考點(diǎn)50正態(tài)分布【理】（解析版）

【2022版】典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式

考點(diǎn)50正態(tài)分布

【考綱要求】

利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【命題規(guī)律】

在選擇題、填空題考查較多，屬容易題，分值5分，在解答題中結(jié)合其他知識(shí)考查屬中

等題.

【典型高考試題變式】

正態(tài)分布

例1.【2017課標(biāo)1,理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該

生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為

這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)

之外的零件數(shù)，求尸(X21)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之外的零件，就認(rèn)為這

條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

10.10.10.

9.959.969.969.929.98

120104

10.10.10.10.10.

9.919.229.95

2613020405

116/116/116

經(jīng)計(jì)算得元=記號(hào)%=9.97,”幫…—(gx,2-16x2)2?0.212,

其中x,為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1,2,…,16.

用樣本平均數(shù)工作為〃的估計(jì)值。，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值6,利用估計(jì)值

判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(。-3d,A+33)之外的數(shù)據(jù)，用剩下

的數(shù)據(jù)估計(jì)〃和b(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(〃,4),則P(〃—3b<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592，V0.008?0.09.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件的尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之內(nèi)的概率為

0.9974,則零件的尺寸在(〃一3b,〃+3(T)之外的概率為0.0026,而X~8(l6,0.0026),

進(jìn)而可以求出X的數(shù)學(xué)期望.(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一

天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之外的零件的概率大還是小，若小

即合理；(ii)根據(jù)題設(shè)條件算出〃的估計(jì)值和o?的估計(jì)值，易邨余(。-33,。+33)之外的

數(shù)據(jù)9.22,算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為〃的估計(jì)值，剔除(。一33,2+36)之外的數(shù)據(jù)

9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為。的估計(jì)值.

試題解析：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(〃一3b,〃+3b)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零

件的尺寸在(〃一3b,〃+3cr)之外的概率為0.0026,故乂~3(16,0.0026).

因止匕P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為

EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(〃一3b,〃+3b)之外的概率只有0.0026,

一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(〃一3cr,〃+3b)之外的零件的概率只有0.0408,

發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可

能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,sa0.212,得〃的估計(jì)值為衣=9.97,。的估計(jì)值為3=0.212,由樣

本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(&-3d,A+33)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行

檢查.

剔除3-36,4+33)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

p(16x9.97-9.22)=10.02,因此〃的估計(jì)值為10.02.

16

X,2=16x0.2122+16x9.972?1591.134,剔除(2—33,。+33)之外的數(shù)據(jù)9.22,

;=1

剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為'(1591.134-9.22z-15x10.022)^0.008,因此。的估計(jì)值為

,0.008=0.09.

【考點(diǎn)】正態(tài)分布，隨機(jī)變量的期望和方差.

【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水

平.求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí)，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散

型隨機(jī)變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率，列出

對(duì)應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正

態(tài)分布的3b原則.

【變式1：改變條件】某種品牌攝像頭的使用壽命。(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用

壽命不少于2年的概率為0.8,使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時(shí)安

裝了兩個(gè)該種品牌的攝像頭，則在4年內(nèi)這兩個(gè)攝像頭都能正常工作的概率為.

【答案】-

4

【解析】由題意知尸(全2)=0.8,P(26)=0.2,所以P(CV2)=P《>6)=0.2.

所以正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，=4.即P(交4)=；,即每個(gè)攝像頭在4年內(nèi)都能正常工

作的概率為今

所以兩個(gè)該品牌的攝像頭在4年內(nèi)都能正常工作的概率為aX；=；.

【變式2：改編條件】某食品店為了了解氣溫對(duì)銷售量的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份

中5天的日銷售量y(單位：千克)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：°C)的數(shù)據(jù)，如下表:

X258911

y1210887

(1)求出y與x的回歸方程$=+

(2)判斷y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地1月份某天的最低氣溫為6C,請(qǐng)

用所求回歸方程預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的銷售量；

(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X?N(4，/),其中〃近似為樣本平均數(shù)亍，o-2

近似為樣本方差S2,求P(3.8<X<13.4).

人人7x.y.-rixy人

附：①回歸方程9=法+力中，b=乙1———一，a=y-hx.

(2)V10?3.2,>/32?1.8,若X?NJ,。?)，則P(〃一。<X<〃+cr)=0.6826,

P(〃-2b<X<〃+2b)=0.9544.

