-2的等差數(shù)列.

所以冊=19-2(。-1)=-2“+21,

S、=I9n+”5]■?(-2)=-a*+20n.

(H)由題意A=3-',所以b.=3-'-2n+21.

T.=S.+(1+3?-+3-')

=-n1+20n+3；1.

7.（2010浙江文）（19）（本題滿分14分）設(shè)a”d為實數(shù)，首項為a”公差為d的等差數(shù)

列瓜｝的前n項和為S?,滿足S5s6+15=0。

(I)若Ss=5,求56及出；

（II）求d的取.值范圍。

<I>解:Hi用泌.&iS.=?-3.

?*-Sy-

所以「id』

解犯。,?7.

所以S.=-3.a,=7.

《II)解：因為S,S,?IS?O,

質(zhì)KUS%?IW)(64(?I5J)?15=°.

,

3i2(i1?9<4>t?UM'-I-0.

校2%S.

所以丁>&

故4例取值也用力dW-2萬園43區(qū).

8.（2010北京文）（16）（本小題共13分）

已知|為|為等差數(shù)列，且％=-6，4=0。

（I）求|a,|的通項公式;

（II）若等差數(shù)列||滿足年=一8,%=%+%+%，求也,I的前n項和公式

解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d。

因為%=-6,40

16f,+2d=-6

所以《?解得力=—10,d=2

[q+5d=01

所以%=-10+（〃—l>2=2〃—12

（ID設(shè)等比數(shù)列也,｝的公比為q

因為％=〃]+。2+%=—24/=-8

所以一的二一24即q二3

所以｛b?]的前〃項和公式為Sn=型二g=4（1-3"）

1-q

9.（2010四川理）（21）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛&｝滿足&=0,&=2,且對任意以、都有

陽—1I3.2/1—12Hm+n—lI2（加71）~

（I）求55；

（II）設(shè)4=甌+L&1（〃=V）,證明：｛（是等差數(shù)列;

（IH）設(shè)?！?（4+】一&）/（gWO,neN）,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項和S.

本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決

問題的能力.

解：（1）由題意，零〃=2,可得色=2/一句+2=6

再令勿=3,〃=1,可得法=2&-a+8=20........................2分

⑵當(dāng)〃金N*時，由已知（以〃+2代替血可得

52/1+34-32n-\~2a?n+1+8

于是[4S+D+1-―（例〃+1-O2n~\）—8

即bn+1一必=8

所以偽才是公差為8的等差數(shù)列.....................................5分

（3）由（1）（2）解答可知｛4｝是首項為5=&-&=6,公差為8的等差數(shù)列

==

則bf）8n—2,即32fLi—32H-i8/1—2

另由已知（令加=1）可得

2

那么an+La尸“2”+|+〃2〃-1—2/7+1

=2〃

]

于是cn=2n(f~.

當(dāng)(z=l時，S=2+4+6+.......+2〃=〃(〃+1)

當(dāng)qWl時，S=2?q+4?，+6?q++2/7?q~｛.

兩邊同乘以s可得

qS?—2?d+4?q+6?q++2/7?Q.

上述兩式相減得

(1-g)S=2(1+q+q++^；1)—2nq

—z?---------Inq

"q

_2/一(〃+1)/+的向

i-q

所以s,=2?"“—(〃+y+i

(q-1)?

n(n+l)｛q=1)

綜上所述，〃/川_(〃+1)/+1.........................................12分

__(TIP(")

10.(2010全國卷1理)(22)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知數(shù)列｛““｝中，=l,a?+,=c-—.

an

(i)設(shè)c=2也=一^,求數(shù)列也,｝的通項公式；

2ci?—2

（II）求使不等式見<出<3成立的c、的取值范圍.

分析：本小題主要考查數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查或

析、歸納、探究和推理論證問題的能力，在解題過程中也滲透了對函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查

第（口）小題難度較大，學(xué)生不易得分。

解:⑴由已知有”2吊±2=爰,.?.+=含=號+2f=4V2』+.她+§

717119

.?.｛4+三｝是一個首項為-匕公比為4的等比數(shù)列.2+±=-L4*T即勾=-匕4”-1-4

333333

（口）由的=1,。2=。一工:得C>2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c>2時，％<見書

%

（1）當(dāng)71=1,時，%=C------>的,命題成立；

%

（2）假設(shè)〃=上時，ak<ak^,那么當(dāng)〃=幺+1時，。無+2=。一一->c--=ak^.

