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文檔簡介

集合映射與運算使用教材書名:離散數(shù)學(第三版)“十一五”國家規(guī)劃教材主編:鄧輝文出版社:清華大學出版社講授:第1章_第6章第2頁,共76頁,2024年2月25日,星期天參考書目1、邵學才.離散數(shù)學(第二版).清華大學出版社.(應(yīng)用型規(guī)劃教材)2、周忠榮.離散數(shù)學及其應(yīng)用.清華大學出版社.3、王禮萍.離散數(shù)學簡明教程.清華大學出版社.(高職教材)4、耿素云,屈婉玲.離散數(shù)學(修訂版).高等教育出版社.(十五規(guī)劃教材,北京大學)第3頁,共76頁,2024年2月25日,星期天考核方式期末成績=平時成績+期末試卷成績平時成績20分平時成績=出勤+小測驗+作業(yè)出勤=10

小測驗=5

作業(yè)=5(獨立、自主)期末試卷成績80分。第4頁,共76頁,2024年2月25日,星期天研究對象

離散數(shù)學是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互之間關(guān)系的一門學科,它與當今計算機所處理的對象相一致。

離散數(shù)學是研究計算機科學的基本數(shù)學工具和最合適的理論手段;是計算機類專業(yè)的重要課程。第5頁,共76頁,2024年2月25日,星期天學習目的

離散數(shù)學是計算機及相關(guān)專業(yè)的一門核心課程,不是一門純數(shù)學課程,而是計算機學科的專業(yè)基礎(chǔ)課程。

1、為后繼課程提供必要的數(shù)學基礎(chǔ)

2、培養(yǎng)學生抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力。第6頁,共76頁,2024年2月25日,星期天基本內(nèi)容(1)一、集合與關(guān)系:是離散數(shù)學研究的重點內(nèi)容

1、Chapter1集合、映射與運算:集合是現(xiàn)代數(shù)學的最基本概念,映射是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念,是本書的重點。

2、Chapter2關(guān)系:是刻畫聯(lián)系的數(shù)學模型。二、數(shù)理邏輯:研究思維形式及思維規(guī)律尤其是推理的學科。

1、Chapter3命題邏輯:研究的主要對象是命題。

2、Chapter4謂詞邏輯:研究原子命題的內(nèi)部形式結(jié)構(gòu)及其邏輯關(guān)系。第7頁,共76頁,2024年2月25日,星期天基本內(nèi)容(2)三、代數(shù)結(jié)構(gòu):研究有一般元素組成的集合上的運算,以及運算滿足一些給定的數(shù)學結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

1、Chapter5(1)代數(shù)結(jié)構(gòu):計算機系統(tǒng)本身就是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

2、Chapter5(2)群、環(huán)和域:在形式語言與自動機理論學科中發(fā)揮作用。

3、Chapter5(3)格與布爾代數(shù):在自動推理和邏輯電路設(shè)計的分析和優(yōu)化等問題中得到應(yīng)用。四、圖論:廣泛應(yīng)用與解決現(xiàn)實問題。

1、Chapter6圖論:主要研究數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中圖的相關(guān)性質(zhì)。

2、Chapter7幾類特殊的圖:介紹生活和研究中實際的圖論的問題。第8頁,共76頁,2024年2月25日,星期天第1章集合、映射與運算1.1集合的有關(guān)概念1.2映射的有關(guān)概念1.3運算的定義及性質(zhì)1.4集合的運算1.5集合的劃分與覆蓋第9頁,共76頁,2024年2月25日,星期天第1章集合、映射與運算集合是現(xiàn)代數(shù)學的最基本概念.映射又稱為函數(shù),它是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念,可以借助于集合下定義.運算本質(zhì)上是映射,但有其特殊性.(關(guān)系也是集合)集合、映射、運算及關(guān)系是貫穿于本書的一條主線.第10頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.1.1集合