1"351”45

【解析】(1)因?yàn)榱睢?5,x=-Yx,.=—=7,'=-￡)，,=上=9,

5?M5

所以2(%—呵=287—5x7x9=—28,-n(%)2=295-5x72=50

1=1

A-28

所以。=—=—0.56

50

所以6=夕一％=9—(—0.56)x7=12.92(或者?：裝)

所以所求的回歸方程是9=-0.56x+12.92

(2)由刃=-0.56<0知y與x之間是負(fù)相關(guān),

將x=6代入回歸方程可預(yù)測(cè)該店當(dāng)11的銷售量夕=-0.56x+12.92=9.56(千克)(或者

239

------).

25

(3)由(1)知〃=5=7,

乂由cr2=s2=，(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2=10得cr=3.2

從而

P(3.8<X<13.4)二尸(〃一b<X<〃+2cr)=P(〃一b<X<〃)+<X<〃+2cr)

(〃-b<X<〃+b)+gp(〃-2b<X<〃+2b)=0.8185.

【變式3：改編條件和結(jié)論】(2022全國?高三月考(理))為普及傳染病防治知識(shí)，增

強(qiáng)學(xué)生的疾病防范意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，校委會(huì)在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病

及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽(滿分100分)，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在［70,80)內(nèi)的學(xué)生

獲三等獎(jiǎng)，得分在［80,90)內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在［90,100］內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其它學(xué)

生不得獎(jiǎng).教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，

并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表.

競(jìng)賽成績(jī)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)61218341686

(1)從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概

率；

(2)若該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N(64,225),利用所得正態(tài)分

布模型解決以下問題：

①若該校共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中超過79分的學(xué)生人數(shù)(結(jié)

果四舍五入到整數(shù))；

②若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生人數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其

中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的學(xué)生人數(shù)為J,求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則P(〃-b<XM〃+b)x0.6827,

尸(〃一2<T<X4〃+2o?卜0.9545,P(〃-3cr<X<^+3cr)?0.9973.

【答案】(1)葛14；(2)①1587；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.

【分析】(1)由題得共30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，再利用古典概型的概率公式求解；

(2)①該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N(64,225),利用正態(tài)分布求解；

②隨機(jī)變量&?B（4,再利用二項(xiàng)分布寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望得解.

【解析】解：（1）由樣本頻率分布表可知，樣本中獲一等獎(jiǎng)的6人，獲二等獎(jiǎng)的8人，

獲三等獎(jiǎng)的16人，共30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，

故從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率P

cioo33

（2）該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N（64,225）,

①:|1+0=79,

1-0.6827

：.P(X>79)=0.15865,

2

???估計(jì)參賽學(xué)生中超過79分的學(xué)生人數(shù)為0.15865x10000-1587.

②?.舉=々，.?./>（X>64）=1,即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競(jìng)賽成

績(jī)?cè)?4分以上的概率為3，??.隨機(jī)變量匕?8（4,3），

P9=k）=&（；>（；嚴(yán)（仁0,1,2,3,4）,

所以？（&=0）=c：g）°（；）4=A，2（<=D=c：（gy（g）3=；,

P?=2)=*)2(景=|,Pg)=C：(1)3(i)'=l,P(§=4)=C：(1)4(1)°=^,

.?比的分布列為：

001234

1￡3I

P

16484記

故E?)=4x-=2.

2

【數(shù)學(xué)思想】

①數(shù)形結(jié)合思想.

②轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【溫馨提示】

①曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關(guān)于直線x="對(duì)稱，從而在關(guān)于x=“對(duì)稱的區(qū)

間上概率相同.

@P（X<a）-1-P（X>a）,P（X$一a）=尸（如+a）.

【典例試題演練】

一、單選題

1.（2022四川?高三期中（理））已知隨機(jī)變量且P（X＜（））=P（XNa）,

則（X2+62）P--T的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.25B.-25D.—5

【答案】B

【分析】先由正態(tài)分布的概率情況求出。=2,然后由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式可

得答案

【解析】由隨機(jī)變量X~N（1,〃），且尸（X＜0）=P（X2a）,則。=2,

的展開式的通項(xiàng)公式為:

6,62r

7；+1=C^-|--j=（-iyC；x-,O<r<6,re7V,令6-2r=-2,解得r=4,令

6-2r=0,解得r=3,所以（丁+2）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：

魂-2戲=-25,故選B.