出封ak

由(1).(2)可知當(dāng)c>2時，an<a^

c+yjc2-411_

當(dāng)時，令

c>20：=---------，由&+—<%+i+一=c,^an<a.

2%%

當(dāng)2<c?吧時，a?<a<3.

3

當(dāng)c吟時,"3,且14…,.?3表33扣一)即“融-1),

a—1

而當(dāng)力>log3----時，2一氏44<。一3,%7>3.不滿足題意故舍去。

a-3

綜上C的取值范圍為

11.（2010山東理）（18）（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛6,｝滿足：%=7，%+%=26,｛凡｝的前〃項和為S”.

（I）求4及S“；

（II）令b,r—^—（neN,）,求數(shù)列也｝的前n項和7；.

%T

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,因為%=7,%+%=26,所以有

4+2d=7

解得％=3,d=2,

2%+10d=26

n^n-^x2=n2+2n

所以%=3+2(1戶2n+l；S“=3n+

2

1_1J_1

(II)由(I)知a“=2n+l,所以b,p—?(------)

o?2-r(2n+l)2-l4n(n+l)4nn+1

所以T+--L)=l.(i--L)=n

"4223nn+14n+14(n+l)

即數(shù)列也,｝的前〃項和7；=需不

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟

練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。

2009年高考題

一、選擇題

1.（2009年廣東卷文）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為正數(shù)，且的?他=2%2，%=1，則%=

1/y

A.—B.---C.I）.2

22

【答案】B

【解析】設(shè)公比為外由已知得％如.6/=2（%/『，即“2=2,又因為等比數(shù)列｛%｝的公

比為正數(shù)，所以q=血，故q="=—尸=——，選B

-7V22

2.（2009安徽卷文）已知為等差數(shù)列，■+■+,=10工叫+■+■=*,則一等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】ai+a3+a5=105即3a3=105a｝=35同理可得a,=33公差d=a4—a）=—2/.

?20=a4+（20-4）xrf=l.^Bo

【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列｛6,｝的前〃項和為S”.若4是%與%的等比中

項，S8=32,則號0等于

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由<Z4-a3ai得(q+34)2=(q+2d)(%+6d)得2q+3d=0,再由

S8=8^+yJ=32得24+7d=8貝ijd=2,a,=-3,所以

90

A。=104+51=6(),.故選C

4.(2009湖南卷文)設(shè)S〃是等差數(shù)列｛4｝的前n項和，已知々=3,R="，則邑等于

()

A.13B.35C.49D.63

【解析】S產(chǎn)出等=曰=*=49.故選C.

出=q+d=34=1

或由<a7=1+6x2=13.

4=q+5d=11d=2

所以附誓必笑―故選C.

5.（2009福建卷理）等差數(shù)列｛4｝的前n項和為S,,且S3=6,4=4,則公差d等于

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］:$3=6=5（。|+%）且。3=〃i+2d〃］=4d=2.故選C

6.（2009遼寧卷文）已知｛%｝為等差數(shù)列，且%—2%=—1,%=°，則公差d=

A.—2B.——C.—D.2

22

【解析】ai—2a.i=aa+4d—2聞+（1）=2d=—1=>d=——

2

【答案】B

7.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛冊｝的公差不為零，首項為=1,%是卬和肉的等比中

項，則數(shù)列的前10項之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】設(shè)公差為d,則（l+d>=l（l+4d）.Yd#0,解得d=2,二a。=100

8.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列｛凡｝的前n項和為S“，已知4i+%,+1—%=0,

52"1=38,則加=

A.38B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】因為｛。"｝是等差數(shù)列，所以，am_｛+am+l=1am,由+勺+1-晨=0，得：2怎,

一見「=0,所以，。,“=2,又邑時|=38,即（2〃2T）（；迦-J=38,即（2m-l）X2

=38,解得m=10,故選.C。

9..（2009重慶卷文）設(shè)｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，%=2且成等比數(shù)列，則

｛q,｝的前〃項和5〃=（）

人/Inn25n八n23〃、2

A.---1---B.---1---C.---1---D.n~+n

443324

【答案】A

【解析】設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d,則根據(jù)題意得（2+2d）2=2-（2+5d）,解得d=g或

d=0（舍去），所以數(shù)列｛4｝的前〃項和S0=2〃+迎二=

二、填空題

10.（2009全國卷I理）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，若Sg=72,則％+%+%=_

答案24

解析???｛q,｝是等差數(shù)列，由59=72,得.?.$9=9%,%=8

/.生+%+%=（a2+%）+%=（%+a6）+〃4=3%=24.