集合(set):是指具有某種特定性質(zhì)的對象匯集成的一個整體。元素(element):集合中的每一個對象稱為集合的元素。通常用大寫字母表示集合,用小寫字母表示集合中的元素。在數(shù)學中常用{}表示整體.在討論集合時,為避免出現(xiàn)某些悖論,應(yīng)指定討論范圍,這個范圍也是一個集合,稱為全集或論域,記作U。文氏圖用矩形框表示。A第11頁,共76頁,2024年2月25日,星期天隸屬關(guān)系集合與集合中元素的關(guān)系——隸屬關(guān)系給定一個集合A,(1)若x是集合A中的元素,記作x

A,讀作x屬于A;(2)若x不是集合A中的元素,則記作x

A,讀作x不屬于A。說明:

讀作屬于;

讀作不屬于例:A={a,b,c,d},則有b

A,e

A.第12頁,共76頁,2024年2月25日,星期天特殊集合表示幾類特殊集合的表示:N自然數(shù)集合,包括數(shù)0;Z整數(shù)集合;Q有理數(shù)集合;R實數(shù)集合;C復數(shù)集合.第13頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的表示⑴列舉法就是把集合中的所有元素一一列舉出來,或列出足夠多的元素以反映出集合中成員的特征,元素之間用逗號分開,并用花括號括起來。如:A={a1,a2,……,an}B={0,2,4,6,……,2n,……}。第14頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的表示⑵描述法是指把集合中的元素所滿足的條件或具有的性質(zhì)描述出來,即將條件或性質(zhì)用文字或符號在花括號內(nèi)豎線后面表示出來。一般形式為:

A={x|x滿足的條件或具有的性質(zhì)}如:A={x|x–1=0,x

R}B={x|x是英文字母,x元音}第15頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的表示⑶遞歸法是指通過計算規(guī)則定義集合中的元素。首先給出該集合的初始元素;然后給出由集合中已知元素構(gòu)造其他元素的方法;最后強調(diào)有限次使用前面的步驟得到的元素是集合中僅有的元素。如:設(shè)a0=1,a1=1,an+1=an+an-1,A={a0,a1,a2,……}={ak

k

0}。第16頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的表示⑷巴科斯范式(BNF)表示法

BNF常用來定義高級程序設(shè)計語言的標識符或表達式集合。⑸文氏圖法(JohnVenn)

首先畫一個大矩形表示全集,然后在矩形內(nèi)畫一些圓,用圓的內(nèi)部表示集合,集合之間的相互關(guān)系和有關(guān)的運算可以用文氏圖給予形象的描述。第17頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的特性⑴確定性確定性是指一旦給定了集合A,對于任意元素a,我們就可以準確地判定a是否在A中。如:A={x|x是自然數(shù),且x<100}則必有30

A,101

A⑵互異性互異性是指集合中的元素之間是彼此不同的,即集合中不允許出現(xiàn)重復的元素。如:集合A={a,b,c,c,b,d}應(yīng)為A={a,b,c,d}第18頁,共76頁,2024年2月25日,星期天集合的特性⑶無序性無序性是指集合中的元素之間沒有次序關(guān)系。在不特別說明情況下,我們所討論的集合都不是多重集。如:

A={a,{a,b},b,c}

與A={a,b,c,{a,b}}相同⑷抽象性抽象性是指集合中元素是抽象的,甚至可以是集合。如:A={a,{a,b},b,c};第19頁,共76頁,2024年2月25日,星期天相關(guān)概念有限集由有限個元素a1,…,an組成的集合稱為有限集?;鶖?shù)(或勢)若集合A是有限集,則集合A中的元素個數(shù)稱為集合A的基數(shù)(或勢),通常記作|A|。無限集無限集是指由無限個元素組成的集合??占缓腥魏卧氐募鲜强占?。記

或{}。第20頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.1.2子集子集——集合間的包含關(guān)系

給定兩個集合A和B,若A中的任意元素都屬于B,則稱A是B的子集,或稱A包含在B,或稱B包含A,通常記作A

B,或B

A。(若任意a

A,必有a

B,則A

B)若A不是B的子集,則集合A中至少有一個元素不屬于B。第21頁,共76頁,2024年2月25日,星期天子集定理1-1對于任意的集合A,有

A。1-2設(shè)A、B、C是任意的集合,則有⑴自反性:AA.(任意集合是其子集)⑵反對稱性:AB,BAA=B.⑶傳遞性:AB,BCAC.1-3A=B的充要條件是AB且BA第22頁,共76頁,2024年2月25日,星期天真子集若A