2.（2022吉林?長(zhǎng)春外國語學(xué)校高三期中（理））已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變

量在區(qū)間b,〃+cr）,（M-2b,〃+2＜T）和（〃-3cr，M+3cr）內(nèi)取值的概率分別為68.3%,

95.4%和99.7%.某校為高一年級(jí)1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高

（單位：cm）服從正態(tài)分布N（165,52）,則適合身高在155-175cm范圍內(nèi)的校服大約要定

制（）

A.683套B.954套C.972套D.997套

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布可得身高在155~175cm范圍內(nèi)的概率為95.4%,即可求出答案.

【解析】因?yàn)閷W(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布N（165,5z）,

所以身高在155T75cm范圍內(nèi)即在（〃一2cr,〃+2b）內(nèi)取值，概率為95.4%,

所以身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制1000x95.4%=954套.

故選B.

3.（2022山東?安丘市普通教育教學(xué)研究室高三月考）設(shè)隨機(jī)變量€服從正態(tài)分布

N（3,4）,若產(chǎn)《＜2?！?）=尸代＞。+2）,則。的值為（）

74

A.-B.—C.3D.5

33

【答案】A

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，即得解

【解析】由題意，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，得2a-3：。+2=3.a故選人.

23

4.(2022河南?高三月考(理))已知隨機(jī)變量X,Y,Z滿足X~N(3,，)，Y?N(l,〃),

Z=K1,且尸(X>4)=0.1,則「(Al)的值為()

A.0.1B.0.2

C.0.8D.0.9

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件可得隨機(jī)變量X和y所對(duì)的正態(tài)密度曲線的形狀相同，進(jìn)而得

出產(chǎn)&>2)=P(X>4),再求出尸(z>i)即可計(jì)算作答.

【解析】因隨機(jī)變量X,y滿足X?M3,4),Y?N(l,a2),則隨機(jī)變量X和y所對(duì)

的正態(tài)密度曲線的形狀相同，它們的對(duì)稱軸分別為％=3和x=l,

因此，p(y>2)=p(x>4)=o.i,而2=匕1,則p(z>i)=p(y-i>i)=p(y>2)=o.i,

于是得P(Z2<1)=尸(-1<Z<1)=1-0.1X2=0.8,所以「(/〈I)的值為0.8.故選C.

5.(2022江蘇?南京市中華中學(xué)高三月考)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Ma，4)且

P(x>2)=0.5,則實(shí)數(shù)〃=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】利用概率之和為1和正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求解.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4),所以曲線關(guān)于x="對(duì)稱，且

P[x>a)=0.5,由t(x>2)=0.5,可知a=2.故選C.

6.(2022山東.廣饒一中高三月考)設(shè)隨機(jī)變量J~N(0,l),已知①(-1.96)=0.025,則

P(陽<1.96)=()

A.0.95B.0.05C.0.975D.0.425

【答案】A

【分析】g服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得其概率.

【解析】P{|<|<1.96)=2[1-<-1.96)]=2(1-0.025)=0.950.

故選A.

7.(2022河北邢臺(tái)?高三月考)已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(3,4),若

P(J>2c+l)=PC<2c-l),則。的值為(〉

A.-B.2C.1D.工

?2

【答案】A

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求得C的值.

【解析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，（2c+l）-3=3-（2c-l）,得c=；3.

故選A.

8.（2022河北滄州?高三月考）某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高X（單位：

cm）的情況，得出X~N（100/02）,隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在（110,120）（單位：cm）

范圍內(nèi)的概率為（）

（附：若隨機(jī)變量，則尸<〃+b）=0.6826,

P（〃-2b<X<〃+2cr）=0.9544）

A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.3174

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的的特點(diǎn)和曲線所表示的意義代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得.

【解析】由題意得尸(90<X<110)=0.6826,尸(80<X<120)=0.9544,所以

P(110<X<120)=：

695440.6826=Q1359故選B.

9.（2010?福建?廈門雙十中學(xué)一模（理））已知三個(gè)隨機(jī)變量的正態(tài)密度函數(shù)

〃制=7^-二k（xeR,i=l,2,3）的圖象如圖所示，則（)

J27rbi

B.4>〃2=〃3,CT,=<T2<%

C.必=〃2<4，歷<%=4D.M<42=〃3,2=%<%

【答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)密度數(shù)中"和。的意義判斷.