11.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比q=J,前〃項和為S,,,則&=__________.

2a4

答案：15

解析對于=-^-~—,?4—=~j~--=15

1-q&

12.（2009北京文）若數(shù)列｛凡｝滿足：q=l,a“+[=2a“（〃eN*）,則％=；

前8項的和$8=.（用數(shù)字作答）

答案225

解析本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算

的考查.

a｝=l,a2=2a｝=2,a3=2a24,a4=2a｝=8,a5=2<74=16,

28-1

易知Sg=-----=255，,應(yīng)填255.

82-1

13.(2009全國卷H文)設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前n項和為s“。若％=1,56=4s3，則％=___3

答案：3

3

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由q=1,56=4s3得qJ3故a,,=a,q=3

q

14.(2009全國卷n理)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若。5=5%貝IJ'=__________

S5

解析???｛〃“｝為等差數(shù)列，???也=絲=9

S55%

答案9

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S〃，且6s5-5§3=5,則。4=

解析VS=nai+-n(n—l)d

n2

/.S5=5ai+10d,S3=3a1+3d

.,.6S,5-5S3=30ai+60d-(15a1+15d)=15ai+45d=15(ai+3d)=15a1

答案I

三、解答題

16.(2009浙江文)設(shè)"為數(shù)列｛凡｝的前〃項和，S“=h?+〃，〃eN*,其中攵是常數(shù).

(I)求力及%;

(II)若對于任意的加cN*,ain,a2m,〃成等比數(shù)列，求攵的值.

解(I)當(dāng)〃=1,4=S]=k+l,

12

n>2,Q〃=Sn-Sn_｝=kn+n-[k(n-I)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

經(jīng)驗，n=1,(*)式成立，/.an-2kn

(II)成等比數(shù)列，。2/="4,"'

即（4女加_/+1）2=（2&加_k+1）（8&也_%+]）,整理得:〃洪（左一1）=0,

對任意的meN*成立，/.k-O^k=1

17.(2009北京文)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項公式為4=p〃+q(〃eN*,P>0).數(shù)列出｝定義

如下：對于正整數(shù)m,幻是使得不等式a?>m成立的所有n中的最小值.

(I)若"=；,《=一；，求4；

(II)若p=2,q=-1,求數(shù)列他」的前2必項和公式；

(III)是否存在0和g,使得〃“=3機(jī)+2(〃zeN*)?如果存在，求0和g的取值范圍；如

果不存在，請說明理由.

【解析】木題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.

解(I)由題意，得/解得〃2型.

"23233

>3成立的所有n中的最小整數(shù)為7,即4=7.

233

(II)由題意，得?！ǘ?〃-1,

rn+1

對于正整數(shù)，]llan>m,得“2竺

根據(jù)篇的定義可知

當(dāng)〃z=2左一1時，b“,=k(kGN*)；當(dāng)"1=2人時b,“=k+l(k€N*).

4+a+…+〃2,“=(■+優(yōu)+…+〃2,“-1)+(%+。4+，-+%,")

=(l+2+3+---+m)+[2+3+4+---+(/72+l)]

+m(m+3),

=-----4-------=nr+2nl.

22

(III)假設(shè)存在。和g滿足條件，由不等式+及p>0得二9.

P

Vbm=3m+2(meN*),根據(jù)粼的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有

3m+1<<36+2,即一2p—q<(3p—1)加<-p—q對任意的正整數(shù)而都成立.

P

當(dāng)3p—l>0(或3p-l<0)時，得機(jī)<一公義(或mW-女士幺),

3p-l3p-1

這與上述結(jié)論矛盾！

12121

當(dāng)3〃一1=0,即〃=—時，得----q<0<----q,解得—<q<——.