B,且A

B,則稱A是B的真子集,通常記作A

B。(若A是B的真子集,則B中至少有一個元素不屬于A)注意區(qū)別:與的不同問題:由AB,BC可否得出AC?解:不成立,如A={a,b},B={a,b,c},C={a,{a,b,c}}.第23頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.1.3冪集設(shè)X是一個集合,由X的所有子集作為元素構(gòu)成的集合稱為X的冪集,記以P(X)或2X。定理

設(shè)A是一個有限集且|A|=n,則|P(A)|=2n第24頁,共76頁,2024年2月25日,星期天冪集示例X={a,b}P(X)={,{a},,{a,b}}.P({})={,{}}.習題1.1(7)第25頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.1.4n元組將n個元素x1,x2,…,xn按一定順序排列就得到一個n元(有序)組.記為:n=2n=3一般說來(x,y)

(y,x).第26頁,共76頁,2024年2月25日,星期天序偶2元組常稱為有序?qū)蛐蚺?注意區(qū)別(a,b,c),((a,b),c),(a,(b,c))的不同.第27頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.1.5笛卡兒積設(shè)A1,A2,…,An是集合,稱集合為A1,A2,…,An的笛卡兒積(直積,叉積)第28頁,共76頁,2024年2月25日,星期天笛卡兒積定理

A=B=例:設(shè)A={a,b},B={1,2},C={

},求A

B,B

A,A

B

C,B

C.解:A

B={(a,1),(b,1),(a,2),(b,2)}.BA={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}.

A

B

C={(a,1,),(b,1,),(a,2,),(b,2,)}.B

C={(1,),(2,)}第29頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2映射的有關(guān)概念映射就是函數(shù),研究的是任意兩個集合之間的一種對應(yīng)關(guān)系。映射是現(xiàn)代數(shù)學中的基本概念。函數(shù)在信息科學中得到了充分的應(yīng)用。與集合一樣,映射貫穿本書的所有內(nèi)容,深刻理解映射的有關(guān)內(nèi)容,對于其他內(nèi)容的學習是至關(guān)重要的。第30頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.1映射的定義任意給定兩個集合A和B,若存在對應(yīng)法則f

,使得對于任意x

A,均存在唯一的y

B與它對應(yīng),則稱f是集合A到B的一個映射,或稱A到B的一個函數(shù),記為f:A

B。AB第31頁,共76頁,2024年2月25日,星期天映射的兩個特點假定f:A

B,y=f(x),通常把x稱為自變量,其取值范圍稱為定義域記為domf;將y稱為因變量,其取值范圍稱為值域,記為ranf。⑴全函數(shù).

映射f的定義域是集合A,記為domf=A;⑵唯一性.

對于任意x∈A,對應(yīng)于B中唯一的元素f(x),x為f的自變量(也稱為原像),f(x)稱為x在映射f下的像,通常記為y=f(x).第32頁,共76頁,2024年2月25日,星期天映射的表示(1)解析表達式(2)圖示(3)表格法函數(shù)符號的選取:f,g,…,F,G,…,

,

,…,sin,exp,main,add,average,…第33頁,共76頁,2024年2月25日,星期天BA

(讀作B上A)定義對于集合A和B,用BA表示A到B的所有映射組成的集合,即定理:對于集合A和B,若|A|=m,|B|=n,則|BA|=nm。教材P7例題1-5第34頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.2映射的性質(zhì)1、單射假設(shè)f:A

B,如果對任意x1,x2

A,由f(x1)=f(x2)可推出x1=x2,則稱f是A到B的單射,或稱f是A到B的一對一映射。例:設(shè)f:N→N,f(x)=2x,則f是N到N的單射,試證明之。第35頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.2映射的性質(zhì)2、滿射假設(shè)f:A