【解析】因?yàn)檎龖B(tài)密度函數(shù)人（x）和力（x）的圖象關(guān)于同一條直線對(duì)稱，所以生=4.

又人（X）的圖象的對(duì)稱軸在￡（x）的圖象的對(duì)稱軸的右邊，所以M<外=4.

因?yàn)閎越大，曲線越“矮胖”.b越小，曲線越“瘦高”，

由圖象，可知正態(tài)密度函數(shù)工（X）和&（X）的圖象一樣“瘦高”，力（X）的圖象明顯“矮胖”,

所以故選D.

10.(2022廣東深圳?高三月考)設(shè)隨機(jī)變量X~N(02*),若P(X>2)=0.2,則

P(X>—1.可等于()

A.0.5B.0.9C.0.8D.0.7

【答案】C

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(O.2,S2),且P(X>2)=0.2,

所以P(X>—16)=1—P(X>2)=0.8,故選C.

11.(2022全國?高三專題練習(xí)(理))醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面

體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)(普通衛(wèi)生紗布或無紡布)，中層為隔離過濾層(超

細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊材料抑菌層(無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層).國

家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生

產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率x:7V(0.9372,0.01392).若生產(chǎn)狀態(tài)正常，

有如下命題：

甲：PU<0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)內(nèi)的概率與在(0.9372,0.9511)內(nèi)的概率相等；

丙：尸(x<0.9)=P(x>0.9744)；

T：記J表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于〃+2b的數(shù)量，則?情之1)>0.6.

(參考數(shù)據(jù)：若x~N(〃,4)9>0),則P(M-b<xV〃+b)a0.6827,

—2cr<x<+2cr)?0.9545,P(/z—3cr<x<//+3cr)?0.9973；0.9850a0.364)

其中假命題是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】根據(jù)尸(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5可判斷甲；根據(jù)兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度相等，對(duì)稱

軸落在區(qū)間@93,0.9439)可判斷乙；根據(jù)概率的對(duì)稱性可判斷丙；求出1只口罩的的過濾率

大于4+2。的概率，再由二項(xiàng)分布的概率以及對(duì)立事件的概率即可判斷丁，進(jìn)而可得正確

答案.

【解析】由x：N(0.9372,0.0139)知，〃=0.9372,<7=0.0139,

對(duì)于甲：由正態(tài)分布曲線可得：PU<0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲為真命題；

對(duì)于乙：0.9439-0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度均為1個(gè)。,但

A>0.93,由正態(tài)分布性質(zhì)知，落在(0.93,0.9439)內(nèi)的概率大于落在

(0.9372,0.9511)內(nèi)的概率，故乙是假命題；

09+09744

對(duì)于內(nèi)：由二一-——=0.9372知，內(nèi)正確；

對(duì)于?。篒只口罩的的過濾率大于〃+2（r的概率p=二^q=0.02275,久8（50,p）,

所以>1-（1-002嚴(yán)，

1-（1-O.O2）50=1-O.9850?1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命題.

故選B.

12.（2022福建?高三月考）2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個(gè)高速收費(fèi)口每

天通過的小汽車數(shù)X（單位：輛）均服從正態(tài)分布N（600,b2）.若尸（500<X4700）=0.6,

假設(shè)三個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這三個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)至少有一個(gè)超過700

輛的概率為（）

,1c12-61r64

A.---B.C.---D.

125125125125

【答案】C

【分析】先求出產(chǎn)（x>700）=",再求出這三個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)至少有一個(gè)

超過700輛的概率即得解.

【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，每個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)超過700輛的概率

P（X>700）=^［l-P（500<X<700）］=^x（l-0.6）=0.2=-,

所以這三個(gè)收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)至少有一個(gè)超過700輛的概率

故選C.

13.（2022山東?濟(jì)寧一中高三開學(xué)考試）湖南省湘西州瀘溪縣柳柑為歷代朝廷貢品，歷

史悠久，曾榮獲湖南省優(yōu)質(zhì)水果評(píng)比“金質(zhì)獎(jiǎng)”等榮譽(yù)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，瀘溪梗柑的果實(shí)橫徑（單位:

mm）服從正態(tài)分布N（70,25）,則果實(shí)橫徑在（60,75］的概率為（）

附：若,JIlJP（〃一cr<X4〃+b）=0.6827,

尸（〃一2b<X4〃+2。）=0.9545

A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545

【答案】B

【分析】由已知得〃=70,。=5,再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得選項(xiàng).