33333

工存在p和q,使得〃“=3m+2(/7?wN")；

121

夕和。的取值范圍分別是p=§,

18.(2009山東卷文)等比數(shù)列｛｝的前n項和為S〃，已知對任意的neN+，點(%S〃),

均在函數(shù)y="+r3>0且bH1也r均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值；

>7+1

(11)當(dāng)b=2時，記b.=——(〃eN+)求數(shù)列也,｝的前〃項和7；

44

解:因為對任意的〃€N+,點(〃,SJ,均在函數(shù)y=廳'+rg〉0且bH\,b,r均為常數(shù))的圖

像上.所以得S“=6"+r,

當(dāng)〃=1時，q=S]=b+r,

當(dāng)”22時，an=Sn-S,i=。"+「-+r)=b"—h'-'=(b-l)b"-',

又因為｛4｝為等比數(shù)列，所以r=—l,公比為所以a“=3—l)b"T

〃+1〃+1〃+1

(2)當(dāng)b=2時,a=(b-l)b"~'=2'"',b=

nn4a,,4x2"-'2n+1

234〃+1

則C+尹+.+…+——7-

2"+i

234n〃+l

??H-----+

域+牙+尹+?2"+,2"+2

相減，得;7；=京+■+1n+1

+2”+i2"2

1/(尸)n+1_31n+1

-+

21」42n+,2"+2

2

31〃+13〃+3

所以7；

22n2"+'22H+I

【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項公式,以及已知S“求。”的基本題型，并

運(yùn)用錯位相減法求出等比數(shù)列與噂差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前八項和T”.

19.(2009全國卷H文)已知等差數(shù)歹!)｛%｝中，%的=-16,%+。6=°，求｛見「前n項

和力?

解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。

解：設(shè)｛《,｝的公差為d,則

(q+2d)(q+6")=-16

<

%+3d+q+5d=0

自2+8加+12,=-16

即4

q=-4〃

a,=-8,3[a.=8

解得41或「

d=2,d=-2

因此S〃=-8n4-n(H-l)=H(H-9),或S“=8H-/I(M-1)=-A?(H-9)

20.(2009安徽卷文)已知數(shù)列｛.｝的前n項和4="+切，數(shù)列占｝的前n項和

4=2f

(I)求數(shù)列｛■｝與｛4｝的通項公式；

(II)設(shè)證明：當(dāng)且僅當(dāng)n23時，‘?】<7

【思路】由“=(，，=1)可求出和我，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在

ls“-s“T(〃22)

求出明和〃，后，進(jìn)而得到c“，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

【解析】(D由于q=訪=4

2

當(dāng)”22時，an-sn-5?_1=(2”2+2n)-[2(n-l)+2(〃-1)]=4〃/.am-4n(/ieN*)

又當(dāng)x2〃時勿=7；-%-(2-6“,)-(22b,,=如

數(shù)列也,｝項與等比數(shù)歹打其首項為1,公比為;.也=(g)i

°16(〃+1)2人)”

(力+1)2

⑵由⑴知。=4；丸=16〃2.5+1_2

2n2

由J±L<1得(〃+1)<1即〃2-2〃_1>0.?.〃>1+也即”23

C.2〃

又“23時魚半<1成立,即9迎<1由于C,,>0恒成立.

2/G

因此，當(dāng)且僅當(dāng)〃23時，C?+I<C.

21.（2009江西卷文）數(shù)列｛6｝的通項%=〃2（cos2早-sinz票），其前〃項和為5“.

⑴求5“；

⑵bn=斗,求數(shù)列｛b?｝的前n項和Tn.

n'4'

/八T2n兀-2〃兀2n兀j,

解：（1）由于cos----sin--=cos----，故

333

S3k=(q+4+%)+(&+%+“6)+…+(%*-2+a3k-\+a3k)

=(一苧+32)+(一胃+62)+…左詈出+的))

1331儂一51(9吠+4)

一+一++---------

2222

k(4—%)

S3A-I=S3k-a3k

2

C0燈4一9%),(3%-Ip13k-21

=-^+不-=丁=-丁-]

n1

n=3k—2

—3—1

(〃+l)(l-3〃)

n-3k-\(kwN*)

6

n(3n4-4)

n—3k

6，

9/z+4

2-4"

丁113229/z+4

Trf+不+一二]n，

包,=加+,+…+巖,

兩式相減得

9_2

1_999n+4、1-c44"9〃+4、19n

3T,=-[ri13d--1-…H---：-------]=-[13H-----------]—8o—；------

"244"T4"2.14"22"~322,,+,

1-----

4

物T=8__1_____3?_

“乂3322"-322,,+|,

22.（2009天津卷文）已知等差數(shù)列｛%｝的公差d不為0,設(shè)S“=%+%4+…+