B,如果對任意y

B,均存在x

A,使得y=f(x),則稱f是A到B的滿射,或稱f是A到B的映上(onto)的映射。例:設(shè)f:Z→N,f(x)=|x|,則f是Z到N的滿射。第36頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.2映射的性質(zhì)3、雙射假設(shè)f:A

B,f既是單射又是滿射,則稱f是A到B的雙射,或稱f是A到B的一一對應(yīng)。例:試建立一個Z到N的一一對應(yīng)。

2xx≥0f(x)=2|x|-1x<0習題1.2(2)第37頁,共76頁,2024年2月25日,星期天置換的定義設(shè)A是有限集合,A到A的雙射稱為A上的置換例如:寫出A={1,2,3}上的所有置換。(個數(shù):n!)第38頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.3逆映射定義:設(shè)f:A

B,若將對應(yīng)關(guān)系f逆轉(zhuǎn)后能得出一個B到A的映射,則稱該映射為f的逆映射,記為f-1.定理:設(shè)f:AB

,則f的逆映射存在的充要條件是f是雙射.第39頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.4復合映射定理

設(shè)f:A

B,g:B

C,對于任意x

A,令h(x)=g(f(x))則h是集合A到集合C的映射。xy=f(x)z=g(y)=g(f(x))第40頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.2.4復合映射定義:設(shè)f:A

B,g:B

C,對于任意x

A,h(x)=g(f(x))則稱h為f和g的復合映射或復合函數(shù),記為f?g重點:(f?g)(x)=g(f(x))abc123

第41頁,共76頁,2024年2月25日,星期天復合映射例題注意:要保證復合映射有意義,必須f(A)dom(g)例2:設(shè)R到R有兩個映射f和g,定義如下:f(x)=x2,g(x)=x+2,分別計算復合映射f?g和g?f注意:一般來說,即使復合映射均有意義,也不能保證f?g=g?f成立

第42頁,共76頁,2024年2月25日,星期天恒等映射設(shè)A是集合,令f:A

A,f(x)=x,稱f為集合A上的恒等映射(identityfunctiononA),記為IA

顯然恒等映射是唯一存在的?!径ɡ?-9】若f:A

B是雙射,則有f

?

f-1=IA,f-1

?

f

=IB.特別地,若f:A

A是雙射,則f

?

f-1=f-1

?

f

=IA

第43頁,共76頁,2024年2月25日,星期天復合映射性質(zhì)【定理1-10】設(shè)f:A

B,g:B

C

,(1)若f和g是單射,則f?

g是單射.(2)若f和g是滿射,則f?

g是滿射.(3)若f和g是雙射,則f?

g是雙射.【定理1-11】設(shè)f:A

B,g:B

C

,(1)若f?g是單射,則f是單射,g不一定.(2)若f?g是滿射,則g是滿射,f不一定.(3)若f?g是雙射,則f是單射且g是滿射.【定理1-12】設(shè)f:A

B,g:B

C

,h:C

D,則(f?

g)?h=f?(g?h)第44頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3運算的定義及性質(zhì)運算是由已知對象得出新對象的一種方法。運算是討論對象之間有何聯(lián)系的一種方法。運算本質(zhì)上是映射,但運算更側(cè)重于研究運算滿足的一些運算性質(zhì)。

第45頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.1運算的定義設(shè)A1,A2,……,An和B是集合,若

f:A1×A2×……×An→B

則稱f為A1,A2,……,An到B的n元運算。在不需要強調(diào)集合A1,A2,……,An和B時,可以簡稱f為運算,f:A×A×……×A→B稱f為A到B的n元運算,或稱f為A上的n元運算。如y=f(x1,x2,…,xn)中,x1,x2,…,xn是參加運算的n個有順序的對象,f稱為n元運算,y是運算結(jié)果,由定義知道:運算結(jié)果一定是唯一的。第46頁,共76頁,2024年2月25日,星期天運算的特征1、封閉運算:若對于x1,x2,…,xn