【解析】因?yàn)闉o溪梗柑的果實(shí)橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（70,25）,所以

=70,<T=5,所以P（65<X475）=0.6827,P（60<X<80）=0.9545,

所以尸（60<X475）=0.9545-09545~06827=0.8186,故選B.

14.(2022江蘇蘇州?高三開學(xué)考試)己知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(0,l),如果

P(^<l)=0.84,則P(-l<?40)為()

A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07

【答案】A

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，先求得尸(4>1)=1-2?41)，再由概率區(qū)間的對(duì)稱性,

尸(-l<j40)=g(l-2PC>l)),從而求得結(jié)果.

【解析】由題意得：P(^>l)=l-P(^<l)=l-0.84=0.16,所以

P(-l<"0)=；(l-0.16x2)=0.34.故選A.

二、填空題

15.(2022四川.成都七中高三期中(理))已知某品牌電子元件的使用壽命X(單位：

天)服從正態(tài)分布N(98,64).

K1~~□—?

B

(1)一個(gè)該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為；

(2)由三個(gè)該品牌的電子元件組成的一條電路(如圖所示)在100天后仍能正常工作

(要求K能正常工作，A,8中至少有一個(gè)能正常工作，且每個(gè)電子元件能否正常工作相

互獨(dú)立)的概率為.

(參考公式：若X~N(〃,〃)，貝IJP(〃一0.25cr<X4M+0.25b)=0.2)

【答案】0.4

【分析】由題設(shè)可知M=98,b=8,利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求電子元件的使用壽命超過

100天的概率，應(yīng)用獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求電路在100天后仍能正常

工作的概率.

【解析】由題設(shè)知：〃=98,。=8,

???P(X>100)=——匕--------------------L=0.4.

由題意，要使電路能正常工作的概率P=52x：2x2：+2!x(l—25)x2；+25x=2x(l—2：)=3蕓2.

555555555125

32

故答案為：。4,.

16.(2022吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè)(理))某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)校外一座山的高度〃(單位：

m)進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，社團(tuán)同學(xué)朝山沿直線行進(jìn)，在前后相距。米兩處分別觀測(cè)

山頂?shù)难鼋莂和夕（。＞〃），多次測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)取平均值后代入數(shù)學(xué)模型求解山高，這個(gè)社

團(tuán)利用到的數(shù)學(xué)模型/?=；多次測(cè)量取平均值是中學(xué)物理測(cè)量中常用的減小誤

差的方法之一，對(duì)物理量進(jìn)行n次測(cè)量，其誤差々近似滿足為使誤差%在

（-050.5）的概率不小于0.9973,至少要測(cè)量.次參考數(shù)據(jù)：若占

a米

【答案】.訴asina需sinB(也,可以,,寫,成?a‘a(chǎn)tann…a-tan3/?72

【分析】再中由正弦定理可得AC,在放"儀）中求解即可；由正態(tài)分布的3b

原則建立不等式3b40.5求解即可.

ACaA-asina

【解析】（1）在△44C中=,AC=--------------

sina---sin(萬一a)------------sin(4一a)

qsinasinJ3

在用ZVIC。中,h=ACsin[3=

sin(6一a)

atana?tan(3

（結(jié)果還可以是)

tan/?-tana

(2)由于尸(—3b<￡,,=3cr)=0.9973,因此3b=<0.5,

所以“272,

故至少要測(cè)量72次.

asinasinJ3atana?tan(5

故答案為:（也可以寫成);72

sin("_a)tan夕一tana

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決正態(tài)分布問題中，需要理解3b原則，學(xué)會(huì)利用3b原則求

解相關(guān)問題，屬于中檔題.

17.（2020?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））在哈市高二的聯(lián)考中，這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成

績(jī)€服從正態(tài)分布N（110,100）,隨機(jī)抽取10位學(xué)生的成績(jī)，記X表示抽取的10位學(xué)生成績(jī)

在（80,140）之外的人數(shù)，則P（XN1）=,X的數(shù)學(xué)期望EX=

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則P（M-2b<Z<M+2b）=0.9544,

「（〃-3cr<Z<〃+3cr）=0.9974,O.954410=0.6271.O.997410=0.9743.