A,有f(x1,x2,…,xn)=y

A,則稱f為A上的n元封閉運算(closedoperation),或稱為A上的n元代數(shù)運算。習題1.3(1)(2)2、運算符號的選?。撼S梅柡投x符號3、運算符號的位置:前面、中間和后面4、運算表:方便直觀第47頁,共76頁,2024年2月25日,星期天運算的例題例1(絕對值運算)f:ZN,f(x)=|x|.(一元運算)

例2(模運算)f:ZN,f(x)=x(modk),例3(模m加法運算和模m乘法運算)例4(最大公因數(shù)gcd和最小公倍數(shù)lcm)第48頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)1、對合性【定義】設(shè)*是A上的1元代數(shù)運算,若對于x

A,均有

*(*x)=x

則稱*具有對合性,或稱*滿足對合律〖例1-20〗實數(shù)集上的取反數(shù)運算“—”具有對合性,而其上的絕對值運算||不具有對合性。矩陣的逆運算及轉(zhuǎn)置運算具有對合性,因為(A-1)-1=A并且(AT)T=A第49頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)2、冪等性【定義】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若對于x

A,有x*x=x

則稱x為關(guān)于*運算的冪等元;若對于任意的x

A,x均為冪等元,則稱*具有冪等性,或稱*滿足冪等率。*

123123

132232313例1:設(shè)A={1,2,3},A上的*運算見表,指出A中的冪等元,并判斷是否滿足冪等率?例2:正整數(shù)集合N+上gcd和lcm是否冪等率?例3:實數(shù)集合R上乘法是否滿足冪等率?第50頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)3、交換性【定義】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若對于任意x,y

A,均有

x*y=y*x則稱*具有交換性,或稱*滿足交換律。例1:驗證整數(shù)集合Z上的加法運算和減法運算是否滿足交換律例2:設(shè)*是有理數(shù)集合Q上的2元運算,定義如下:任意x1,x2

Q,x1*x2=x1x2。證明*不具有交換性。例3:說明復合映射是否具有交換性。第51頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)4、結(jié)合性【定義】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若對于任意的x,y,z

A

,均有(x*y)*z=x*(y*z)則稱*具有結(jié)合性,或稱*滿足結(jié)合律。

例1:驗證整數(shù)集合Z上的加法運算和減法運算是否滿足結(jié)合率。53145534314421213343142254321154321*例2:判定集合A={1,2,3,4,5}見表,是否滿足交換率和結(jié)合率?例3:判定映射的復合運算是否滿足結(jié)合率?第52頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)5、單位元素【定義】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若存在e

A

,對于任意的x

A

,下列條件均成立:

e*x=xx*e=x則稱e為集合A關(guān)于*運算的單位元素或幺元素。

例1:驗證整數(shù)集合Z關(guān)于加法運算+的單位元素為0,而Z關(guān)于乘法運算的單位元素為1,Z關(guān)于減法運算沒有單位元素。定理:若A關(guān)于*運算有單位元素,則單位元素是唯一的。第53頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)6、零元素【定義】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若存在θ

A

,對于任意的x

A

,下列條件均成立:

θ*x=θx*θ=θ則稱為集合A關(guān)于*運算的零元素。例1:驗證整數(shù)集合Z關(guān)于加法運算+和減法運算-均沒有零元素。Z關(guān)于乘法運算的零元素為0。第54頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)7、逆元素【定義1-21】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算且有單位元素e,若對于x

A,存在y

A,下列條件均成立:

y*x=ex*y=e則稱y為x的逆元素。注意:

1、一個方陣關(guān)于乘法運算的逆元是其逆矩陣,單位元素是單位矩陣;

2、一個雙射的映射的復合運算的逆元是其逆映射。單位元素是恒等映射。第55頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)例1:分別考察:實數(shù)集合R中各元素關(guān)于加法運算和乘法運算的逆元素。例2:設(shè)A={a,b,c},關(guān)于*運算的運算表。分析逆元。

結(jié)論:一個元素的逆元不一定存在,存在也不一定唯一。習題1.3(8)caccaabbcbaacba*【定理】設(shè)A關(guān)于*運算的單位元素為e且*運算滿足結(jié)合律,若x在A中有左逆元y及右逆元z,則y=z。進而,對于一個滿足結(jié)合律的運算來說,若一個元素有逆元則其逆元是唯一的。第56頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)8、消去性【定義1-22】設(shè)*是A上的2元代數(shù)運算,若A關(guān)于*運算有零元素,如果對于任意x,y,z

A

,只要x≠θ

,則下列條件均成立:

x*y=x*z→y=zy*x=z*x→y=z則稱*具有消去性,或稱*滿足消去律。例:驗證整數(shù)集合Z上的加法運算+和乘法運算均滿足消去律。第57頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)9、分配性【定義1-23】設(shè)*和?是A上的2元代數(shù)運算,若對于任意x,y,z

A,下列條件均成立:x*(y?z)=(x*y)?(x*z)(y?z)*x=(y*x)?(z*x)則稱*運算對?運算具有分配性,或稱滿足分配律。注意:當*運算滿足交換性時,條件之一成立即可。例:實數(shù)集合R上的乘法運算對加法運算可分配。第58頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)10、吸收性【定義1-24】設(shè)*和?是A上的兩個2元代數(shù)運算,若對于x,y

A,下列條件均成立:x*(x?y)=x(y?x)*x=x則稱*運算對運算?可吸收。

注意:當*和?運算滿足交換性,以上公式之一成立即可。第59頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.3.2運算的性質(zhì)11、德·摩根(DeMorgan)律【定義】設(shè)·是集合A上的1元代數(shù)運算,*和?是A上的兩個2元代數(shù)運算,若對于x,y

A

,下列條件均成立:

·(x*y)=(·x)?(·y)·(x?y)=(·x)*(·y)則稱這三種運算滿足DeMorgan律第60頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.4集合的運算1、并運算2、交運算3、補運算4、差運算5、對稱差運算第61頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.4.1并運算【定義】設(shè)A和B是兩個任意集合,由所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合稱為集合A和B的并集,通常記作A∪B。即:A∪B={x|x

A或x

B}陰影部分為A∪BU

BA如:設(shè)A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},求A∪B定理:設(shè)A和B是集合,則A∪B是包含集合A和B的最小集合。第62頁,共76頁,2024年2月25日,星期天并運算的性質(zhì)設(shè)A,B,C是集合,則1、冪等律:A∪A=A2、交換律:A∪B=B∪A3、結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)4、

∪A=A∪=A(空集

是并運算的單位元素)5、U∪A=A∪U=U(全集U是并運算的零元素)第63頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.4.2交運算【定義】設(shè)A和B是兩個任意集合,由所有屬于A又屬于B的元素組成的集合,稱為A和B的交集,通常記作A∩B。即A∩B={x|x

A且x

B}陰影部分為A∩BU

BA如:設(shè)A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},求A∩B定理:設(shè)A和B是集合,則A∩B是包含在集合A和B中的最大集合。第64頁,共76頁,2024年2月25日,星期天交運算的性質(zhì)設(shè)A,B,C是集合,則1、冪等律:A∩A=A2、交換律:A∩B=B∩A3、結(jié)合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4、∩A=A∩

=

(空集

是交運算的零元素)5、U∩A=A∩U=A(全集U是交運算的單位元素)第65頁,共76頁,2024年2月25日,星期天交和并運算的性質(zhì)并、交運算的混合性質(zhì)(吸收律):

設(shè)A,B,C是集合,則(1)∩對∪可吸收:A∩(A∪B)=A

(2)∪對∩可吸收:A∪(A∩B)=A

(3)∩對∪可分配:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(4)∪對∩可分配:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

第66頁,共76頁,2024年2月25日,星期天1.4.3補運算【定義】設(shè)U是全集,對于集合A,定義A的補集如下:

={x|x

U,但x

A}注意:一個集合的補集依賴于全集的選取。陰影部分為A的補集UA例:設(shè)集合A={a,b,c}分別取全集U={a,b,c,d}和U={a,b,c,{a,b},{b,c

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