【答案】0.02570.026

【分析】由已知可得〃=110,<r=10,計(jì)算P（80<4<140）,從而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,140）之

外的概率為1-0.9974=0.0026,得到X~8（1000026）,得到尸（X21）；利用二項(xiàng)分布的期

望公式求期望.

【解析】??,數(shù)學(xué)成績(jī)4服從正態(tài)分布N（110,100）,.?.〃=110,。=10,

?.?8（）=〃-3b,14（）=〃+3b,二P（80<g<140）=P（〃-3b<Z<〃+3cr）=0.9974,

從而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,140）之外的概率為：1—0.9974=0.0026,故X~3（10,0.0026）,

P（X>l）=l-P（X=0）=l-O.997410=1-0.9743=0.0257:

.?.X的數(shù)學(xué)期望EX=10x0.0026=0.026.故答案為：0.0257；0.026.

18.（2022山東師范大學(xué)附中高三期中）已知隨機(jī)變量，且

P（€<-1）=2a）,則L+/一（0<x<a）的最小值為.

xa-x

【答案】9

141（14、

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求得“，再由一+——=一一+——（x+a-力，結(jié)合

xa-xa\xa-x）

基本不等式即可得出答案.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量J~N（0,〃），且P（j4-l）=P（*a）,

所以。=1,則X+1-％=1,

因?yàn)镺vxvl,所以i-x>o,

當(dāng)且僅當(dāng)」1—X=產(chǎn)A-x，即》=I:時(shí)，取等號(hào)，

x1-x3

14

所以一+----的最小值為9.

xa-x

故答案為：9.

19.（2022廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（理））已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），若

P（X<3）=0.8,則P（X<1）=.

【答案】0.2

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可

求得P(X41).

【解析】：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2Q2),

二正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=2.

又P(X<3)=0.8,AP(X>3)=0.2,

由對(duì)稱性可知，

P(X<l)=P(X>3)=0.2.

故答案為：0.2.

20.(2022山東師范大學(xué)附中高三月考)已知隨機(jī)變量若尸(X<3)=0.9,

則尸(一1<X<1)=.

【答案】0.4

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求出尸再利用對(duì)稱性即可求出.

【解析】尸(X<3)=0.9,

P(1<x<3)=P(x<3)-P(x>1)=0.9-0.5=0.4,

二P(-l<x<l)=P(l<x<3)=0.4.

故答案為：0.4.

21.(2022廣東龍崗?高三期中)已知隨機(jī)變量X~N(0,/)，且尸(X>a)=九a>0,則

P(-a<X<a)=.

【答案】1-2/77

【分析】根據(jù)正態(tài)分布區(qū)間的對(duì)稱性直接計(jì)算即可.

【解析】由X~N(0,a2),且P(X>a)=m,a>0,則P(X<-a)=m,所以

P(-a<X<a)=l-2m,故答案為：l-2m.

22.(2022廣東湛江.高三月考)某學(xué)校有100人參加暑期社會(huì)實(shí)踐，實(shí)踐結(jié)束時(shí)的綜合

能力測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N010,〃)，若尸(1004X<110)=0.35,則綜合能力測(cè)

試成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)大約為.

【答案】15

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解析】因?yàn)閄近似服從正態(tài)分布N(110,4),P(100<X<110)=0.35,

所以P(110MXM120)=P(100<X<110)=0.35,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：

P(X>120)=0.5-P(110<X<120)=0.5-0.35=0.15,

所以綜合能力測(cè)試成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)大約為0.15x100=15,

故答案為：15

23.(2022福建?福州三中高三月考)已知隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(〃,4),若

P(J>2-m)=P(^<4+m)(mGR),則〃=.

【答案】3

【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即求.

【解析】依題意可知〃=(2一〃?)；(4+”1=3.故答案為：3.

24.(2022重慶市第十一中學(xué)校高三月考)上次月考剛好有900名學(xué)生參加考試，學(xué)生

的數(shù)學(xué)成績(jī)4~N(105,K)2),且尸(954*105)=0.34,則上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上

的人數(shù)大約為.

【答案】144

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，求出上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以

上的概率，即可求解.

【解析】???學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)1M105,102),且P(95融105)=0.34,

.?.尸(105領(lǐng)g115)=0.34,

.-.^>115)=0.5-0.34=0.16,則該上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的人數(shù)大約為

900x0.16=144人.

故答案為：144.

25.(2011?廣東?一模(理))在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果J服從正態(tài)分布N(1Q2)C>0).若

4在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則《在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

【答案】0.8

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可

【解析】因?yàn)檎龖B(tài)分布的平均數(shù)為1,所以P(l<4<2)=尸(0<4<1)=0.4

所以尸(0<J<2)=P(0<J<l)+尸(1<。<2)=0.8,故答案為：0.8

26.(2022江蘇?高三開學(xué)考試)《中國制造2025》提出，堅(jiān)持“創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)、質(zhì)量為先、

綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人才為本”的基本方針，通過“三步走”實(shí)現(xiàn)制造強(qiáng)國的戰(zhàn)略目標(biāo)：第

一步，到2025年邁入制造強(qiáng)國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達(dá)到世界制造強(qiáng)國

陣營(yíng)中等水平；第三步，到新中國成立一百年時(shí)，綜合實(shí)力進(jìn)入世界制造強(qiáng)國前列.今年，

盡管受新冠疫情影響，但我國制造業(yè)在高科技領(lǐng)城仍顯示出強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭.某市質(zhì)檢部門

對(duì)某新產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)隨機(jī)抽取100件檢測(cè)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方

圖.

頻率

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

01020304050質(zhì)量指標(biāo)

由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布其中〃近

似為樣本平均數(shù)工，〃近似為樣本方差S2.設(shè)X表示從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，其質(zhì)量

指標(biāo)值位于(11635.4)的件數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望=一.(精確到0.01)

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sall.9；②若

Z~N(M，b2),則P(〃-b<Z<〃+cr)=0.6826,P(/I-2CT<Z<//+2<r)=0.9544.

【答案】6.83

【分析】計(jì)算元，由所給條件判斷Z~N(23.5,11.92),從而得到P(11.6<Z<35.4)的概

率，由抽取每一件的概率抽取10件的期望值.

【解析】計(jì)算得T=5xO.15+15xO.25+25xO.3+35xO.2+45xO.l=23.5,

由條件Z~N(23.5,11.92),從而P(1L6<Z<35.4)=0.6826.

故從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，其質(zhì)量指標(biāo)值位于(11635.4)的概率是0.6826,

所以抽取10件的期望值為：所以E(X)=10x0.6826=6.826=6.83.故答案為：6.83.

27.(2022湖北?高三開學(xué)考試)已知隨機(jī)變量X~N(0,/),且P(X<a)=m,a>0,

則P(-a<X<a)=.(用機(jī)表示)

【答案】2m-\

【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)可得正確的結(jié)果.

［解析】因?yàn)閄~N(0,4),故P(X<0)=g,則P(0<X<a)=m-^,故

P(-a<X<a)=2(〃?-g)=2m-l.故答案為：2m-\.

三、解答題

28.(2022廣東廣雅中學(xué)高三月考)正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)

中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、

體重等指標(biāo).隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很

多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫中隨機(jī)捕撈了

100條魚稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量X(單位：kg)近似服從正態(tài)分布X~N(2Q2),

(1)若從水庫中隨機(jī)捕撈一條魚，求魚的重量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率；

(2)從捕撈的100條中隨機(jī)挑出6條魚測(cè)量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍(單位：

[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

kg)

條數(shù)132

①為了進(jìn)一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚

中體重在［2.5,3.5］內(nèi)的條數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若將選剩下的94條魚稱重微標(biāo)記后立即放生，兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其

中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在［2.5,3.5］內(nèi)的

魚的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的條

數(shù).

【答案】(1)0.22；(2)①分布列見詳解;1；②47000；4136.

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性有

P(2.5<x<3.5)="(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5),計(jì)算后即可得出答案；

(2)①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,根據(jù)超幾何分布的概率求法求出各種

情況的概率，可得到其分布列，再由公式求出數(shù)學(xué)期望；

②設(shè)水庫中共有N條魚，根據(jù)題意有卷=罟，先求出N,又由(1)可知

P(2.5<x<3.5)=0.22,從而可求出應(yīng)捕撈體重在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的條數(shù).

【解析】(1)解：已知魚的重量%(單位：kg)近似服從正態(tài)分布X~N(2Q2),

由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，

P(2.5<x<3.5)=P(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22,

所以從水庫中隨機(jī)捕撈?條魚，魚的重量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率